二次函数压轴题
面积类
1．如图，已知抛物线经过点
A（﹣ 1， 0）、 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3）三点．
（ 1）求抛物线的解析式．
（ 2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B， C 重合），过 M 作 MN ∥ y 轴交抛物线于 N，若点 M
的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长．
（3）在（ 2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使△ BNC 的面积最大？若存在，求
m
的值；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线
点，已知 B 点坐标为（ 4， 0）． （ 1）求抛物线的解析式；
的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C
（ 2）试探究△ ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△ 点的坐标．
MBC 的面积的最大值，并求出此时 M
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平行四边形类
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=x2+mx+n 经过点 A（ 3，0）、 B（0，﹣ 3），点 P
是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点
M，设点 P 的横坐标为 t．
（ 1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式．
（ 2）若点 P 在第四象限，连接 AM 、BM ，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积．
（ 3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为
A（0， 1），B（ 2， 0）， O（ 0，
0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△ A′B′O．
（1）一抛物线经过点
A′、 B′、 B，求该抛物线的解析式；
（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点
P，使四边形 PB ′A′B 的面积是
△A′B′O 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（ 2）的条件下，试指出四边形
PB ′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形
PB′A′B
的两条性质．
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5．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x+c 的顶点 A 在直线 l ：y=x﹣ 5 上．
（ 1）求抛物线顶点 A 的坐标；
（ 2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、 D（ C 点在 D 点的左侧），试判断△ ABD
的形状；
（ 3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、 A、 B、 D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
周长类
6．如图， Rt△ ABO 的两直角边 OA、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， O 为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为（﹣ 3，0）、（ 0， 4），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在
直线 x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ ABO 沿 x 轴向右平移得到△ DCE ，点 A、 B、 O 的对应点分别是 D 、 C、 E，当
四边形 ABCD 是菱形时，试判断点
C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；
P 使得△ PBD 的周长最小，求出
（3）在（ 2）的条件下，连接 BD ，已知对称轴上存在一点
P 点的坐标；
（4）在（ 2）、（ 3）的条件下，若点
M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合），
过点 M 作∥ BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN ，设 OM 的长为 t，△ PMN 的面积为 S，求 S
和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围， S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由．
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等腰三角形类
7．如图，点 A 在 x 轴上， OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转
120 °至 OB 的位置．
（ 1）求点 B 的坐标；
（ 2）求经过点 A、O、 B 的抛物线的解析式；
（ 3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
8．在平面直角坐标系中， 现将一块等腰直角三角板
ABC 放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，
且点 A（ 0， 2），点 C（﹣ 1， 0），如图所示：抛物线 y=ax2+ax﹣ 2 经过点 B．
（ 1）求点 B 的坐标；
（ 2）求抛物线的解析式；
（ 3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且
点 A（ 0，2），点 C（ 1，0），如图所示，抛物线 y=ax2﹣ ax﹣2 经过点 B．
（ 1）求点 B 的坐标；
（ 2）求抛物线的解析式；
（ 3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
综合类
10．如图，已知抛物线
y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为
B（ 5， 0），另一个交点为 A，
且与 y 轴交于点 C（ 0， 5）．
（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；
（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MN ∥ y 轴交直线
BC 于点 N，
求 MN 的最大值；
（3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点
P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点， CBPQ 的面积为 S1，△ ABN 的面积为 S2，
以 BC 为边作平行四边形
CBPQ，设平行四边形
且 S1=6S2，求点 P 的坐标．
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11．如图，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点
C（ 0， 1），顶点为 Q（ 2， 3），点 D 在 x
轴正半轴上，且 OD=OC．
（ 1）求直线 CD 的解析式；
（ 2）求抛物线的解析式；
（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转
45°所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：
△CEQ ∽△ CDO ；
（4）在（ 3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点
F 是线段 OD 上的动点，问：在 P
点和 F 点移动过程中，△
PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存
在，请说明理由．
12．如图，抛物线与 x 轴交于 A（ 1， 0）、 B（﹣ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），设抛物线的顶点为 D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点
D 的坐标．
（2）试判断△ BCD 的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△ BCD 相似？若存在，
请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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13．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，其中 A 点的坐标是（ 1， 0）， C 点坐标是（ 4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点
D，使△ BCD 的周长最小？若存在，求出点
D 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点 E 是（ 1）中抛物线上的一个动点，且位于直线
AC 的下方，试求△ ACE 的最大面
积及 E 点的坐标．
14．如图，已知抛物线
y=﹣ x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知
A 点的坐标为 A（﹣ 2， 0）．
（ 1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（ 2）求点 C 的坐标，连接 AC、 BC 并求线段 BC 所在直线的解析式； （ 3）试判断△ AOC 与△ COB 是否相似？并说明理由；
（ 4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
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15．如图， 在坐标系 xOy 中，△ ABC 是等腰直角三角形， ∠ BAC=90 °，A（ 1，0），B（0，2），
抛物线 y=x2+bx﹣ 2 的图象过 C 点．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l ．当 l 移动到何处时， 恰好将△ ABC 的面积分为相等的两部分？
（ 3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．
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