2019届高考物理一轮复习讲义：第七章 第2讲 电场能的性质的描述 含答案

第2讲 电场能的性质的描述

板块一 主干梳理·夯实基础

【知识点1】 电势能 Ⅰ 1．静电力做功

(1)特点：静电力做功与 路径无关，只与初、末位置有关. (2)计算方法

①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q不带正负号. ②WAB＝qUAB，适用于任何电场，计算时q要带正负号. 2．电势能

(1)定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示.

(2)静电力做功与电势能变化的关系

静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.

(3)大小：电荷在某点的电势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功. [特别提醒] (1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的.

(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关.

(3)电势能是标量，有正负，无方向.电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能.

(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置. 【知识点2】 电势 Ⅰ 1．电势

(1)定义：电荷在电场中某一点的 电势能Ep与它的电荷量q的比值. Ep(2)定义式：φ＝ q. (3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低).

(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取零电势点的位置有关.一般选取无穷远处为零电势点，在实际应用中常取大地的电势为零. 2．等势面

(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面. (2)四个特点

①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功. ②等势面一定与电场线垂直.

③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面. ④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小.

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[特别提醒] 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关. 【知识点3】 电势差 Ⅱ

匀强电场中电势差与电场强度的关系 Ⅰ 1.电势差

(1)定义：电场中两点间电势的差值.

(2)定义式：UAB＝ φA－φB.显然，UAB＝－UBA.

(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与零电势点的选取无关. (4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时， 电场力做的WAB功WAB与移动的电荷的电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝q，计算时q要带正负号.

2．匀强电场中电势差与电场强度的关系 (1)电势差与场强的关系式

UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点沿电场方向的距离. (2)电场强度的另一表达式

UAB①表达式：E＝d.(只适用于匀强电场)

②意义：电场中，场强方向是电势降低最快的方向.在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向单位长度降低的电势. 板块二 考点细研·悟法培优

考点1 电势高低与电势能大小的判断 [对比分析]

1．判断电势高低常用的两种方法

(1)依据电场线的方向：沿电场线方向电势逐渐降低.

WAB(2)依据UAB＝q：若UAB>0，则φA>φB，若UAB<0，则φA<φB. 2．电势能增、减的判断方法

(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加.

(2)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大表示电势能越大，负值越大表示电势能越小.如＋1 J>－10 J.

(3)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小，动能减小，电势能增大.

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例1 某形状不规则的导体置于静电场中，由于静电感应，在导体周围出现了如图所示的电场分布，图中虚线表示电场线，实线表示等势面，A、B、C为电场中的三个点.下列说法正确的是( )

A．A点的电势高于B点的电势

B．将电子从A点移到B点，电势能减小 C．A点的电场强度大于B点的电场强度

D．将电子从A点移到C点，再从C点移到B点，电场力做功为零

(1)如何判断A、B两点电势高低？

提示：沿电场线方向电势逐渐降低.

(2)如何判断电子在A、B两点电势能的大小？ 提示：负电荷在电势越高的地方电势能越小. 尝试解答 选A.

由沿电场线方向电势降低知，A点电势高于B点电势，A正确；将电子从A点移到B点，电场力做负功，电势能增加，B错误；由电场线疏密知A点的电场强度小于B点的电场强度，C错误；A、C两点在同一等势面上，都比B点的电势高，将电子从A点移到C点再移到B点，电场力做负功，D错误. 总结升华

电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系

(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向.

(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面.

(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高.

(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能

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大.

[跟踪训练] [2017·福建漳州联考]如图所示，在等量异种点电荷形成的电场中，有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上距A点距离为d的一点，C为连线中垂线距A点距离也为d的一点.下面关于三点电场强度的大小、电势高低的比较，正确的是( )

A．EA＝EC>EB；φA＝φC＝φB B．EB>EA>EC；φA＝φC>φB C．EAφB，φA>φC

D．因为零电势点未规定，所以无法判断电势的高低 答案 B

解析 根据等量异种点电荷周围的电场线分布规律可知，电场线在B处密，在C处稀疏，故EB>EA>EC，中垂线为等势面，所以φA＝φC，沿电场线方向电势降低，故φA>φB，所以有φA＝φC>φB，B正确，A、C、D错误.

