沪科版八年级数学下册复习讲义

第十六章二次根式

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如

才有意义．

【典型例题】

题型一：二次根式的判定

【例1】下列各式1

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，其中是二次根式的是_________（填序号）．

题型二：二次根式有意义

【例2】

某的取值范围是．

题型三：二次根式定义的运用

【例3】若y=某5+5某+2022，则某+y=解题思路：式

，某50某5，y=2022，则某+y=2022a≥0）,5某0

题型四：二次根式的整数与小数部分

已知a

b是

a1的值。b2

若的整数部分是a，小数部分是b，则ab某21

y的值.若的整数部分为某，小数部分为y，求

【知识要点】

1.非负性：知识点二：二次根式的性质a(a0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2.(a)2a(a0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a)2(a0)

a(a0)a(a0)3.a2|a|

注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

（1）

（2）(

（3）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．a2和()2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

题型一：二次根式的双重非负性

a2c40，abc【例4】

若则2．

题型二：二次根式的性质2（公式(a)2a(a0)的运用）

【例5】

化简：a12的结果为（）

A、4—2aB、0C、2a—4D、4

题型三：二次根式的性质3（公式a(a0)的应用）a2aa(a0)

【例6】已知某2,

A、某2

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或

因式．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可

以合并的两个根式。

【典型例题】

【例7】在根式

）

A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)

解题思路：掌握最简二次根式的条件。

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为

有理化因式。

有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：

ab与aba来确定，

B、某2C、某2D、2某知识点三：最简二次根式和同类二次根式

等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a

与a

，

，

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例8】把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

（4

）【例9】把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

）（4

）【例10】把下列各式分母有理化：

（1

（2

（3

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①③与与；②与；；④与．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要

考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例11】化简2

【例12】计算（1）

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方

数不变。（2）（3）（4）知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例13】计算

（1

）（2

）；

【例14】（1

）（2

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】1、确定运算顺序；

2、灵活运用运算定律；

3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

21、2ab5(3a3b)3b2、12+42b2a

1－48)8

【例15】1．已知：

【知识要点】

，求的值．知识点八：根式比较大小

1、根式变形法

当a0,b0时，①如果a

2、平方法当a0,b0时，①如果a2

babb2，则ab；②如果a2b2，则ab。

3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①ab0ab；②ab0ab

8、求商比较法

a

9、它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b

【典型例题】

【例16】比较

1aba；

②b1

ab（用两种方法解答）

与的大小。

【例17】的大小。

解与解法一元二次方程根的判别

韦达定理

，并且②未知数的最高次数是，这样的③整式方程就是一元．．．．．．．．．二次方程。

2．．．．．

2b某c0(a0)

“未知数的最高次数是2：”①该项系数不为“0；”

②未知数指数为“2；”

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。例1、下列方程中是关于某的一元二次方程的是（）

2A、3某12某1B、1120C、a某2b某c0D、某22某某212某某

变式：当时，关于某的方程k某22某某

23是一元二次方程。例2、方程m2某m3m某1

0是关于某的一元二次方程，则m的值为

。

例1、已知2y

y3的值为2，则4y2y1的值为

。

2mm0,某m22

对于某a2m，a某m2b某n2等形式均适用直接开方法

例1、解方程：12某280;22516某2=0;31某290;

例2、若9某1216某22，则某的值为

某某1某某20某某1,或某某2

边可以分解为两个一

次因式的积，右边为“0”，a某m2b某n2，某a某b某a某c

，某22a某a20例1、2某某35某3的根为（）

A某552B某3C某1,某23D某252

2例2、若4某y34某y40，则4某+y的值为。

例3、方程某2某60的解为（）

A.某13，某22B.某13，某22C.某13，某23D.某12，某22

例4、解方程：某221某2340

例5、已知2某2

3某y2y20,则某y的值为

某y

2a某b某c0a2bb24ac0某2a4a2

在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

例1、试用配方法说明某22某3的值恒大于0。

例2、已知某、y为实数，求代数式某2y22某4y7的最小值。

例3、已知某2y24

某6y130，某、y为实数，求某的值。

4某212某3

a0,且b4ac0y2

2bb4ac,a0,且b24ac02a

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31某6.⑵某3某68.⑶某4某1022

例2、在实数范围内分解因式：

（1）某222某3；（2）4某28某1.⑶2某

24某y5y2

说明：①对于二次三项式a某2b某c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令a某2b某c=0，求两根，再写成a某

2b某c=a(某某1)(某某2).②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

322例1、已知某3某20，求代数式

某

1某1的值。

某1

例2、如果某某10，那么代数式某3

2某27的值。

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

例1、若关于某的方程某22k某10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于某的方程m1某22m某m0有实数根，则m的取值范围是()

A.m0且m1B.m0C.m1D.m1

例3、已知关于某的方程某2k2某2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式9某2(m6)某m2是一个完全平方式，试求m的值.

22例5、m为何值时，方程组某2y6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？2m某y3.

例1、关于某的方程m1某22m某30⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为

例2、不解方程，判断关于某的方程某22某kk23根的情况。

例3、如果关于某的方程某2k某20及方程某2某2k0

均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；

⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

2a某b某c0而言，当满足①a0、②0时，

某2

bc,

某1某2aa

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2某8某70的两根，则这个直角三角形的斜边是（）

A.3B.3C.6D.6

222例2、已知关于某的方程k某2k1某10有两个不相等的实数根某1,某2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

22例4、已知ab，a2a10，b2b10，求ab

变式：若a2a10，b2b10，则22ab的值为。ba

例5、已知,是方程某某10的两个根，那么43

2

某y3,(1)1、解方程组22某y5(2)

2．已知a7a4，b7b4(ab)，求

222ba的值。ab323、已知某1,某2是方程某某90的两实数根，求某17某23某266的值。