启东中学高二2012-2013学年期中数学试题

高二数学试卷

1. 命题“xR,x2x0”的否定是 ． 2. 输出的结果是 ． Read S1

命题人：陈高峰

（满分160分 时间120分钟）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上.

For I from 1 to 5 step 2

SS+I End for

Print S

End

3. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了

解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ．

4. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准

方程是 ．

5. 已知F1,F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于实轴的弦，若PQF2是等腰直

角三角形，则双曲线的离心率为 ．

6. 从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率

是 ．

7. 已知定点A(3,4)，点P为抛物线y24x上一动点，点P到直线x1的距离为d，则

PAd的最小值为 ．

8. 过抛物线yax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

1p1q ．

9. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线

曲线右焦点的距离是 ．

x24y2121上一点M，点M的横坐标是3则M到双

10. 已知F1、F2是椭圆

x2k2+

y2k1=1的左右焦点，弦AB过F1，若ABF2的周长为8，则

椭圆的离心率为 ．

11. 已知椭圆

x25y2m1的离心率为

105，则m的值为 ．

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12. 如图，把椭圆

x216y291的长轴AB分成8等份，过每

个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于

P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7 七个点，F是椭圆的一个

焦点，则P1FP2FP3FP4FP5FP6FP7F ．

13. 已知动点P与双曲线x2y21的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的

最小值为13，则动点P的轨迹方程为 ． xa2214. 已知椭圆C:yb221(ab0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为k(k0)的直

线与C相交于A、B两点．若AF3FB，则k ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 设有两个命题：①“关于x的不等式x2(a1)xa20的解集是R”；②“函数

． 若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数af(x)(2aa1)是R上的减函数”的取值范围．

分组 频数 ① 12 4 ④ 频率 ② 0．050 0．200 0．300 0．275 ③ 0．050 2x16. 高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，

现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少； （2）根据题中信息估计总体平均数是多少； （3）估计总体落在[125,155]中的概率.

85,95 95,105 105,115 115,125 125,135 135,145 [145,155] 合计 17. 设关于x的一元二次方程x22axb20.

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，

求上述方程有实数根的概率；

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（2）若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实数

根的概率.

18. 如图，直角梯形ABCD中，AD3,AB4,BC3，曲线DE上任一点到A、B两

点距离之和都相等.（E与AB在一条直线上） （1）适当建立直角坐标系，求曲线DE的方程；

（2）过C点能否作一条直线与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由；如果能，请求出该弦所在直线的方程.

D

C

A

B

E

19. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分

布表如下： 组号 第一组 第二组 第三组 分组 频数 8 ① 15 频率 0.16 0.24 ② 230,235 235,240 240,245 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

第四组 第五组 245,250 [250,255] 10 5 0.20 0.10 合 计 50 1.00 （1）写出表中①②位置的数据； （2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

20. 如图，F是椭圆

为

12xa22yb221(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率

．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：x3y30相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且MPMQ2，求直线l2的方程． „„线„„„„„„„„„„„„„„„„„„ ―――――――――――――――――――――

座位号 江苏省启东中学2012-2013学年度第一学期期中考试

高二数学答案卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在相应的横线上．

1． 2．

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3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.

16.

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17.

18.

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座位号________

19.

20.

江苏省启东中学2012-2013学年第一学期期中考试 高二数学答案

一、填空题：

x21. xR,xx0; 2. 10; 3. 15; 4. 6.

1524y1 ; 5. 11222;

; 7. 25; 8. 4a; 9. 4; 10. ;

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11. 3或253; 12. 28; 13.

x23y1 ; 14.

22

二、解答题：

15. 解：若命题①为真命题，则x(a1)24a20， „„„„„„„2分

解之得a1或a13， „„„„„„„5分

若命题②为真命题，则02a2a11， „„„„„„„7分 解之得12a0， „„„„„„„10分

12a0或a13 所以至少有一个为真命题的a的取值范围为a1或.„„14分

16. 解：（1）①1 ②0.025 ③ 0.1 ④ 40 „„„„„„„8分

（2）900.0251000.051100.21200.31300.2751400.11500.05122.5 „„„„„„„12分 （3）0.2750.10.050.425 „„„„„„„14分

17. 解：设事件A为“方程ax22axb20有实根”

当a0,b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.„„„„4分 （1）基本事件共有12个，事件A包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)34；

„„„„„„„9分 （2）试验的全部结果所构成的区域为(a,b)0a3,0b2，而构成事件A的区

域为

{a(b,)|a0b3,，0a所b求事件的概率为

12P(A)12. „„„„„„„14分

23322

18. 解：（1）取AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

由题意，曲线DE为一段椭圆弧.

由于a12(|AD||BD|)4，c2,b12 „„„„„„„2分

2 所以曲线DE的方程为

x216y2121(2x4,y0).„„„„„„„6分

（少变量范围的扣2分） （2）C点坐标为2,3，设存在直线l与曲线DE交M(x1,y1)、N(x2,y2)，

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 223x14y148 由，两式相减得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，

223x24y248 „„„„„„„8分 又∵C是DE的中点，∴x1x24,y1y223，

∴ky2y1x2x13232 „„„„„„„10分

(x2)3，即y32x23 „„„„„„12分

∴直线l方程为y 代入曲线DE的方程得x24x0

∴x10,x24得M(0,23)、N(4,0)在曲线DE上

32 ∴存在直线l，其方程为y19.解：（1）500.2412，

1550x23. „„„„„„16分

0.3； „„„„„„„4分

（2）因为15:10:53:2:1，所以第三、四、五各组参加考核人数分别为3,2,1； „„„„„„„8分 （3）设第三组抽到的学生为a1,a2,a3，第四组抽到的学生为b1,b2，第五组抽到的学 生

为c，则6名学生中录取2名学生有如下15种：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，

{a1,b2}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a1,c}，{a2,a3}，{a3,c}，

{b1,b2}，{b1,c}，{b2,c}，

其中至少有1名是第四组的有9种，故至少有1名是第四组的概率为P91535．

„„„„„„„16分 20. 解：（1）∵eca1222， ∴a2c， ∴b3c，∴ B(0,3c)，„„„„2分

又∵F(c,0)，∴kBF333

故kBC，∴直线BC为y33x3c，∴C(3c,0) „„„4分

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∴圆M的方程为(xc)2y24c2 „„„„6分  圆M与直线l1:x1c303132c，得c1 „„„„8分

223y30相切

∴

∴ 椭圆方程为

x4y31 „„„„10分

（2）由（1）得A(2,0)，圆M方程为(x1)2y24， „„„„12分 MPMQ2，可得PMQ1200，所以圆心M到直线l2的距离为1， 设l2:yk(x2)，则

k2k1k2421，得k24 „„„„14分

故直线l2方程为 y(x2) „„„„16分

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