考点2 根据粒子运动的轨迹、等势面进行相关问题的判断 [解题技巧]

1．“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置垂直等势面的方向且指向轨迹的凹侧)，从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动时电场力做功的情况.

2．电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)，是题目中相互制约的两个方面.若已知其中一个，可分析另一个.

例2 (多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等.实线为一带正电荷粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是( )

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A．三个等势面中，a的电势最高

B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大 C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大 D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大

(1)如何判断三个等势面电势的高低？

提示：画出初速度切线，根据轨迹弯曲方向画出垂直等势面的力，结合电荷电性判断场强方向，沿电场线方向电势降低.

(2)如何判断M、N两点电势能大小？ 提示：依据电场力做功和电势能关系. 尝试解答 选CD.

由于带电粒子做曲线运动，因此所受电场力的方向必定指向轨道的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a.根据电场线的方向是电势降低的方向，故φc>φb>φa，A错误；带正电荷粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，电势能减少；若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加，即M点电势能较小，故B错误；根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确；由于相邻等势面之间电势差相等，N点等势面较密，则EN>EM，即qEN>qEM，由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，D正确. 总结升华

求解此类问题的思维模板

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[跟踪训练] [2017·北京房山区模拟](多选)如图，一点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N单独在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点.已知M粒子带正电荷，不计粒子重力.下列说法正确的是( )

A．a点电势比d点的电势高

B．M在b点的动能小于它在a点的动能 C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能 D．N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功 答案 BC

解析 由M粒子的运动轨迹可知，M粒子受到的是吸引力，故固定于O点的点电荷带负电，电场线从无穷远指向该点电荷，沿着电场线方向电势逐渐降低，可知a点电势比d点的电势低，A错误；a点的电势低于b点的电势，而正电荷在电势高处电势能大，因此M在b点的电势能大于它在a点的电势能，根据能量守恒定律知，M粒子的动能和电势能之和保持不变，则M在b点的动能小于它在a点的动能，B正确；e、d两点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于它在e点的电势能，C正确；N粒子受到了排斥力作用，N在从c点运动到d点的过程中电场力做正功，D错误. 考点3 匀强电场中电势差与电场强度的关系 [深化理解]

1．匀强电场中电势差与电场强度的关系

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(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离. (2)沿电场强度方向电势降低得最快. (3)在同一直线上距离相等的两点电势差相等. U

2．E＝在非匀强电场中的几点妙用

d

(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大.

(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小.

(3)利用φ-x图象的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律.在φ-x图象中斜率k＝ΔφU

＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为Δxd

正，表示电场强度方向沿规定的正方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的负方向. (4)利用E-x图象与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差.

例3 (多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行.下列说法正确的是( )

A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线 B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A

D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10

(1)在匀强电场中，如何寻找等势线？

提示：先利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是一条等势线. (2)如何确定场强的大小和方向？

提示：根据电场线与等势线垂直，且沿电场线方向电势降低可判断电场方向，场强大小可由U

E＝d求得.

尝试解答 选ACD.

由题中数据和匀强电场电势分布特点可知AC的中点电势为2 V，与B点电势相同，且在

－19

J

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BE连线上，所以BE为等势线，CD、AF与BE平行，所以也是等势线，A正确；电场线与等势面垂直且从高电势指向低电势，故电场线方向为从C指向A，C正确；电场强度大UφC－φA220小E＝＝＝ V/m＝3 V/m，B错误；UED＝UBC＝－1 V，

dxCA32×10×cos30°×10－2将一个电子由E点移到D点，电场力做功WED＝－eUED＝1.6×10－19 J，则电子电势能减少1.6×10－19 J，D正确. 总结升华

匀强电场中找等势点的方法

等分线段找等势点法：在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等.因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势面(或等势线)，与等势面(或等势线)垂直的线即为电场线.

