北京市西城区2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 文

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高二数学 （文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1. 圆x2y22y1的圆心为（ ） A. (0,1) B. (0,1) C. (0,2) D. (0,2) y21的离心率为（ ） 2. 椭圆x42A. 5 2B. 3 2C. 5 D. 3 x2y21的渐近线方程为（ ） 3. 双曲线2A. y2x 4. 已知m,n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m//,n//,则m//n C. 若m，n，则mn

25. 命题“a,bR，如果ab，则aab”的否命题为（ ） B. y1x 2C. y2x D. y2x 2B. 若m，mn，则n// D. 若m//，mn，则n DOC版.

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2A. a,bR，如果aab，则ab 2B. a,bR，如果aab，则ab 2C. a,bR，如果aab，则ab 2D. a,bR，如果ab，则aab 6. 圆x2y22 与圆x2y24y30的位置关系是（ ） A. 相离 7. “四边形ABCD为菱形”是“四边形ABCD中ACBD”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 8. 已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210平行，则实数a的值为（ ） A. 1 9. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ） A.10cm B. 7.2cm C. 3.6cm 10cm 24cm B. 外切 C. 内切 D.相交 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B. 2 C. 1和2 D.2 3D. 2.4cm P为10. 如图，在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，棱AB的中点，M为面BCC1B1上的点. 一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点D1. 则线段PM与线段MD1的长度和为（ ） A A.15

B. 4 C. 17 A1 D1 B1 M D P D. 32 B C1 C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. DOC版.

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11. 抛物线y24x的准线方程为_______________.

12. 命题“xR,x22x0”的否定是_____________________. 13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______.

14. 圆心在直线yx上，且与x轴相切于点(2,0) 的圆的方程为____________________.

2 2 2 2 正（主）视图 侧（左）视图

y21的一个焦点， 15. 已知F为双曲线C:x42俯视图

则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为__________. 16. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融 化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的 深度.降水量以mm为单位.

24mm 为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所 示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的 雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为 mm.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）

如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEB90，F为CE 上的点. （Ⅰ）求证：AD//平面BCE； （Ⅱ）求证：AEBF． DOC版.

A

E D

C

12mm F B

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18.（本小题满分13分）

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0)，B(4,0)，C(3,1). （Ⅰ）求△ABC中AC边上的高线所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC外接圆的方程.

19.（本小题满分14分）

如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，E为AC中点. （Ⅰ）求证：AB1//平面BC1E； （Ⅱ）求证：平面BC1E平面ACC1A1.

20.（本小题满分13分）

B1

A1 C1

B A E C

x2y21的两个顶点，过点A的直线与椭圆W交于另一点C. 如图，A,B是椭圆W:3（Ⅰ）当AC的斜率为时，求线段AC的长；

3（Ⅱ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D. 求直线AC的斜率. DOC版.

y B C x O A D ..

21.（本小题满分13分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，且

PDPCBC3，CD32，E为PB中点.

（Ⅰ）求三棱锥PBCD的体积； （Ⅱ）求证：CE平面PBD；

（Ⅲ）设M是线段CD上一点，且满足DM2MC，试在线段PB上确定一点N，使得MN//平面PAD，并求出BN的长.

22.（本小题满分14分）

已知A,B是抛物线y24x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P.

（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y24x的焦点，求A,B两点的纵坐标之积；

（Ⅱ）若点P的坐标为(4,0)，弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

A D E P · M B

C

DOC版.

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高二数学（文科）参及评分标准 2015.1

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.B 2.B 3.D 4. C 5. D 6.D 7.A 8. A 9.C 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11. x1 12. xR,x22x0 13.

8 314. (x2)2(y2)24 15. 2 16. 1

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，

所以AD//BC. ………………2分 又因为BC平面BCE，

F A

E B

D

C

AD平面BCE， ………………4分

所以AD//平面BCE. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为AD平面ABE，AD//BC，

所以BC平面ABE，则AEBC . ………………7分 又因为AEB90，

所以AEBE. ………………9分 所以AE平面BCE. ………………11分 又BF平面BCE， ………………12分 所以AEBF. ………………13分

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为A(0,0)，C(3,1)，所以直线AC的斜率为k1， ………………2分 3又AC边上的高所在的直线经过点B(4,0)，且与AC垂直，

所以所求直线斜率为3， ………………4分 所求方程为y03(x4)，

即 3xy120. ………………5分 （Ⅱ）设△ABC外接圆的方程为xyDxEyF0, ………………6分

因为点A(0,0)，B(4,0)，C(3,1)在圆M上，则

22DOC版.

