数字信号处理实验离散系统的z域分析

数字信号处理实验报告

实验名称：离散系统的Z域分析 学号： 评语： 成绩：

一、实验目的

1、掌握离散序列z变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB进行z反变换的计算方法。

姓名：

二、实验原理与计算方法

1、z变换

离散序列x(n)的z变换定义为：X(Z)nx(n)zn。

在MATLAB中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z变换。其命令格式为： syms n;

f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)

2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件

一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入与输出关系，即y(n)= x(n)*

h(n)

对该式两边取z变换，得： Y(z)= X(z)· H(z)

Y(z)则： H(z)

X(z)将H(z)定义为系统函数，它是单位抽样响应h(n)的z变换，即

H(z)Z[h(n)]

nh(n)zn

对于线性移不变系统，若n<0时，h(n)=0，则系统为因果系统；若

n|h(n)|，则系统稳定。

|h(n)|，

由于h(n)为因果序列，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部区域，因此H(z)的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为H(z)nh(n)zn，若z=1时H(z)收敛，即H(z)|z1n则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。 因此因果稳定系统应满足的条件为：|z|,1，即系统函数H(z)的所有极点全部落在z平面的单位圆之内。

3、MATLAB中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法

MATLAB中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p是包含该多项式所有根位置的列向量。

31如：求多项式A(z)z2z的根的MATLAB命令为：

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A=[1 3/4 1/8]; p=roots(A) 运行结果为： p=

-0.5000 -0.2500 也可以用[z,p,k]=tf2zp(B,A)函数求得。其中z为由系统的零点构成的向量，p为由系统的极点构成的向量，k表示系统的增益；B、A分别为系统函数中分子分母多项式的系数向量。

离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z的正次幂降幂排列，如

z32z，另一种是分子分母多项式均按z的负次幂升幂排列，如H1(z)4z3z32z22z11z1，在构造多项式系数向量时，分子和分母多项式系数向量的维数一定要H2(z)111z1z224相同，缺项用0补齐。对于H1(z)其分子多项式的系数向量应为：B=[0 1 0 2 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 3 2 2 1]。对于H2(z)其分子多项式的系数向量应为：B=[1 1 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 1/2 1/4]。

绘制系统函数的零极点图可由MATLAB中的zplane函数实现。该函数的调用方法为：zplane(B,A)或者zplane(z,p,k)，其中B，A，z，p，k的含义与tf2zp函数相同。若调用zplane(B,A)绘图，则首先将系统函数中分子分母多项式变换成按z的正次幂降幂排列的系数向量，再求零极点。 4、z反变换的计算方法

zz反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列anu(n)的z变换为，因此求反变换时，

zaX(z)通常对进行展开：

zAkA1A2X(z) zzz1zz2zzk其中Ai(zzi)

X(z)X(z)称为有理函数的留数。 (i1,2,k)zzizz分两种情况进行讨论：

（1）X(z)的所有极点均为单实极点

AzA1zA2z此时X(z)k，则X(z)的z反变换为：

zz1zz2zzkx(n)A0Ai(zi)n

i1k（2）X(z)有共轭极点

设X(z)有一对共轭极点p1,2ej，则X(z)的计算方法与单极点相同，即r1(zp1)因此，只要求出

Azr1zr2zAz其中留数1k，

zp1zp2zz1zzkX(z)zzp1|r1|ej，r2=r1 *

X(z)部分分式展开的系数（留数），就可以直接求出X(z)的z反变换x(n)。在zX(z)MATLAB中可利用函数residue()求解。令B和A分别是的分子和分母多项式构成的系数向量，

zX(z)则函数[r,p,k]=residue (B,A)将产生三个向量r、p、k，其中r为包含部分分式展开系数ri(i=1,2,…,N)

zX(z)X(z)的列向量，p为包含所有极点的行向量，k为包含部分分式展开的多项式项的系数

zzcj(j=1,2,…,M-N)的列向量，若M≤N，则k为空阵。

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用residue()函数求出的反变换x(n)。

X(z)部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直接求出X(z)zz2如：已知X(z)2，求其z反变换x(n)。

z3z2X(z)z首先利用residue()函数求出的部分分式展开的系数和极点，相应的2zz3z2MATLAB命令为： B=[0 1 0]; A=[1 3 2];

[r,p,k]=residue (B,A) 运行结果为： r = 2 -1 p = -2 -1 k =

[ ]

21由以上结果可得：X(z)；即X(z)只有两个单极点，其z反变换为：z2z1x(n)2(2)n(1)nu(n)。

z2z 已知X(z)3，求其z反变换x(n)。 2z2z2z1X(z)z1 利用residue()函数求出的部分分式展开的系数和极点，可得： 32zz2z2z1B=[0 0 1 1]; A=[1 -2 2 -1];

[r,p,k]=residue (B,A) r =

2.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p =

1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i k =

[ ]

X(z)可见，包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位，相应命令为：

zp1=abs(p') p1 =

1.0000 1.0000 1.0000 a1=angle(p')/pi a1 =

0 -0.3333 0.3333

即共轭极点为：p1,2ej3，则X(z)zzej3zzej32z，其z反变换为：z13

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x(n)2cosn2u(n)

3三、实验内容

（1）求下列序列的z变换：

2-nu(n)；-(1/2)n u(n)；(1/2)n+(1/3)n u(n)

实验代码：

syms n; f1=(2)^(-n); f2=-(1./2)^(n);

f3=(1./2)^(n)+(1./3)^(n); ztrans(f1) ztrans(f2) ztrans(f3)

实验截图：

（2）已知两个离散因果系统的系统函数分别为：

123z2z2zzz；H2(z) H1(z)32121z2z4z11zz2分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。 实验代码：

A1=[1 2 -4 1]; B1=[0 1 1 0];

[Z1 P1 K1]=tf2zp(B1,A1) [r1,p1,k1]=residue(B1,A1) pl=abs(p1') al=angle(p1')/pi zplane(B1,A1)

title('H1(z)系统零极点图')

实验截图： 4

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实验代码：

A2=[1 1 1/2 0]; B2=[0 2 -1 1]; [z,p,k]=tf2zp(B2,A2); [r,p,k]=residue(B2,A2); p1=abs(p'); a1=angle(p')/pi; zplane(B2,A2);

title('H2(z)系统零极点图')

实验截图：

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