八年级数学因式分解复习题

一、知识梳理

1、因式分解的概念

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.

注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法

把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(abc)是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：

mambmcm(abc)

注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂.

3、运用公式法

1

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

22ⅰ）平方差公式 ab(ab)(ab)

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

22③在用公式前，应将要分解的多项式表示成ab的形式，并弄清a、b分别表示什么.

222222a2abb(ab),a2abb(ab)ⅱ）完全平方公式

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；

②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成

a22abb2(ab)2公式原型，弄清a、b分别表示的量.

补充：常见的两个二项式幂的变号规律：

2n2n2n12n1(ab)(ba)(ab)(ba)①； ②．（n为正整数）

2

4、十字相乘法

借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次

2项系数为l的二次三项式xpxq, 寻找满足abq,abp的a、b，则有

x2pxqx2(ab)xab(xa)(xb);

5、分组分解法

22abab没有公因式，又不能定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如

直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22a2b2ab=(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.

原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.

2axbxc0(a0),有两个根x1,x2，那么 6、求根公式法：如果

ax2bxca(xx1)(xx2).

二、典型例题及针对练习

考点1 因式分解的概念

3

例1、 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？

22(x3)(x3)x9x⑴ ； ⑵5x24(x3)(x8)；

1x21x(x)x. ⑶x2x3x(x2)3 ； ⑷

2注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..

考点2 提取公因式法

4323238xy6xy2xyx(xy)2(yx)例2 ⑴； ⑵

解：

注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.

43332222(ab)a(ab)b(ba)45abc9abcabc[补例练习]1、⑴； ⑵

考点3、运用公式法

例3 把下列式子分解因式：

4

22⑴36a4b； ⑵

2x212y2.

解：

注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.

例4把下列式子分解因式：

22x4y4xy； ⑵a5b18a4b381a3b5. ⑴

解：

注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.

2262(a2b)(2ab)a16a[补例练习]2、⑴； ⑵；

222242(x1)4x(x1)4x16x8x1⑶； ⑷.

注：整体代换思想：a、b比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.

考点4、十字相乘法

5

42242x5xy4ya5a4例5 ⑴； ⑵.

222[补例练习]3、⑴x6xy16y ⑵(xy)2(yx)80

考点5、分组分解法

例6分解因式：

222324x4xyyz（1）； （2）aa2b2ab

22x2xyy2x2y3 （3）

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

答案：（1）2xyz2xyz（三、一分组后再用平方差） （2）a2ba1a1（三、二分组后再提取公因式） （3）xy3xy1（三、二、一分组后再用十字相乘法）

★ 综合探究创新

2例7 若x2(a4)x25是完全平方式，求a的值.

6

说明 根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.

121aabb22的值. 例8 已知ab2，求2说明 将所求的代数式变形，使之成为ab的表达式，然后整体代入求值.

3223xy2xyxyxy2xy1例9 已知，，求的值.

说明 这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与xy的式子，再整体代入求值.

三、巩固练习

课外练

一、 填空题

231. 分解因式：5m10nm .

222. 分解因式：x9y6xy . 23. 当a99时，a2a3的值是 .

22(x4xy5y)(x5y) . 4.

7

5. 分解因式：1a22abb2 .

6. 分解因式：

x4x2y2y4 . 二、解答题

7.分解因式：2m(ac)5(ca).

8．运有简便的方法计算：752.62123.52.

9.分解因式：

x24xy4y2x2y6. 参

一、 填空题

1. 5m(m2n2) 2.(x3y)2 3. 9600 4. xy 5. (1ab)(1ab)(x2y2xy)(x2y2xy)

二、解答题

7. (ac)(2m5) 8. 360 9. (x2y3)(x2y2)

8

6.