湖南省长沙市广益实验中学2015届九年级上学期第三次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．式子
有意义的x的取值范围是（ ）
D．
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．
2．下列运算正确的是（ ） A．2a2+a=3a3 B．（﹣a）2÷a=a C．（﹣a）3•a2=﹣a6 D．（2a2）3=6a6
3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c
4．若x：y=1：3，则A．﹣5 B．﹣ C．
的值是（ ） D．5
B．a+c＜b+c C．ac＞bc
D．＜
5．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（ ） A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率x都相同，那么x是（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
7．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ） A．B．（2，﹣3） （﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
8．如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高CO=8cm，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．120° B．180° C．216° D．236°
9．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分） 11．2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面，月球离地球平均距离是384400000米，数据384400000用科学记数法表示为 ．
12．把x3﹣9x分解因式，结果为 ．
13．不等式组
14．已知函数
，那么
= ．
的解集是 ．
15．设M=3a2+7，N=2a2﹣2a+5，其中a为实数，则M与N的关系是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为 ．
17．CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6， ∠ACB=90°，在Rt△ABC中，则sinB的值是 ．
18．佳佳果品点在批发市场以每千克x元的进价购买某种水果若干千克，共花费1200元，由于水果畅销，售完后再次购买，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，根据题意列出方程为： ．
三、计算题（每题6分，共12分） 19．计算：
20．先化简，再求值：（
﹣
）÷
，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
﹣2tan60°+（
﹣1）0﹣（）﹣1．
四、解答题（每题8分，共16分）
21．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩进行统计如下： 等级 成绩（用s表示） 频数 频率 90≤s≤100 A x 0.08 80≤s＜90 B 35 y s＜80 C 11 0.22 50 1 合 计 请根据上表提供的信息，解答下列问题： （1）表中的x的值为 ，y的值为
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．
22．已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．
五、解答题（每题9分，共18分）
23．九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶
端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．
24．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．
（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？
（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？
六、解答题（每题10分，共20分）
25．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0． （1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根； （2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且
．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于
的图象上，求反比例函数
的解析式；
点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数为
时，求θ的值．
的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积
26．已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S． （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； （2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标； （3）求出S与t的函数关系式．
湖南省长沙市广益实验中学2015届九年级上学期第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．式子
有意义的x的取值范围是（ ）
D．
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0， 解得x≥﹣且x≠1．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a=3a3 B．（﹣a）2÷a=a C．（﹣a）3•a2=﹣a6 D．（2a2）3=6a6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题．
【分析】A、原式不能合并；
B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果；
C、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式不能合并，故A错误； B、原式=a2÷a=a，故B正确；
C、原式=﹣a3•a2=﹣a5，故C错误； D、原式=8a6，故D错误． 故选：B．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c
B．a+c＜b+c C．ac＞bc
D．＜
【考点】实数与数轴．
【分析】先由数轴观察a、b、c的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断． 【解答】解：由数轴可以看出a＜b＜0＜c．
A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误； B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确； C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误； D、∵a＜c，b＜0，∴＞，故选项错误．
故选B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．
4．若x：y=1：3，则A．﹣5 B．﹣ C．
的值是（ ） D．5
【考点】比例的性质．
【分析】利用比例的性质得到x、y间的数量关系，然后将y的值代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：由x：y=1：3得到：y=3x，则、 则
=
=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
5．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（ ） A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1 【考点】一元二次方程的解．
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
∵x=1是方程的根，【解答】解：由一元二次方程的根的定义，可得p2﹣2p+1=0，解此方程得到p=1．故
本题选C．
【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出p的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，此题二次项系数是1，不用考虑．因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率x都相同，那么x是（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40% 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2=81， 解得：x1=0.1，x2=1.9， 经检验x2=1.9不符合题意， 则x=0.1=10%． 答：x是10%． 故选：A．
【点评】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
