2020年辽宁省沈阳市高中三年级教学质量监测(三)理数试题含答案

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。 3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．已知集合M{x|(x1)(x2)0},N{x|x0}，则

A．NM

B．MN

C．MIN

D．MUNR

2．复数z12i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2

A．5

B．5

C．34i

D．34i

3．已知抛物线x22py上一点A(m,1)到其焦点的距离为3，则p

A．2

B．2

C．4

D．4

4．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用

算法流程图表示如下，若输入a15，

开始输入a,b,ib12，i0，则输出的结果为

A．a4，i4 B．a4，i5 C．a3，i4 D．a3，i5

是ii1ab? 否aabab?否bba是输出a,i结束数学（理科类）模拟测试 第 1 页(共 13 页)

5．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和

科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m51的近似值，黄金2m4m2分割比还可以表示为2sin18，则 22cos271A．4 C．51

B．2 D．51

6．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧

为

1圆周，则该几何体的侧面积为 4A．43 4B．

7 2275 28C．

75 24D．

7．设函数f(x)cos2xbsinx，则“b0”是“f(x)的最小正周期为”的

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并

派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则PAB A．

uuuruuuruuur9．已知O为ABC的外接圆的圆心，且3OA4OB5OC，则C的值为

A．

2 9B．

1 3C．

4 9D．

5 94 B．

2 C．

6 D．

12

10．我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，

是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为 A．

DCAEB 6B．

 4C．

 3D．

 3数学（理科类）模拟测试 第 2 页(共 13 页)

11．已知x与y之间的几组数据如下表：

x 1 1 2 3 4 4 y m n 上表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为yb1xa1，yb2xa2，yb3xa3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是 A．三条回归直线有共同交点 C．b1b2

B．相关系数中，r2最大 D．a1a2

参考公式：线性回归方程ybxa中，其中b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n，aybx．相

2关系数r(xx)(yy)iii122(xx)(yy)iii1i1nnn．

12．已知函数f(x)x4x，过点A(2,0)的直线l与f(x)的图象有三个不同的交点，

则直线l斜率的取值范围为 A．(1,8)

B．(1,8)U(8,) D．(1,)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知m是常数，mx1a5xa4xa3xa2x a1xa0，且

3253C．(2,8)U(8,)

a1a2a3a4a533，则m＿＿＿＿＿＿＿＿．

14．已知f(x)x151，若f(log2b)，则f(logb)＿＿＿＿＿＿＿＿． x22数学（理科类）模拟测试 第 3 页(共 13 页)

x2y215．在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线221(a0,b0)的右焦点，直线y2bab与双曲线交于B,C两点，且BFC90，则该双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿＿＿． 16．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，设△ABC的面积为S，若

Sruuur的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 4sin2A3sin2B+2sin2C，则uuuABAC三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Snnpn，且a4,a7,a12成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn

18．（本小题满分12分）

随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表： 送餐距离(千米) 频数 24Sn，求数列{bn}的前n项和Tn．

anan1(0,1] 15 (1,2] 25 (2,3] 25 (3,4] 20 (4,5] 15 以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率． （1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每2千米到4千米为中距离，份3元，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元．记X为送餐员送一份外卖收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．

数学（理科类）模拟测试 第 4 页(共 13 页)

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，

ADPD，点F为棱PD的中点．

（1）在棱BC上是否存在一点E，使得CFP平面PAE，并说明理由； （2）若ACPB，二面角DFCB的余弦值为

P6时，求直线AF与平面BCF所成的角6F的正弦值．

20．（本小题满分12分）

DABC6x2y2P(2,)，已知椭圆C:221(ab0)，四点P，，(2,3)P(0,2)3123abP4(2,6)中恰有三个点在椭圆C上，左、右焦点分别为F1、F2． 3（1）求椭圆C的方程；

（2）过左焦点F1且不平行坐标轴的直线l交椭圆于P、Q两点，若PQ的中点为N，

O为原点，直线ON交直线x3于点M，求

21．（本小题满分12分）

|PQ|的最大值．

|MF1|ebxe已知函数f(x)在x2处取到极值为．

ax2（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若不等式xf(x)kxlnx1在x(0,)上恒成立，求实数k的取值范围．

