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22.7 多边形的内角和与外角和

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22.7 多边形的内角和与外角和

学习目标

1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.

重点、难点

1.重点:

(1)多边形的内角和公式.

(2)多边形的外角和公式.

2.难点:多边形的内角和定理的推导.

教学过程

一、探究

1.我们知道三角形的内角和为__________.

2.我们还知道,正方形的四个角都等于____°,那么它的内角和为_____°,同样长方形的内角和也是________°.

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3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢?

画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.

从中你得到什么结论?

二、思考几个问题

1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?

2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?它们将五边形分成几个三角形?那么这五边形的内角和为多少度?

3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?它们将n边形分成几个三角形?n边形的内角和等于多少度?

综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?

设多边形的边数为n,则

n边形的内角和等于______________.

想一想:要得到多边形的内角和必需通过“___________定理”来完成,就是把一个多

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边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?

由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:(以五边形为例)

三、例题

例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

已知:四边形ABCD的∠A+∠C=180°.求:∠B与∠D的关系.

BCA D

例2 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?

已知:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角.

求:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

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A B216F5C3ED4

如果把六边形改成n边形.(n为不小于3的正整数)

同样也可以得到其外角和等于________°.即

多边形的外角和等于_________°.

所以我们说多边形的外角和与它的_______无关.

对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.

如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个_______,所以多边形的外角和等于________°.

四、课堂练习

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五、课堂小结

总结本节课主要内容.

备选题:

A FBCED

一、判断题.

1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( )

2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.( )

3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.( )

4.从n边形一个顶点出发,可以引出(n一2)条对角线,得到(n一2)个三角形.(5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.( )

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二、填空题.

1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为 边形.

2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为 边形.

3.内角和等于外角和的多边形是 边形.

4.内角和为1440°的多边形是 .

5.一个多边形的内角的度数从小到大排列时,恰好依次增加相同的度数,其中最小角为100°,最大的是140°,那么这个多边形是 边形.

6.若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是 边形.

7.五边形的对角线有 条,它们内角和为 .

8.一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为 .

9.多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为 .

10.四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1:2:3:4,那么∠A:∠B:∠C:∠D= .

11.四边形的四个内角中,直角最多有 个,钝角最多有 个, 锐角最多有 个.

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12.如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加 ,外角和增加 .

三、选择题.

1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是( )

A.互为余角 B.互为邻补角 C.两个角相等 D.外角大于内角2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是( )

A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形

3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为( A.6条 B.7条 C. D.9条

4.随着多边形的边数n的增加,它的外角和( )

A.增加 B.减小 C.不变 D.不定

5.若多边形的外角和等于内角和的和,它的边数是( )

A.3 B.4 C.5 D.7

6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是( )

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A.五边形 B.八边形 C.十边形 D.十二边形

7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形( )

A.四边形 B,五边形 C.六边形 D.七边形

8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为( )

A.180° B.360° C.720° D.1080°

9.n边形的n个内角中锐角最多有( )个.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是( )

A.八边形 B.九边形 C.十边形 D,十一边形

四、解答题.

1.一个多边形少一个内角的度数和为2300°.

(1)求它的边数; (2)求少的那个内角的度数.

2.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?它共有多少条对角线?n边形呢?

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3.已知多边形的内角和为其外角和的5倍,求这个多边形的边数.

14.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的2,求这个多边形的边数.

5.多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数.

6.n边形的内角和与外角和互比为13:2,求n.

7.五边形ABCDE的各内角都相等,且AE=DE,AD∥CB吗?

8.将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形?

9.四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D.求:∠C或∠D的度数.

10.在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠DAC=2∠BAC.

求证:∠DBC=2∠BDC.

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