[跟踪训练] (多选)如图所示，a、b、c、d是某匀强电场中的四个点，它们是一个四边形的四个顶点，ab∥cd，ab⊥bc,2ab＝cd＝bc＝2l，电场线与四边形所在平面平行.已知a点电势为24 V，b点电势为28 V，d点电势为12 V.一个质子(不计重力)经过b点的速度大小为v0，方向与bc成45°，一段时间后经过c点，则下列说法正确的是( )

A．c点电势为20 V

B．质子从b运动到c所用的时间为C．场强的方向由a指向c

D．质子从b运动到c电场力做功为8电子伏特 答案 ABD

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2l

v0

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1

解析 匀强电场中，ab∥cd且2ab＝cd，则Uab＝Udc，得φc＝20 V，A正确；如图所示，

2找到a点的等势点在bc的中点P.连结aP这一等势线，依据电场线垂直等势线由高电势指向低电势，画出电场线如图，C错误；因bc＝2l，则bP＝ab＝l，图中θ＝45°，从b点以v0经过的质子做类平抛运动，到达c点时位移为2l，沿初速度方向位移：2lcos45°＝v0t，得t＝

2l

，B正确；质子从b运动到c电场力做功W＝eUbc＝8 eV，D正确. v0

考点4 图象在电场中的应用 [对比分析]

1．v-t图象：根据电荷在电场中运动的v-t图象的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化.

2．φ-x图象：(1)电场强度可用φ-x图线的斜率表示，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向.(2)在φ-x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化.

3．E-x图象：(1)反映了电场强度随位移变化的规律. (2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向.

(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，面积的正负表示始末两点电势的高低.

例4 [2017·沈阳质量检测](多选)如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面为竖直平面.一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为m＝10 g的带正电的小球，小球所带电荷量q＝5.0×104 C.小球从C点由静止释放，其沿

－

细杆由C经B向A运动的v-t图象如图乙所示.小球运动到B点时，速度图象的切线斜率最大(图中标出了该切线).则下列说法正确的是( )

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A．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m B．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后变大 C．由C到A电势逐渐降低

D．C、B两点间的电势差UCB＝0.9 V

(1)根据v-t图象斜率最大的点能确定场强最大的位置吗？

Eq

提示：能，v-t图象斜率表示加速度，且a＝，即斜率最大时对应的位置电场强度最大.

m(2)如何确定C、B两点电势差？

提示：应用动能定理，WCB＝qUCB＝EkB－EkC. 尝试解答 选ACD.

Δv0.3－0

速度图象的斜率表示小球运动的加速度，由加速度定义式可知，a＝＝ m/s2＝0.06

Δt10－5m/s2，由牛顿第二定律得：Eq＝ma，解得：E＝1.2 V/m，A正确；由速度图象及动能定理可知，小球由C到A过程中，电场力一直做正功，故小球的电势能一直减小，B错误；由Ep电势能与电势关系φ＝q可知，由C到A过程中，电势不断降低，C正确；小球由C到B1

过程中，qUCB＝mv2－0，代入数据解得：UCB＝0.9 V，D正确.

2B 总结升华

解决图象问题的要点

物理图象将物理情景转化为便于分析、理解、解决问题的物理图形，把抽象问题简单化、具体化.

E-x图象：图象与坐标轴围成的面积表示电势差； φ-x图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度； Ep-x图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场力.

[递进题组]1.[2017·山西运城一模](多选)如图甲所示，x轴上固定两个点电荷Q1、Q2(Q2位于坐标原点O)，轴上有M、N、P三点(未画出)，间距MN＝NP.Q1、Q2在x轴上产生的电势

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φ随x变化关系如图乙所示.则( )

A．N点电场强度大小为零

B．从M点到P点电场强度先增大后减小 C．M、N之间电场方向沿x轴正方向

D．一正试探电荷从P移到M过程中，电场力做功|WPN|＝|WNM| 答案 AC

解析 在电势φ随x变化关系图(φ-x图象)中，切线的斜率表示电场强度，N点电势最小，该点处图象的斜率为0，所以N点电场强度为零，A正确；从M点到P点图象斜率的大小先增大后减小，故电场强度先减小后增大，B错误；M点的电势为零，N点电势小于零，沿电场线方向电势降低，故在MN间电场方向由M指向N，沿x轴正方向，C正确；由题图乙知φN<φP<φM，故一正试探电荷从P移到M过程中，从P到N，电场力做正功，从N到M，电场力做负功，总功为负功，故|WPN|<|WNM|，D错误.

