2016届甘肃省天水市一中高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的）.

1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（ ） A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（1，2） 2.已知i为虚数单位，aR，若

2i为纯虚数，则复数z2a2i的模等于（ ） aiA．2 B．11 C．3 D．6

4.向量a,b均为非零向量，(a2b)a,(b2a)b，则a,b的夹角为（ ）

A．

25 B． C． D．

36635.各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7log2a11的值 为

（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

y16.已知实数x、y满足y2x1，如果目标函数zxy的最小值为-1，则实数m（ ）

xymA．6 B．5 C． 4 D．3

7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

（ ）

A．

435383 B． C．23 D． 3338.如右图所示的程序框图，若输出的S88，则判断框内应填入的条件是（ ） A．k3? B．k4? C．k5? D．k6?

1

9.定义在R上的偶函数f(x)满足：f(4)f(2)0，在区间(,3)与3,0上分别递增和递减，则不等式xf(x)0的解集为（ ）

A．(,4)(4,) B．(4,2)(2,4) C．(,4)(2,0) D．(,4)(2,0)(2,4)

x2y2l10.已知点F1、F2分别是双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点，过F1的直线与双曲

ab线C的左、右两支分别交于A、B两点，若AB:BF2:AF23:4:5，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．4 C．13 D．15 ln(1x)的部分图象大致为（ ） 11.函数f(x)3sinxA．B．C．D．

12.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y2x(x0)的21x图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ） A． B．

 C． D． 342第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分） 13．记集合

，构成的平面区域分别为

M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．_____.

14.已知cos(6)sin743，则sin()的值是________．

6515. 已知点A(0,2)，抛物线C1:y2ax(a0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，

2

与其准线相交于点N，若FM:MN1:5，则a的值等于________． 16.数列an的通项ann(cos2nnsin2)，其前n项和为Sn，则S30________． 33三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.） 17.（本小题满分12分）已知函数f(x)23sinxcosx3sin2xcos2x2． （1）当x0,时，求f(x)的值域； 2bsin(2AC)3,22cos(AC)，asinA（2）若ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且

求f(B)的值．

18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分别为A,B,C,D,E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A,B,C,D,E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本

考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A，以在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率． 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是

ABC600的菱形，M为PC的中点．

（1）求证：PCAD；

（2）求点D到平面PAM的距离

3

20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0,y0)x2y21上的一点，从原点O向圆是椭C:2412R:(xx0)2(yy0)28作两条切线，分别交椭圆于点P,Q．

（1）若R点在第一象限，且直线OP,OQ互相垂直，求圆R的方程； （2）若直线OP,OQ的斜率存在，并记为k1,k2，求k1k2的值； 21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)lnxa2x(a1)x． 2（1）若曲线yf(x)在x1处的切线方程为y2，求f(x)的单调区间； （2）若x0时，

f(x)f(x)恒成立，求实数a的取值范围． x2

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.

22. （本小题满分 10分）

已知C点在O直径BE的延长线上，CA切O于A点，

CD是ACB的平分线且交AE于点F，交AB于点D．

AC（1）求ADF的度数； （2）若ABAC，求的值．

BC

23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x1t（t为参数），在

yt3以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为



2cos．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于

sin2A、B两点，求AOB的面积．

24. （本小题满分12分）设函数f(x)2xa2a．（1）若不等式f(x)6的解集为

x|6x4，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，若不等式f(x)(k21)x5的解

集非空，求实数k的取值范围．

4

数学文科参

一、选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题13.