2数学（理科类）模拟测试 第 5 页(共 13 页)

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为sin2．

uuuruuuur（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足POOM4，求点P的

轨迹C2的直角坐标方程； （2）曲线C2上两点A(1,

23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）

已知a,b,c均为正数，设函数f(x)xbxca，xR． （1）若a2b2c2，求不等式f(x)3的解集； （2）若函数f(x)的最大值为1，证明：

数学（理科类）模拟测试 第 6 页(共 13 页)

)与点B(2,)，求OAB面积的最大值． 314936． abc2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）

数学（理科）【答案与评分标准】

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的． 题号 答案 题号 答案 1 B 7 C 2 A 8 A 3 C 9 A 4 D 10 C 5 B 11 D 6 C 12 B 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3

14．5 215．

35 516．7 2三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

（1）当n1时，a1S11p， 当n2时，anSnSn12n1p，

当n1时，a11p也满足上式，故an2n1p，

2∵a4,a7,a12成等比数列，∴a4a12a7，

……2分 ……3分 ……4分

∴(7p)(23p)(13p)2，∴p2 ∴an2n1；

……6分

4Sn4n28n4n28n311由（1）可得bn21()，

anan1(2n1)(2n3)4n8n322n12n3

……9分

数学（理科类）模拟测试 第 7 页(共 13 页)

3111111132n22n∴Tnn(． )n235572n12n324n62n3

18．（本小题满分12分）

（1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为：

……12分

0.50.151.50.252.50.253.50.24.50.152.45千米． ……3分

所以送餐距离为100千米时，送餐份数为：

10041份； 2.45……5分 ……6分 ……7分 ……8分 ……9分

（2）由题意知X的可能取值为：3，7，12．

402， 10059， PX710020153． PX1210020PX3所以X的分布列为：

X P

∴E(X)33 7 12 2 59 203 20……10分

2937126.15． 52020……12分

19．（本小题满分12分）

（1）在棱BC上存在点E，使得CFP平面PAE，点E为棱BC的中点． 证明：取PA的中点Q，连结EQ、FQ， 由题意，FQPAD且FQzP1AD， 2Q1CEPAD且CEAD，

2故CEPFQ且CEFQ．

∴四边形CEQF为平行四边形． ……2分 ∴CFPEQ，又CF平面PAE， ∴CFP平面PAE．

FDAxyCEMB……4分

数学（理科类）模拟测试 第 8 页(共 13 页)

（2）菱形ABCD中，ACBD，又ACPB，PBIBDB． ∴AC平面PBD，又PD面PBD，∴ACPD， ∵ADPD，ACIADA，∴PD平面ABCD． 取AB中点为M，则DMAB．

以D为原点，DM，DC，DP为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，设FDa， 则由题意知D0,0,0，F0,0,a，C0,2,0，B……6分

3,1,0，A3,1,0．

……7分

uuuvuuuvFC0,2,a，CB3,1,0，

vvuuumFC02yaz0v设平面FBC的法向量为mx,y,z，则由vuuu得， vmCB03xy0令x1，则y3，z2323v，所以取m1,3,， aa……9分

显然可取平面DFC的法向量n1,0,0，

v由题意：

6vvcosm,n611312a2，所以a6．

……10分

uuuvFA3,1,6，

设直线AF与平面BCF所成的角为，

uruuur235则sincosm,FA． 561020．（本小题满分12分）

解：（1）易知P3(2,……12分

66)，P4(2,)关于y轴对称，一定都在椭圆上． 33……2分

所以P1(2,3)一定不在椭圆上．根据题意P2(0,2)也在椭圆上．

x2y261．……4分 P(2,)带入椭圆方程，解得椭圆方程为将P2(0,2)，4362（2）设直线l方程为yk(x2)（k0），Px1,y1，Qx2,y2，

数学（理科类）模拟测试 第 9 页(共 13 页)