7．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ） A．B．（2，﹣3） （﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】将（﹣2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y=，将点（﹣2，3）代入解析式得k=﹣2×3=﹣6， 符合题意的点只有点A：k=2×（﹣3）=﹣6． 故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8．如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高CO=8cm，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．120° B．180° C．216° D．236° 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题．
【分析】先根据勾股定理计算出母线长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式求这个圆锥的侧面展开图的圆心角． 【解答】解：圆锥的母线长=
=10，
设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π•6=
，解得n=216，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°． 故选C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定；勾股定理． 【专题】网格型．
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项． 【解答】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误； B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误． 故选B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
10．已知直线y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；一次函数的性质．
【分析】根据无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（，）；B（由函数的单调性知 当x=故选B．
时，y最大值为
．
，
）；C（
，
）
【点评】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，要先画出函数的图象根据数形结合解题，锻炼了学生数形结合的思想方法．
二、填空题（每小题3分，共24分） 11．2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面，月球离地球平均距离是384400000米，数据384400000用科学记数法表示为 3.844×108 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将384400000用科学记数法表示为3.844×108． 故答案为：3.844×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．把x3﹣9x分解因式，结果为 x（x+3）（x﹣3） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：x3﹣9x=x（x2﹣9）=x（x+3）（x﹣3）． 故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．
13．不等式组
的解集是 1＜x＜4 ．
【考点】解一元一次不等式组． 【专题】计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：
，
由①得：x＜4； 由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜4． 故答案为：1＜x＜4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．已知函数
，那么
= 1 ．
【考点】函数值．
【分析】把自变量的值代入函数关系式进行计算即可得解． 【解答】解：f（
）=
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．
15．设M=3a2+7，N=2a2﹣2a+5，其中a为实数，则M与N的关系是 M＞N ． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果． 【解答】解：M﹣N=3a2+7﹣（2a2﹣2a+5）=a2+2a+2=（a+1）2+1． ∵（a+1）2+1≥0， ∴（a+1）2+1＞0， ∴M＞N．
故答案为：M＞N．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为 5 ．
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】利用圆周角定理可以判定BC是⊙A的直径，则由勾股定理来求该圆的直径即可． 【解答】解：如图，连接BC．
∵∠COB=90°，且点O、C、B三点都在圆A上， ∴BC是△OBC的直径． 又B（8，0），C（0，6）， ∴BC=
=10，
∴⊙A的半径为 5． 故答案是：5．
【点评】本题考查了圆周角定理、坐标与图形性质以及勾股定理．证得BC是圆A的直径是解题的关键．
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是 【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．
．
【专题】计算题．
【分析】首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4， ∴AB=2CD=8， 则sinB=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．
18．佳佳果品点在批发市场以每千克x元的进价购买某种水果若干千克，共花费1200元，由于水果畅销，售完后再次购买，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，根据题意列出方程为：
﹣20=
．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意可得，涨价之后的每千克进价为（1+10%）x，根据用1452元所购买的数量比第一次多20千克，列方程即可．
【解答】解：设原来的进价为每千克x元，涨价之后的每千克进价为（1+10%）x， 由题意得，故答案为：
﹣20=﹣20=
． ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
三、计算题（每题6分，共12分） 19．计算：
﹣2tan60°+（
﹣1）0﹣（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．
【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=2﹣2+1﹣3=﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．先化简，再求值：（
﹣
）÷
，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x=1代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=
•
=2x+8，
当x=1时，原式=2+8=10．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（每题8分，共16分）
21．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩进行统计如下： 等级 成绩（用s表示） 频数 频率 90≤s≤100 A x 0.08 80≤s＜90 B 35 y s＜80 C 11 0.22 50 1 合 计 请根据上表提供的信息，解答下列问题： （1）表中的x的值为 4 ，y的值为 0.7
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．
【考点】频数（率）分布表；列表法与树状图法． 【分析】（1）用50减去B等级与C等级的学生人数，即可求出A等级的学生人数x的值，用35除以50即可得出B等级的频率即y的值；
（2）由（1）可知获得A等级的学生有4人，用A1，A2，A3，A4表示，画出树状图，通过图确定恰好抽到学生A1和A2的概率． 【解答】解：（1）∵x+35+11=50，∴x=4，或x=50×0.08=4； y=
（2）依题得获得A等级的学生有4人，用A1，A2，A3，A4表示，画树状图如下：
由上图可知共有12种结果，且每一种结果可能性都相同，其中抽到学生A1和A2的有两种结果， 所以从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生A1和A2的概率为：P=
．
=0.7，或y=1﹣0.08﹣0.22=0.7；
【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：各小组频数之和等于数据总数；各小组频率之和等于1；频率=频数÷数据总数；概率=所求情况数与总情况数之比．
22．已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵AC是⊙O直径， ∴∠ABC=90°， ∵OC=OB，
∴∠OBC=∠ACB， ∵∠PBA=∠ACB， ∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°， ∴OB⊥PB， ∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=r， ∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB， ∴∠POB=∠OBC=∠OCB， ∵∠PBO=∠ABC=90°， ∴△PBO∽△ABC， ∴∴r=2
=
，
=，
，
即⊙O的半径为2
．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，用了方程思想．
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五、解答题（每题9分，共18分）
23．九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．
