【推荐】《多项式除以单项式》典型例题

《多项式除以单项式》典型例题

例 1 （1）

计算：

36 x

4

2

3 2

0.25a b

4

5

3 2

4 3

x

3

2

9x

9x

；（ ）

2

1

a a

1 4 3

a b

0.5ab

．

2

6

例 2 计算：

n 1

（1） 3a

6a5

n 2

9a

n

3a

n 1

；

3

（2） 2 a b

3 a b

4

a b

a a b ．

5

4

3

5

7

6

5

3

2 3

例 3 （1）已知一多项式与单项式 求这个多项式．

7 x y 的积为 21x y

28x y

7 y 2x y ，

（ 2）已知一多项除以多项式 a

求这个多项式．

例 4

2

4a 3所得的商是 2a

1，余式是 2a 8 ，

5ab

2

a3

2a 5ab

22

1 b 3 2

5a b 2 ．

2

例 5 计算题： （1） (16 x（3） (4a 例 6

4

8x

3

4x)

4 x ； （ 2） ( 4a12a ) 4a

mm 1

3

12ab 7ab ) ( 4a ) ；

2322

m 18a

m 2

．

化简：

2

（1） [( 2x y) （2） 4( 4x

y( y

2

2x 1)(

x

4x) 8x] 2x ；

2

3

1) (4x6 x3 ) ( 1 x3 )

4 4 2( p q)

2

例 7

计算 [( p q)

2

3

( p q)]

[ ( p q)]. 3

1

1 / 4

参

例 1

分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式

除以单项式的运算，进而求出最后的结果．

解：（1）原式36x

4

9x4

24 x3 9x2 9x2 9x2 3

4x

2

27

（2）原式

x 1

0.25a

3

b

2

0.5ab

32

1 a4b5 2

0.5ab

32

1 a4b3 6

0.5a b32

1 ab

2 ab

3

1

3

ab 1 2

3

1 ab 3

说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．

例 2 分析：（1）题利用法则直接计算 . （2）题把 a

b 看作一个整体，就

是多项式除以单项式．

解：（1）原式 3a

n 1

3a

3

n 1

6a

n 2

3a

n 1

9a

n

3a

n 1

a

2

2a

3a

2a

3

a

52

3a 3 a b

4

（ 2）原式 = 2 a b

a b

3

a a b

3

a

b

2

3 a b 2

2

1 2

a

2

2ab b

3 a 3 a 1 2 2 2

5

7

6

5

例 3 解：（1）所求的多项为 21x y 28x y

7y 2x y

32 3

7x y

21x y3 y

3

57

28x y65

56 x y

3

97

7x y

4 xy 8x y

4

（2）所求多项式为

a 4a 3 2a

2

1 2a 8

2 / 4

2a 8a 6a a 4a 3 2a 8 2a 9a

3

2

322

5

说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。

根据是“被除式 =除式×

商式 +余式”．

例 4

分析：本题为混合运算，要按运算顺序逐步计算．

25ab a 2a 125ab

22

3

2

36

解：原式

1

2

b

25a b

42

25ab 125ab a 5ab

5

5257

25ab

42

例 5 分析：此三题均是多项式除以单项式，应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果．

解：（1）原式 16x 4x 8x 4 x 4x 4x

4x 2x

33

2

43

1

2

2

（2）原式 = ( 4a ) ( 4a ) 12ab

7( 4a ) 7ab

232

( 4a )

2= a 3b

ab .

2

4

4a m 1

（3）原式 = 4a

= a

m 1

8am 2

4aa

2

m 1

12 a

m

4a

m 1

2

2a3

3a 2a

3

3a .

说明：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时， 要注意各项的符号． 例 6 分析：题（1）不能先用 2x 去除各项，应先对括号内进行化简； 题（2）则体现了对知识的综合运用．

解：（1）原式 = (4x 4xy y = (4x 8x)

2

22

y 4xy 8x 2x

6

2

8x) 2x

4.

2x

2

2x

（2）原式 = (4x 2 x 1)(2x 1) 4x

( x ) x4

1

33

( x )

4

13= 8x

3

1 16 x

3

48x3

5 ．

例 7

分析：把 p q 当成单项式，运用多项式除以单项式的法则．

3 / 4

解：原式 = ( p q)

31

( p

q) 2( p

q)21 ( p q)

3

3

3( p q)3( p 3 p

2

( p q) 2 ( p q)

3 3

1

2

6( p q)

222

2 pq q ) 6 p 6q 2

6 pq 3q

2

6p 6q 2.

说明：经题表面看来是多项式除以多项式，但观察后发现每个在底数均为

( p q) ，所以可把 p

q 当作单项式，再进行计算，这种换元的思想希望同学们

掌握．

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