x2y212222联立6，可得3k1x12kx12k60． 2yk(x2)……5分

12k212k26则24(k1)0，且x1x22，x1x2， 23k13k12……6分

x1x26k26k22k2y0k(22)2设PQ的中点N(x0,y0)，则x0， 23k1，3k13k16k22k∴N坐标为2,2，

3k13k126k2126(k21)|PQ|1k． 23k13k212……8分

因此直线ON的方程为y11x，从而点M为(3,)，又F1(2,0)， 3kk……9分

|MF1|11． 2k|PQ|224k2(k21)2u=3k11， ，令222|MF1|(3k1)则h(u)8(u1)(u2)16111161129()[()]，

3u23u22u23u416因此当u=4，即k=1时h(u)最大值为3．

所以

|PQ|取得最大值3．

|MF1|……12分

21．（本小题满分12分）

(abxa)ebx（1）由已知定义域为{xR|x0}，f(x)，

(ax)21(2aba)e2b0由f(2)，又，得， ba02(2a)2e2beef(2)，所以a1，

2a2a2……2分

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x(1)e2从而f(x)22又x0。

x由f'(x)0得：x2；由f'(x)0得：x0或0x2。

故f(x)的单调递减区间是：(,0)和(0,2)；单调递增区间是：(2,)。

（2）等价于ex2x2x……4分

lnx1k在x(0,)上恒成立， x……5分

令g(x)elnx1(x0)，则只需k[g(x)]min即可． x1220xelnxx012g(x)2，令h(x)xe2lnx(x0)， 22x12201则h(x)(xx)e0。

4x所以h(x)在x(0,)上单调递增，

41eeln20，h(1)0， 又h()282xx……7分

所以有唯一的零点x0(,1)，h(x)在x(,x0)上单调递减，在x(x0,1)上单调递增．

……8分

1212x02x20xxelnx00，两边同时取自然对数，则有0ln0lnx0ln(lnx0)， 因为222即

x0xln0lnx0ln(lnx0)。 2210， x……10分

构造函数m(x)xlnx(x0)，则m(x)1所以函数m(x)在x(0,)上单调递增，

x0x0x01lnx0，即e2． 又m()m(lnx0)，所以

22x0……11分

数学（理科类）模拟测试 第 11 页(共 13 页)

所以g(x)g(x0)ex02lnx011x0x012x01112，即[g(x)]min，

x022……12分

于是实数k的取值范围是(,]．

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

解：（1）设P的极坐标为(,)（0），M的极坐标为(0,)（00）．

……1分

2． sinuuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur由POOM|PO||OM|cos|PO||OM|4，

由题设知|PO|，|OM|0得

……3分

24， sin所以C2的极坐标方程2sin（0），

因此C2的直角坐标方程为x(y1)1（y0）． （2）依题意：|OA|12sin于是△OAB面积：S22……5分 ……6分

3，|OB|22sin． 31|OA||OB|sinAOB3sin|sin()| 2331|sin(2)|． 262……８分

当332时，S取得最大值．

4333． 4……9分

所以△OAB面积的最大值为……10分

23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）

解：（1）当a2b2c2时，不等式fx3化为x1x11，……1分 当x1时，原不等式化为1x+1+x1，解集为； 当1x1时，原不等式化为1xx11，解得1x1； 2……4分 ……5分

当x1时，原不等式化为x1x11，解得x1． ∴不等式fx3的解集为1,+． 2数学（理科类）模拟测试 第 12 页(共 13 页)

（2）因为fxxbxcaxcxbabca， 又因为a,b,c0，所以fxmaxabc2． 方法一：

……6分

b4ac9a4c9b149(abc)14()()() abcabacbc142b4ac9a4c9b36， 22abacbc……9分

b4ac9a4c9b且且b2a且c3a且2c3b 当且仅当abacbc，即abc2abc2即a12,b,c1等号成立． 33……10分

方法二：

122232149(abc)abcabc abc222231abc36，

bca2……9分

12312当且仅当abc，即a,b,c1等号成立．

33abc2

……10分

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