数学(文史类)(北京卷)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题 共40分) 注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2.每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。
1A{x|x2},B{xx21}21.设集合,则AB ( ) 1{x|x1}{x1x2}2 A. B.
C.{x|x2}
D.{x|1x2}
【答案】A
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
1A{x|x2},B{xx21}x|1x12∵,
∴
AB{x1x2},故选A.
2.已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab,如果c//d,那么
A.k1且c与d同向 B.k1且c与d反向 C.k1且c与d同向 D.k1且c与d反向 【答案】D
.w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a
1,0,b
0,1,若k1,则cab
1,1,dab
1,1,
显然,a与b不平行,排除A、B. 2009年高考试题下载http://www.51jjcn.cn/gaokao/
若k1,则cab
1,1,dab
1,1,
即c//d且c与d反向,排除C,故选D
4(12)ab2(a,b为有理数)3.若,则ab ( )
A.33 B. 29 C.23 D.19 【答案】B
.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
12 ∵
4C042C2C2C2C2
01412423434441421282417122,
由已知,得17122ab2,∴ab171229.故选B.
ylg.k.s.5.u.c 4.为了得到函数
x310的图像,只需把函数ylgx的图像上所有的点
( )
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 【答案】C
.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A.B.
ylgx31lg10x3,
,
ylgx31lg10x3ylgx31lgylgx31lgx310, x310.
C.
D.
故应选C.
5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【答案】C
.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
1A2种排法, 22和4排在末位时,共有
3A43224种排法, 4其余三位数从余下的四个数中任取三个有
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于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有22448(个).故选C.
6.“
6”是“
cos212”的
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
当
6时,
cos2cos312,
cos2反之,当
122kkkZ2时,有36,
22k 或7.若正四棱柱
3k6kZ,故应选A.
ABCDABCAC111D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则11到
底面ABCD的距离为 ( )
3A.3
B. 1 C.
2
D.3 【答案】D
.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.
属于基础知识、基本运算的考查.
BAB601 依题意,,如图,
BB11tan603,故选D.
8.设D是正
PP12P3及其内部的点构成的集合,点P0是PPP123的中心,若集合
S{P|PD,|PP,2,3},则集合S表示的平面区域是 ( ) 0||PPi|,i1A. 三角形区域 B.四边形区域
C. 五边形区域 D.六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
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大光明 如图,A、B、C、D、E、F为各边三等分点,答案是集合S为六边形ABCDEF,其中,
P,30AP2APAii1
即点P可以是点A.
第Ⅱ卷(110分) 注意事项:
1.用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号 分数
二
三 15
16
17
18
19
20
总分
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
4sin,tan059.若,则cos . 3【答案】5
【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。
343cos1sin215,∴应填5. 5由已知,在第三象限,∴
a1,a2a(nN),则a5 ;前{a}1n1nn 10.若数列满足:
2的和
S8
.(用数字作答)
【答案】16 255
.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查.
a11,a22a12,a32a24a,42a38,a5a2416,
281S825521 易知,∴应填255.
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xy20,x4,x5,x,y11.若实数满足则sxy的最大值为 .
【答案】9
【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图,当x4,y5时,
sxy459为最大值.
故应填9.
3x,x1,f(x)x,x1,若f(x)2,则12.已知函数
x .
.w.w.k.s.5【答案】
log32
.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
x1x1xlog32x32x2x2无解,故应填log32. 由,x2y21F,F|PF1|4,则|PF2| ;9213.椭圆的焦点为12,点P在椭圆上,若
FPF12的大小为 .
2,120【答案】
.w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定
理. 属于基础知识、基本运算的考查.
22a9,b3, ∵
∴c∴又
a2b2927,
,
,∴
2FF1227PF14,PF1PF22a6cosFPF12PF222,
22427224又由余弦定理,得
12,
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FPF1202,12012∴,故应填.
14.设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k1A且k1A,那么称k是
1,2,3,4,5,6,7,8,},由S的3个元素构成的所有集合中,不A的一个“孤立元”,给定S{含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与k相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类: 因此,符合题意的集合是:
1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.
故应填6.
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共12分) 已知函数(Ⅰ)求
f(x)2sin(x)cosx. f(x)的最小正周期;
,(Ⅱ)求f(x)在区间62上的最大值和最小值.
【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵∴函数
fx2sinxcosx2sinxcosxsin2x,
f(x)的最小正周期为. 6x232x,∴
(Ⅱ)由
3sin2x12,
3,∴f(x)在区间62上的最大值为1,最小值为2.
