２０ｌ１年ｌ２月 湛江师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＺＨＡＮＪＩＡＮＧ ＮＯＲＭＡＬ ＣＯＬＩ ＥＧＥ Ｄｅｃ．。２Ｏｌｌ 第３２卷第６期 Ｖｏ１．３２ ＮＯ．６ 一个半离散非齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式 ∑一 杨 必 成 （广东第二师范学院数学系，广东广州５１０３０３） ∑ 兀 摘 要：应用权系数的方法及参量化思想．建立一个推广的具有最佳常数因子的、半离散且含二对共轭指数及 ＜ 单参数非齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式．并考虑了它的等价式与逆式． 关键词：权系数；参数；Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式；等价式；逆式 中图分类号：Ｏ１７８ 文献标识码：Ａ ∑ ∑ 文章编号：１００６—４７０２（２０ｌ１）０６—０００５～Ｏ８ ０ 引 言 若０＜∑ “ ＜。。，０＜∑ ＜。。，则有如下离散的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式…： （１） 这里，常数因子丌为最佳值．其积分类似是：若０＜Ｉ尸（ｒ∞ ｚ）ｄｘ＜。。，０＜Ｉｒ 口 ｇ。（ ）ｄｘ＜。。，则有 Ｊ ０ Ｊ ０ ．ｆ ｊ． ｄｚｄ ＜丌（ｊ＿ ’ ｃｚ，ｄｚＪ． ｇ。ｃｚ ｄｚ） 。， （２） 这里，常数因子７【仍为最佳值．式（２）称Ｈｉｌｂｅｒｔ积分不等式．作为Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式的特例，式（１）与式（２）是 分析学的重要不等式 创，它们有不少推广应用（见文［３—７］）．关于半离散、齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式，详 见最近［文８－９］的工作．关于半离散、非齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式，其较早的非最佳性结果可追溯至１９３４ 年出版的文［１］定理３５１．２００５年，文［１０３建立了具有最佳常数因子的如下单参数不等式：若ａ∈（ｏ，２］， ｏ＜ｆｏ ｌ一 －厂。（ｚ）ｄｚ＜。。，ｏ＜ ￣ ．１－Ａ ２＜ｏ。，则有 ２ ～ ）“ ． ｄ ＜Ｂ ｃ丢，丢 州２（ｘ）ｄｘ一一（３） 本文应用权系数的方法及参量化思想，建立了式（３）的一个引入一对共轭指数的最佳推广式与等价式，并进 步考虑了其具有最佳常数因子的逆式． 收稿日期：２０１ｌ～ｌＯ—ｌｌ 基金项目：广东省自然科学基金资助项目（７００４３４４）． 作者简介：杨必成（１９４７一），男，广东汕尾人，广东第二师范学院数学系教授．从事解析不等式与算子理论研究 ６ 湛江师范学院学报（自然科学） 第３２卷 １ 引 理 引理１ 设。＜ ≤２，忌 ：一Ｂ（丢，睾）（Ｂ（ ， ）： ￡ （ ， ＞。）为Ｂｅｔａ函数ｍ］）．定义 如下权函数及权系数： ０９Ｌ ，、．０一 ｒ。。 １ 一 。ｌ ｚ－ｆ－ ｄｚ（ ∈Ｎ）， ， Ｊ ０ 、， ｌ Ｉ７ 丽扎 扎专一 （（ｚ∈（ｏ， ）。。）） ＾一２ ｚ （Ｎ为正整数集）．则有如下不等式： ∑ 足＾（１一 （ｚ））＜ （ｚ）＜ （ ）一是＾， 这里，定义 （ｚ）为： （ｚ）：一去 ｄ ，且有 （ｚ）：０（ｚ睾）∈（Ｏ，１）（ｘＥ（０，。。））． 证明 在式（４）中作变换ｔ＝ｘｎ，有 （扎）＝＝＝ｊ． ｉ＿＝ 音一 ｄ —Ｂ（丢，丢）一忌 ． 因。＜ ≤２，对于固定的ｚ＞。，函数南 土＿ （３，∈（。，。。））具单调递减性，故有 （ｚ）＜ｚ号ｆ。。 １ 扣ｄ ｄ 一是 一 ）， Ｊ ｏ （ｚ）＞ｚ告ｆ。。 １ 扣ｄ ｄ 一 Ｊ １ 』 ｄ （１－ ））＞。， 。＜ 一 扣 告． 因而有式（６）及式（７）．证毕． 引理２设 ＞。（≠１），去＋ 吉一１，。＜ ≤２， —Ｂ（丢，－ｆｉ ），ｎ ≥。，厂（ｚ）在（。，∞）上非负可测・则 （ａ）当ｐ＞１时，有 一 ［ 吖≤足ｒｉＯＸＰ（１－￣）－１ ， 一 ［薹 口（１＋ｘ ｎ） ≤足Ｊ ｆ妻ｎｎ—Ｉ ｑ（１－譬）－１ ｑ （４） （５） （６） （７） （８） （９） 第６期 杨必成：一个半离散非齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式 ７ （ｂ）当Ｏ＜ｐ＜ｌ时（下面规定：若ｎ 一Ｏ，ｑ＜０，则 －０，即级数中缺了含口：那一项），有 ≥睇ｆ≥睇ｌ 。。（（１一 （ ）：） 亏’Ｘｐ（１－扣ｆ一 ｚ）ｆ（ｚ） ，ｄｘ， Ｊ ０ ｒ●●Ｊ∞ ０ （１０） —．．．．．．． Ｌ ∑一 了。：一－『 紊 ］ ≤愚 薹 ． ≤ 证明 （ａ）当 ＞１时，由带权的Ｈ６１ｄｅｒ不等式 及式（５），式（６），有 ［ ｄ 卜 丽Ｌ ～… 儿 —ｘ（１－：￣…／２）…／ｑ（ ］［筹 ∞ Ｏ●∑ ●Ｊ ｊ ７≤ ≤ ∑ 尸 ｚ［Ｊ． 矸 ｄｚ］川一 Ｘ（１－－１／２）（ｐ－－１）志 面广尸（尸（ｚ）［ｄｘ － ｎｑ（１－ －～叫叫（ ）］ｐ－１一 ～等＋ 是 。。，ｐ √ ０ １ １．朋， ｎｉ－ａ／２ Ｊ ）、 ’ （＋１ 铆） 一 ／尸（训、 ｚ 叫 睾一１ ＸＰ（１－睾Ｈ广（ｚ）ｄｚ （１＋删） ｒｏｏ 是 Ｉ （ ）ｚｐｎ一号’一 尸（ｘ）ｄｘ≤ Ｊ ０ ｆ Ｊ ０ Ｉ．２７Ｐ（１一专）一 （ｚ）ｄｚ． 故式（８）成立．由Ｈ６１ｄｅｒ不等式Ｄｚ］及式（５），式（６），又有 （１＋蜘） 卜｛－Ｊ Ｉ （１＋埘）１ ｌ ｎＸ（Ｉ ／－ Ａ／２２ ））／／ ｑ－儿 硎］．『 Ｊ ｆ ≤ ［ （ｚ）ｚｐ‘ 一号 一 ］ －Ｍ２）（ｑ－－１）（＋ｍ：）１ ｎ（１－ 可Ｘ 一 ／ 。：≤ｎ（１ －Ａ／ ２）（ｑ－１）—ｚｌ一＾／２ 口：，’ ≤是 ｆ。。 （１－－Ａ／２）（ｑ－－１）１ｎ。：ｄｚＪ ｏ （＋艇） 可Ｘ 一 ／ 薹 ｄｚ ：一 ｎ：． 故式（９）成立． （１１） （１２） （１３） ８ 湛江师范学院学报（自然科学） 第３２卷 （ｂ）当０＜ｐ￣ｌ时，类似于（ａ）的配方，因ｑ＜Ｏ，由逆向的Ｈ６１ｄｅｒ不等式 。 及式（５），式（６），有式（１０）及 式（１１）．证毕． ２ 主要结果 定理１设户＞１，吉＋吉一１，。＜ ≤２， 一Ｂ（丢，专）， ≥。，－厂（ｚ）≥。，且。＜ ｎ一号卜 尸（ｚ）如＜。。， ０＜∑。ｎ。＝ｌ ７ ‘ 一｛）－１ ｑ＜。。．则有如下等价式： 一 五 ｄｚ一 ｚ 妻ｎ＝ｌ ｄｚ＜ 广（ｘ）ｄｘ ）－１“ ｑ （１４） 一 吖＜是 尸ｃ蒯 ， （１５） Ｊ ｚ— ［ 这里，常数因子 一Ｂ（丢，丢）， ｆ及 都是最佳值． ］。出＜朗薹 卜 （１６） 证明 由Ｌ逐项积分定理 ¨ ，式（１４）的Ｊ有两种表示．由条件，式（１２）取严格不等号，故有式（１５）．由 Ｈ６１ｄｅｒ不等式，有 Ｊ一薹 古‘『 口 ：：＝＝ ｄｚ 譬一 ［－ｆ 一｛ ）＿ｌａ： ｄｚ］ ， ∈Ｎ， 由式（１５），有式（１４）．反之，设式（１４）成立．取 则由式（１４），有 是 ｃ蒯ｚ （１８） 由式（１２）及条件，知Ｊ ＜∞．若 一ｏ，则式（１５）自然成立；若Ｊ ＞Ｏ，则应用式（１４）的条件都具备，式（１８）取 严格不等号，且两边除以Ｊ｝ ，有 ｛ 故式（１５）成立，且它与式（１４）等价． ＜忌 尸（蒯ｚ 由条件，式（１３）取严格不等号，故有式（１６）．由Ｈ６１ｄｅｒ不等式，有 第６期 杨必成：一个半离散非齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式 ９ Ｉ＝：ｆＪ ０ 。。