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F0,2 44DF0, ………………9分

32123DEF0.解得D4，E2，F0. ………………12分

所以△ABC外接圆的方程为x2y24x2y0. ………………13分

19. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连结CB1，与BC1交于点F，连结EF. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以四边形BCC1B1是矩形，

点F是B1C中点. ………………3分

又E为AC中点，所以EF//AB1. …………5分 因为EF平面BC1E，

AB1平面BC1E，

所以AB1//平面BC1E. ………………7分（Ⅱ）证明：因为ABBC，E为AC中点，

所以BEAC. 又因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1底面ABC，从而CC1BE. 所以BE平面ACC1A1. 因为BE平面BC1E， 所以平面BC1E平面ACC1A1.

20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知A(0,1)，

直线AC的方程为y3x1. yx由31,得2x22 3x0， x3y21解得x32或x0（舍）， 所以点C的坐标为(312,2)， 所以AC(3212102)(21)2. DOC版.

………………1分

A E C

B F A1 C1

B1

………………9分 ………………11分 ………………12分 ………………13分 ………………14分 ………………1分 ………………2分 ………………3分

………………4分

………………5分

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（Ⅱ）依题意，设直线AC的方程为ykx1，k0.

ykx1,22由x2 得(3k1)x6kx0， ………………7分 2y136k解得x或x0（舍）， ………………8分 23k16k所以点C的横坐标为2，

3k13k设点D的坐标为(x0,y0)，则x0， ………………9分 23k11y0kx012， ………………10分

3k1因为以AB为直径的圆恰过点D，所以OD1，

3k212)()1. ………………11分 223k13k12整理得k， ………………12分

33所以k. ………………13分

3即(

21. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由已知PDPC3，CD32可知，

△PCD是等腰直角三角形，CPD90. ………………1分 因为平面PCD平面ABCD，底面ABCD为矩形，BCCD，

所以BC平面PCD. ………………2分 三棱锥PBCD的体积

1119VSPCDBC(PCPD)BC. ………………4分

3322（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC平面PCD， 所以BCPD.

因为CPD90，即PDPC，

所以PD平面PBC. ………………5分 因为CE平面PBC，

所以PDCE. ………………6分 因为PCBC，E为PB中点，

所以CEPB， ………………7分 因为PDA D E N P F · M B

C

PBP，

所以CE平面PBD. ………………8分

（Ⅲ）解：在面PCD上，过M作MF//PD交PC于F.

在面PBC上，过F作FN//BC交PB于N，连结MN. ………………9分 DOC版.

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因为MF//PD，MF平面PAD，PD平面PAD， 所以MF//平面PAD.

因为FN//BC//AD，FN平面PAD，AD平面PAD， 所以FN//平面PAD.

所以平面MNF//平面PAD. ………………10分 从而，MN//平面PAD. ………………11分 由所作可知，△CMF为等腰直角三角形，CM2，

所以CF1，PF2. ………………12分 △PNF,△PBC均为等腰直角三角形，所以PN22，PB32. 所以N为线段PB上靠近点B的三等分点，且BN

22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）抛物线y24x的焦点为F(1,0)， ………………1分

依题意，设直线AB方程为yk(x1)，其中k0. ………………2分

2. ………………13分

y2y21)， 将x代入直线方程，得yk(44整理得ky4y4k0， ………………4分 所以yAyB4，即A,B两点的纵坐标之积为4. ………………5分 （Ⅱ）设AB:ykxb(k0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).

2y24x,222由 得kx(2kb4)xb0. ………………6分 ykxb由4kb1616kb4kb1616kb0，得kb1. ………………7分

222242kbb2所以x1x2，x1x22. ………………8分

k2k设AB中点坐标为(x0,y0)，

x1x22kb2ykxb， ， ………………9分 002k2k212kb)， 所以弦AB的垂直平分线方程为y(x2kkk2kb令y0，得x2. ………………10分

k22kb4，即2k22kb. ………………11分 由已知22k则x0DOC版.

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AB1k2(x1x2)4x1x21k2242kb24b2()2 2kk 41k21kb2k212 41kk4k41212k4k21 44()22 ……………12分 24kkk当

11，即k2时，AB的最大值为6. ………………13分 k22当k2时，b2；当k2时，b2.均符合题意.

所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6. ………………14分

DOC版.