． 14．2 15． 16 ．15 53f(x)23sinxcosx3sin2xcos2x23sin2x2sin2x117．解：（1）

3sin2xcos2x2sin(2x)6

71．．6分 x0,，∴2x,,sin(2x),1，∴f(x)1,2．666622（2）∵由题意可得sinA(AC)2sinA2sinAcos(AC)有，

sinAcos(AC)cosAsin(AC)2sinA2sinAcos(AC)，

化简可得：sinC2sinA ∴由正弦定理可得：c2a，∵b3a，∴余弦定理可得：

a2c2b2a24a23a21cosB，∵0B ∴B， 所以 f(B)1

32ac2a2a218．解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10分，

所以该考场有100.2540人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．．．．4分 40(10.3750.3750.150.025)400.0753．（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.9（3）因

40为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两个的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A．设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

1个，则P(B)1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 619．解：（1）：取AD中点O，连结OP,OC,AC，依题意可知PAD,ACD均为正三角形，所以OCAD,OPAD，又OCOPOOC,

5

所以AD平面POC,OP平面POC，

平面POC，又PC平面POC，所以PCAD． ．．．．．．．．．．．5分

（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（1）可知POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面

ABCD，即PO为三棱锥PABC的体高．在RtPOC中，POOC3,PC6，在PAC中PAAC2,PC6，边PC上的高AMPA2PM210，所以PAC的2面积SPAC111015，设点D到平面PAC的距离为h，由PCAM622221132215，解得h，VDPACVPACD得，SPAChSACDPO，又SACD23，3345所以点D到平面PAM的距离为215 520．解：（1）由圆R的方程知圆R的半径r22，因为直线OP,OQ互相垂直，且和圆R相

22x0y01 ② 切，所以OR2r4，即xy16 ①又点R在椭圆C上，所以

24122020x022联立①②，解得，所以，所求圆R的方程为(x22)2(y22)28．

y022（2）因为直线OP:yk1x和OQ:yk2x都与圆R相切，所以k1x0y01k2122，k2x0y01k22222x0y0y0822，化简得k1k221， ，因为点R(x0,y0)在椭圆C上，所以

2412x0812x011222． 即y012x0，所以k1k22x082241ax(a1)，则f(1)0， xaaa而f(1)ln1(a1)1，所以函数f(x)在x1处的切线方程为y1．

222a则12，解得a2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

221．（1） 由已知得f(x)

6

112x23x10，得那么f(x)lnxx3x,f(x)2x3，由f(x)2x3xxx211或x1，因则f(x)的单调递增区间为(0,)与(1,)；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 22111由f(x)2x30，得x1，因而f(x)的单调递减区间为(,1)．．．．．．．．．．6分

x22f(x)f(x)lnxa1axa1x(a1)（2）若，得， x2x22x22lnx1a1即在区间(0,)上恒成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 x2x20x3lnx11lnx132lnx，则h(x)2设h(x)，由h(x)0，得0xe2，因而22x2xx2x2xh(x)在(0,e)上单调递增，由h(x)0，得xe，因而h(x)在(e,)上单调递

323232a13e2， 减 ． ．．．．．．．10分 所以h(x)的最大值为h(e)，因而23232从而实数a的取值范围为a|a2e1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分



22．（1）∵AC为O的切线，∴BEAC，又DC是ACE的平分线，∴

ACDDCB．由BDCBEACACD，得ADFAFD，

1ACAE00又BAE90，∴ADFBAE45．（2）∵，∴ACEBCA∴，又

2BCABACEABCCAEBAE1800，∴BACB300．在RtABE中，∴

ACAE3． tan300BCAB323．解：（1）由曲线C的极坐标方程是：22cos22，得sin2cos． 2sin∴由曲线C的直角坐标方程是：y2x．由直线l的参数方程x1t，得t3y代入

yt3x1t中消去t得：xy40，所以直线l的普通方程为：xy40．．5分

22（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2x，得t8t70，设A,B两点对应

7

的参数分别为t1,t2，所AB2t1t22(t1t2)24t1t22824762，

因为原点到直线xy40的距离d41122，所以AOB的面积是

11ABd622212． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 2224．解：（1）∵2xa2a6，∴2xa62a，∴2a62xa62a， ∴

3aa3x3.f(x)6的解集为x6x4，223

a362

，解得a2 

3a42

（2）由（1）得f(x)2x24．∴2x24(k1)x5，化简2x21(k1)x

222x3,x1令g(x)2x21，yg(x)的图象如要使不等f(x)(k21)x5的解

2x1,x1集非空，需k212，或k211，∴k的取值范是k|k3或k3或k0．



8