［ｚ＊厂（ｚ）］ 一Ｌ 音∑ ”一１ 南］ｄｚ≤｛』 ｚ，（１一告）一 ，ｐ ｚ ｄｚ｝ Ｊｊ ・ ｃｌ９ 故由式（１６），有式（１４）．反之，设式（１４）成立．取 ［薹 ｚ∈（ｏ ， 则由式（１４），有 ｆＩ ｏｏＸｐ（‘ 一告Ｈ （专’一 （ｚ） 一Ｊ２一≤ ｄｘ—Ｊ 一Ｉ≤ Ｊ ０ 是 ｃ ｚ ｛薹 １＿｛ 口： （２０） 由式（１３）及条件，知Ｊ：＜。。．若Ｊ。一Ｏ，则式（１６）自然成立；若 ｚ≥ｏ，则应用式（１４）的条件都具备，式（２０）取 严格不等号，且有 （ 尸ｃ蒯ｚ ＜ ｛薹 椰 故式（１６）成立，且它与式（１４）等价．故式（１４），式（１５）与式（１６）齐等价・ 任给￡＞ｏ，取 （ｚ）一ｚ告＋古＿。，ｘ Ｅ（ｏ，１）；￣（ｘ）－－０，ｚ∈［１，。。）及 一 一号＿。， ∈Ｎ・若有正常数是（≤ ），使取代式（１４）的ｋ 后仍成立，则特别还有 （＋ １ ｘｎ ） 一 、＜ 是 吁 蒯ｚ 一 是（ ｚ） （ ＋妻 ） ＜ 是ｃ÷）ｌ／一（ ＋ ｚ＋ ） 。一 ｃｅ ． （２１） 另一方面，由递减性及Ｆｕｂｉｎｉ定理 ，又有 一ｄ ０卡 ［Ｌ 薹１ｎ孟 ＼ Ｉ川， 卜≥ 一 中 ［ 争 ｄ ｊ．：ｚ ［Ｊ＿ 专一号一 ｒ｛＿ ｄ ｄｚ— ｄ 卜＋ Ｊ’： （ｆ：ｘ￣ｌｄｘ） ¨ ¨ （２２） １Ｏ 由式（２１）及式（２２），有 ＿ 湛江师范学院学报（自然科学） 第３２卷 寺＋寺～ ｄ ＋』 ＿ ｔ寺一寺～ ｄ ＜五（ｅ＋１） ． ｔ ２＿ｌｄ ＋．『 再由Ｆａｔｏｕ引理 ，有 …ｌｉｍｌｆ Ｅ Ｏ＋ ¨ ｌｉｍｋ（ｅ＋１） ／ｑ—ｋ． ｄ ］≤ 故ｋ＝ｋ 为式（１４）的最佳值．式（１５）（式（１６））的常数因子必为最佳值，不然，由式（１７）（式（１９）），必导出式 （１４）的常数因子也不为最佳值的矛盾．证毕． 定理２ 设。＜乡＜１， １十 １—１，。＜ ≤２， （ ）一去 ． 出一。（ｚ睾）（ｚ∈（。，ｏ。）），ａ ≥ ｒ。。 、 ｏ，＿厂（ ）≥ｏ，ｏ＜Ｉ （１一 （ｚ）） ‘ 一寺Ｈｆｆ（ｘ）ｄｘ＜。。及ｏ＜∑ ｎｑ（１－寺Ｈ口：＜ｏｏ．则有如下等价式（ ， 依定理１所示）： ’ Ｊ＞五 １一 ｒｏ。 Ｈ Ｊ ０ （ （２３） ，１＞ｋｆＩ（１一 （ｚ）） ’‘ 一吾卜 广（ｘ）ｄｘ， （２４） ［ ａｎ １。＜忌 这里，常数因子是 一Ｂ（丢，专），钟及五 都是最佳值． Ｈ （２５） 证明 同理，由右边积分为正数的条件，式（１０）取严格不等号，故有式（２４）．由逆向的Ｈ６１ｄｅｒ不等式，有 式（１７）的如下逆式． 一茎 古 ｎ 一 ｄｚ 譬一 ［－『 ｛ 一）－１“ｑ ｄｚ］ ， ∈Ｎ 再由式（２４），有式（２３）．反之，设式（２３）成立．取 则由式（２３），有 薹 取严格不等号，且有 一 一Ｊ≥ １一 （ ）＿ｌｎ： ＞忌 １一 尸（ ｚ 卜｝Ｈ （ （２７） 由式（１ｏ）及条件，知Ｊ ＞Ｏ．若Ｊ 一。。，则式（２４）自然成立；若Ｊ ＜。。，则应用式（２３）的条件都具备，式（２７） 故有式（２４），且它与式（２３）等价． 同理，由积分为正数的条件，式（１１）取严格不等号，故有式（２５）．由逆向的Ｈ６１ｄｅｒ不等式，有 第６期 杨必成：一个半离散非齐次核的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式 １１ １一 扣尸（ ｚ ． （２８） 再由式（２５），可得式（２３）．反之，设式（２３）成立．取 一 斋［薹 （＋脚）１ ］－Ｊ ， ～ｚ∈（ 一’～ｏ，。。）， 则由式（２３），有 Ｊ ０ ｆ。。（１一 （ｚ））ｚ 一｛Ｈｆｆ（ｘ）ｄｚ一了 一Ｉ≥ 忌 一 Ｈ ｛ ）＿１口： （２９） 由式（１１）及条件，知了。＜ｏ。．若了 一ｏ，则式（２５）自然成立；若了。＞ｏ，则应用式（２３）的条件都具备，式（２９）取 严格不等号，且 口一 １一 Ｈ ）１／口＞忌 ｛ 故由ｑ＜Ｏ，上式两： ｑ次方，有式（２５），且它与式（２３）等价．