16.(本小题共14分) 如图,四棱锥
PABCD的底面是正方形,
PD底面ABCD,点E在棱PB上.
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(Ⅰ)求证:平面AEC平面PDB; (Ⅱ)当PD2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,
∵PD底面ABCD, ∴PD⊥AC,
∴AC⊥平面PDB, ∴平面AEC平面PDB.
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE, 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O, ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角, ∴O,E分别为DB、PB的中点,
1OEPD2∴OE//PD,,
又∵PD底面ABCD, ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
12OEPDABAO22在Rt△AOE中,,
∴AEO45,即AE与平面PDB所成的角的大小为45. 【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz, 设ABa,PDh,则(Ⅰ)∵
Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h,
,
ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0∴ACDP0,ACDB0,
∴AC⊥DP,AC⊥BD, ∴AC⊥平面PDB, ∴平面AEC平面PDB. (Ⅱ)当PD2AB且E为PB的中点时,
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112P0,0,2a,E2a,2a,2a,
11O(a,a,0)设ACBDO,则22,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,
1122EA2a,2a,2a,EO0,0,2a, ∵
EAEO2cosAEO2EAEO∴
,
∴AEO45,即AE与平面PDB所成的角的大小为45.
17.(本小题共13分)
某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互的,遇到红灯的
1概率都是3,遇到红灯时停留的时间都是2min.
(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.
(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的
1114PA1133327. 概率为
(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B,这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件
Bkk0,1,24.
216PB0381, 则由题意,得1PB1C314124232212,PBC243813381. PBPB0PB1PB2.
322由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”,
∴事件B的概率为
18.(本小题共14分)
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3f(x)x3axb(a0). 设函数
(Ⅰ)若曲线y(Ⅱ)求函数
f(x)在点(2,f(2))处与直线y8相切,求a,b的值;
f(x)的单调区间与极值点.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合
分析和解决问题的能力. (Ⅰ)
f'x3x23a,
∵曲线yf(x)在点(2,f(2))处与直线y8相切,
'34a0a4,f20b24.86ab8f28∴
(Ⅱ)∵
f'x3x2aa0,
当a0时,
f'x0,函数
f(x)在,上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
,
当a0时,由
f'x0xa'时,fx0,函数f(x)单调递增,
当
xa,afx0当时,,函数f(x)单调递减, xa,fx0当时,,函数f(x)单调递增,
x,a''∴此时xa是f(x)的极大值点,xa是f(x)的极小值点.
19.(本小题共14分)
x2y23C:221(a0,b0)xab3。 已知双曲线的离心率为3,右准线方程为
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆
x2y25上,求m的值
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关
系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
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a23c3c3(Ⅰ)由题意,得a,解得a1,c3, y2x1222Cbca22∴,∴所求双曲线的方程为.
2(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为
x1,y1,x2,y2,线段AB的中点为Mx0,y0,
xym02y2x1222由得x2mxm20(判别式0), x0x1x2m,y0x0m2m2,
22xy5上, 在圆
∴
∵点∴
Mx0,y02m22m5,∴m1.
20.(本小题共13分)
apnq(nN,P0). 数列{bn}定义如下:对于正整数{a}nn设数列的通项公式为
m ,
bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值.
11p,q23,求b3; (Ⅰ)若
(Ⅱ)若
p2,q1,求数列{bm}的前2m项和公式;
b3m2(mN)?如果存在,求p和q的取值范围;如
(Ⅲ)是否存在p和q,使得m果不存在,请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.
11ann23, (Ⅰ)由题意,得
1120n3n3,得3. 解211n33成立的所有n中的最小正整数为7,即b37. ∴22009年高考试题下载http://www.51jjcn.cn/gaokao/
(Ⅱ)由题意,得
an2n1, anm,得
nm12.
对于正整数m,由根据
bm的定义可知
bmkkN**当m2k1时,
;
bmk1kNm2k当时,.
∴
b1b2b2mb1b3b2m1b2b4b2m
123m234m1
mm1mm3m22m22.
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pnqm及p0得
nmqp.
b3m2(mN),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m 都有 m∵
3m1mq3m2p,
对任意的正整数m都成立.
即
2pq3p1mpq当3p10(或3p10)时,得
mpq2pqm3p1(或3p1),这与上述结论矛盾!
当3p10,即
p121q0q3时,得33,
21q3.(经检验符合题意) 解得3bm3m2(mN);
p和q的取值范围分别是
p∴ 存在p和q,使得
121q3,33.
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