（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．
（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶
端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．
备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【专题】应用题；几何图形问题． 【分析】（1）根据∠α=2∠CDB即可得出答案；
（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度；
CQ=x﹣0.2，（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，根据求出x即可．
【解答】解：（1）∵BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB，
∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°；
（2）如图2，设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N， 过点E作EH⊥BF，垂足为点H，
=
，得出x+3.8x﹣0.2=3，
∵MN∥EH，MN=1.9，
∴EH=2MN=3.8（米），
∴E点离地面FB的高度是3.8米；
（3）如图3，延长AE交直线PB于点C，
设AE=x，则AC=x+3.8， ∵∠APB=45°， ∴PC=AC=x+3.8， ∵PQ=4，
∴CQ=x+3.8﹣4=x﹣0.2， ∵tan∠AQC=∴
=
=tan60°=，
，
x=≈5.7，
∴AE≈5.7（米）．
答；旗杆AE的高度是5.7米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角的定义，能作出辅助线借助仰角构造直角三角形是本题的关键．
24．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．
（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？
（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？ 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用． 【分析】（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，根据等量关系：总销售额为16000元列出方程求解即可；
（2）题目中的不等关系是：6月份该青椒的总销售额不低于18360元列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，则 6x+4（3000﹣x）=16000， 解得x=2000， 3000﹣x=1000．
故今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克．
（2）依题意有6（1﹣a%）×2000（1+30%）+4（1﹣a%）×1000（1+20%）≥18360， 20400（1﹣a%）≥18360， 1﹣a%≥0.9， a≤10．
故a的最大值是10．
【点评】考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0． （1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根； （2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且
．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于
的图象上，求反比例函数
的解析式；
点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数为
时，求θ的值．
的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积
【考点】根的判别式；根与系数的关系；坐标与图形性质；反比例函数的图象；旋转的性质． 【专题】综合题．
【分析】（1）由方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，即可得到△≥0．
（2）先利用求根公式求出两根3，
，再代入
n=3，y=x+3，，可得到a=2，则m=1，直线l：
，即可确定反比例函数
的
这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数解析式；
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（﹣，p）．四边形APQO'的面积=S△APG﹣S△QGO′=
，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．
【解答】（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程， ∴a﹣1≠0，即a≠1．
∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0， ∴△≥0．
所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根； （2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根， ∴m+n=﹣∵
，
，mn==，
．
∴﹣=，
∴a=2，即可求得m=1，n=3． ∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3）， ∴△ABO为等腰直角三角形，
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数k=﹣9，
所以反比例函数的解析式为y=﹣；
（3）解：设点P的坐标为（0，p），延长PQ和AO′交于点G． ∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q， ∴四边形AOPG为矩形． ∴Q的坐标为（﹣，p）， ∴G（﹣3，P），
当0°＜θ＜45°，即p＞3时，
∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，
∴S四边形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣∴
=9﹣
，
，
，得
∴p=．（合题意） ∴P（0，）．则AP=6，OA=3， 所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°； 当θ=45°时，直线l于y轴没有交点； 当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3， 用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去． 所以旋转角度θ为15°．
【点评】题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．
26．已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S． （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； （2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标； （3）求出S与t的函数关系式．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
（3）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角
③1.5＜t＜2时，三角形的面积的差，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面
积分别列式整理即可得解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）， 把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
，
解得：，
故抛物线解析式为y=x2﹣x；
（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度， ∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0）， ∵A（1，﹣1）， ∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）；
（3）如图，点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1， 点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B， 所以，分三种情况讨论：
①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，S=×（2t）×
=t2，
②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差， S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′=×（2t）×
﹣×（
t﹣
）2=2t﹣1；
③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积 S=S梯形OABC﹣S△BGF=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；
所以，S与t的关系式为S=．
【点评】此题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（3）随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观．
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