2．[2017·河南安阳市二模]如图甲所示半径为R的均匀带正电球体，A、B为过球心O的直线上的两点，且OA＝2R，OB＝3R；空间场强大小沿球体半径方向分布情况如图乙所示，图中E0已知，E-r曲线下O～R部分的面积等于2R～3R部分的面积，则下列说法正确的是( )

A．A点的电势低于B点的电势 B．A点的电场强度小于B点的电场强度

C．从球面到A点的电势差小于AB两点间的电势差

1

D．带电量为q的正电荷沿直线从A点移到B点的过程中，电场力做功E0Rq

2答案 D

解析 球体带正电，电场线从球心O沿半径指向无穷远，故A点电势高于B点电势，A错

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误；由图乙知EA>EB，B错误；E-r图象与坐标轴围成面积表示电势差，由图乙知，E-r曲线下R～2R部分的面积大于2R～3R部分的面积，则从球面到A点的电势差大于AB两点1

间的电势差，C错误；因曲线下O～R部分的面积等于2R～3R部分的面积，则UAB＝E0R，

21

带电量为q的正电荷沿直线从A点移到B点的过程中，电场力做功W＝qUAB＝E0Rq，故

2D正确.

考点5 电场力做功与电场中的功能关系 [深化理解]

1．求电场力做功的几种方法

(1)由公式W＝Flcosα计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcosα，计算时q不带正负号.

(2)由WAB＝qUAB计算，此公式适用于任何电场，计算时q带正负号. (3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB. (4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. 2．电场中的功能关系

(1)电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增大. (2)合外力做正功，动能增大，合外力做负功，动能减小.

例5 (多选)如图所示，ABC为表面光滑的斜劈，D为AC中点，质量为m带正电的小滑块沿AB面由A点静止释放，滑到斜面底端B点时速度为v0，若空间加一与ABC平面平行的匀强电场，滑块仍由静止释放，沿AB面滑下，滑到斜面底端B点时速度为2v0，若滑块由静止沿AC面滑下，滑到斜面底端C点时速度为3v0，则下列说法正确的是( )

A．电场方向与BC垂直

1

B．滑块滑到D点时机械能增加了mv2

20C．B点电势是C点电势的2倍 D．B点电势与D点电势相等

(1)如何确定电场方向？

提示：先确定等势线，依据电场线垂直等势线且指向电势降低的方向来画电场方向. (2)机械能的增加量对应哪种力做功？ 提示：除重力以外的力做功.

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尝试解答 选BD.

1

无电场时，小滑块由A滑到B或C过程中，mgh＝mv2－0.加上匀强电场后，从A到B过

2011

程中，mgh＋qUAB＝m(2v0)2－0，从A到C过程中，mgh＋qUAC＝m(3v0)2－0.联立以

22上三式解得：UAC＝2UAB，当A点电势为零时，C点电势为B点电势的2倍，C项错误；根据匀强电场特点，UAD＝UAB，即B、D两点电势相等，D项正确；电场方向与BD垂直，A1

项错误；滑块由A到D过程中，qUAD＝qUAB＝mv2－0，由功能关系可知，滑块滑到D时，

201

机械能增加了mv2，B项正确.

20 总结升华

处理电场中能量问题的四点注意

(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功).

(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化. (3)应用功能关系解决问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系. (4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可以守恒.