故式（２３），式（２４）与式（２５）齐等价． 任给ｏ＜ｅ≤ｅ。＜ ，取 一ｚ睾＋寺－－Ｉ￣ＸＥ（ｏ，１）； （ｚ）一ｏ，ｚｅ ｌ１，∞）及 一 ｛一寺一１ ｙ／．６ Ｎ．若有正常数 Ｋ（≥忌 ），使取代式（２３）的 后仍成立，则特别还有 了＞Ｋ １一 Ｈ ｛ Ｈ — Ｋ（ 一 ）『 ｄ ） （１＋ Ｋ［Ｊｌ （ｚ一１＋ｅ—ｏ（ｚ专＋Ｅ＿ ））ｄｚ］ （１＋ Ｋ（１ 一０（１ （１＋ Ｘ－Ｉ－￣ｄｚ） ｋ。（１一 １）） （ｅ＋１）ｌ ． （３０） 另一方面，由递减性，有 了一 中 ［ 卜≤ ［ ｄ 卜一 ｃ丢一号，丢＋ （３１） 联系式（３Ｏ）及式（３１），有 ∑、ｌ，一 １ ＞１２ 湛江师范学院学报（自然科学） 第３２卷 Ｂ（丢一寺，Ａ Ｆ ｑｅ＿）＞Ｋ（１一ｅ０（１）） （￡＋１） 口． 在式（３２）中，令￡一０ ，有忌 ≥Ｋ．故Ｋ＝ｋ 为式（２３）的最佳值． （３２） 式（２４）（式（２５））的常数因子必为最佳值，不然，由式（２６）（式（２８）），必导出式（２３）的常数因子也不是最 佳值的矛盾．证毕． ｛ 评注：当 —ｇ一２时，式（１４）变为式（３），故式（１４）是式（３）的引入共轭指数的最佳推广． 参考文献： ［１］ＨＡＲＤＹ Ｇ Ｈ，ＬＩＴＴＬＥＷＯＯＤ Ｊ Ｅ，ＰＯＬＹＡ Ｇ．Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９５２． ［２］ＭＩＮＴＲＩＮＯＶＩＣＥ Ｄ Ｓ，ＰＥＣＡＲＩＣ Ｊ Ｅ，ＦＩＮＫ Ａ Ｍ．Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｎｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９１． ［３］杨必成．算子范数与Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式［Ｍ］．北京：科学出版社，２００９． ［４］ＹＡＮＧ Ｂｉ—ｃｈｅｎｇ．Ｈｉｌｂｅｒｔ—ｔｙｐｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｍ］．Ｄｕｂａｉ：Ｂｅｎｔｈａｍ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ Ｌｔｄ，２００９． ［５１ ＹＡＮＧ Ｂｉ—ｃｈｅｎｇ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ ＨｉＩｂｅｒｔ—ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［ＭＩ．Ｄｕｂａｉ：Ｂｅｎｔｈａｍ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ Ｌｔｄ，２０１１． ［６］ＫＲＮＩＣ Ｍ，ＰＥＣＡＲＩＣ Ｊ．Ｈｉｌｂｅｒｔ’Ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｒｅｖｅｒｓｅｓ［Ｊ］．Ｐｕｂｌ Ｍａｔｈ Ｄｅｂｒｅｃｅｎ，２００５，６７（３／４）：３１５—３３１． ［７］ＡＺＡＲ Ｌ．Ｏｎ ｓｏｍｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ Ｈａｒｄｙ—Ｈｉｌｂｅｒｔ’Ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎｓ，２００９，ｎｏ．５４６８２９． ［８］杨必成．一个半离散且正数齐次核逆向的Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式［Ｊ］．湛江师范学院学报，２０１１，３２（３）：５—９． ［９］杨必成．