[跟踪训练] [2017·河北衡水市模拟]如图所示，地面上某个空间区域存在这样的电场，水平虚线上方为场强E1，方向竖直向下的匀强电场；虚线下方为场强E2，方向竖直向上的匀强电场.一个质量m，带电量＋q的小球从上方电场的A点由静止释放，结果刚好到达下方电场中与A关于虚线对称的B点，则下列结论正确的是( )

A．若AB高度差为h，则UAB＝

－mgh

q

B．带电小球在A、B两点电势能相等

C．在虚线上、下方的电场中，带电小球运动的加速度相同 D．两电场强度大小关系满足E2＝2E1 答案 A

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－mgh

解析 从A到B的过程，根据动能定理得，qUAB＋mgh＝0，解得：UAB＝，知A、B

q的电势不相等，则电势能不相等，故A正确，B错误；小球从A到虚线速度由零加速至v，从虚线到B速度由v减为零，位移相同，根据匀变速运动的速度与位移关系可知，加速度大小相等，方向相反，故C错误；根据牛顿第二定律得，在上方电场，a1＝方电场中，加速度大小为：a2＝

mg＋qE1

m，在下qE2－mg2mg

，因为a1＝a2，解得：E2－E1＝mq，故D错误.

满分指导4 电势能和力学规律的综合应用

(18分)在动摩擦因数μ＝0.2的足够长的粗糙绝缘水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图(槽两侧光滑).A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q(均可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力).现让A处于如图所示的有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP恰位于细杆的中垂线，MP和NQ的1.2mg③距离为3L，匀强电场的电场强度为E＝q，方向水平向右.释放带电系统，让A、B从静止开始运动(忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响).求：

①

②

(1)小球B第一次到达电场边界MP所用的时间； (2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小； (3)带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值. [审题 抓住信息，准确推断]

关键信息 ①有界匀强电场区域MPQN内 题干 ②恰位于细杆的中垂线 ③从静止开始运动 ④所用的时间 问题 ⑤离开电场边界NQ时的速度大小 信息挖掘 说明在空间MPQN内有电场，其他地方没有电场 明确了系统开始运动的空间位置，此时只有A球受电场力 系统开始运动时的初速度为零 可利用牛顿第二定律及运动学公式求解 分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动 试题习题、尽在百度

⑥

⑤

④

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⑥电势能增加量的最大值

[破题 形成思路，快速突破]

(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解. ①求B球进入电场前的加速度. a．研究对象：A、B两球组成的系统； b．列动力学方程：2Eq－μ·2mg＝2ma1.

1②求B球第一次到达电场边界MP所用时间，列运动学方程：L＝a1t2.

21(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解. ①研究过程：从B球进入电场到A球第一次离开电场. ②小球B刚进入电场的速度v1的求解.

2a．选择规律：运动学方程；b.方程式：v1＝2a1L. B球进入电场后受电场力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加 ③小球A第一次离开电场的速度v2的求解. a．选择规律：动力学方程和运动学方程； b．动力学方程式：2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2；

2运动学方程式：v22－v1＝2a2L. (3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？

提示：①B球克服电场力做功越多，其增加的电势能越大.先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，求解可知x<2L，可知此时B球没出电场.

②B球电势能增加量的最大值的表达式为ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x). [解题 规范步骤，水到渠成]

(1)带电系统开始运动后，先向右加速运动，当B进入电场区时，开始做减速运动.设B球进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律： 2Eq－μ·2mg＝2ma1，解得a1＝g(2分) 1B球刚进入电场时，由L＝a1t2 (2分)

21可得t1＝2L

(1分) g

(2)设B从静止到刚进入电场的速度为v1，由v21＝2a1L 可得v1＝2gL(2分)

设B球进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律得： 2Eq－3Eq－2μmg＝2ma2得：a2＝－0.8g(2分)

之后系统做匀减速直线运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v2，由v22－

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v21＝2a2L可得v2＝

10gL

(2分) 5

(3)当带电系统速度第一次为零时，此时A球已经到达右边界NQ处，B球克服电场力做的功越多，B球增加的电势能越多，设系统速度减小到零时，A球离右边界NQ的距离为x，A球离开电场后，系统的加速度为a3，由牛顿第二定律：－3Eq－2μmg＝2ma3得：a3＝－2g(2分)

v22

由x＝－解得：x＝0.1L<2L，所以B没有出电场.(3分)

2a3故B电势能增加量的最大值为

ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x)＝3Eq×1.1L＝3.3EqL＝3.96mgL(2分) [点题 突破瓶颈，稳拿满分] 常见的思维障碍：

(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误. (2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误.

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