一个半离散的Ｈｉｌｂｅｒｔ不等式［Ｊ１．广东第二师范学院学报，２０１１，３１（３）：１—７． ［１０１ ＹＡＮＧ Ｂｉ—ｃｈｅｎｇ．Ａ ｍｉｘｅｄ Ｈｉｌｂｅｒｔ～ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｗｉｔｈ ａ ｂｅｓｔ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆａｃｔｏｒ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００５，２０（３）：３１９—３２８． ［１１］ＹＡＮＧ Ｂｉ—ｃｈｅｎｇ．Ｏｎ Ｈｉｌｂｅｒｔ’Ｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９８，２２０： ７７８—７８５． ［１２］匡继昌．常用不等式［Ｍ］．济南：山东科技出版社，２００４． ［１３１匡继昌．实分析引论［Ｍ］．长沙：湖南教育出版社，１９９６． Ａ Ｈａｌｆ－Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｈｉｌｂｅｒｔ＇ｓ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｗｉｔｈ ａ Ｎｏｎ。＿Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｋｅｒｎｅｌ ＹＡＮＧ Ｂｉｃｈｅｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０３０３，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｗｅｉｇｈｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ａｎ ｅｘｔｅｎｄ— ｅｄ ｈａ１ｆ—ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｈｉｌｂｅｒｔ＇ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｗｉｔｈ ａ ｂｅｓｔ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆａｃｔｏｒ，ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｃｏｎｊ ｕｇａｔｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．ａｎｄ ａ ｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｋｅｒｎｅｌ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ｉｔｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｆｏｒｍｓ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｒｅｖｅｒｓｅｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｃｏｎ— ｓｉｄｅｒｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗｅｉｇｈｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ；Ｈｉｌｂｅｒｔ＇ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｆｏｒｍ；ｒｅｖｅｒｓｅ
