2009年北京高考文科数学试卷及答案

数学（文史类）（北京卷）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题 共40分） 注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。

2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。

1A{x|x2},B{xx21}21．设集合，则AB （ ） 1{x|x1}{x1x2}2 A． B．

C．{x|x2}

D．{x|1x2}

【答案】A

【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

1A{x|x2},B{xx21}x|1x12∵，

∴

AB{x1x2}，故选A.

2．已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab，如果c//d，那么

A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向 C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向 【答案】D

.w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a

1,0，b

0,1，若k1，则cab

1,1，dab

1,1，

显然，a与b不平行，排除A、B. 2009年高考试题下载http://www.51jjcn.cn/gaokao/

若k1，则cab

1,1，dab

1,1，

即c//d且c与d反向，排除C，故选D

4(12)ab2(a,b为有理数）3．若，则ab （ ）

A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B

.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.

12 ∵

4C042C2C2C2C2

01412423434441421282417122，

由已知，得17122ab2，∴ab171229.故选B.

ylg.k.s.5.u.c 4．为了得到函数

x310的图像，只需把函数ylgx的图像上所有的点

（ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C

.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A．B．

ylgx31lg10x3，

，

ylgx31lg10x3ylgx31lgylgx31lgx310， x310.

C．

D．

故应选C.

5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C

.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.

1A2种排法， 22和4排在末位时，共有

3A43224种排法， 4其余三位数从余下的四个数中任取三个有

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于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448（个）.故选C.

6．“

6”是“

cos212”的

A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.

 当

6时，

cos2cos312，

cos2反之，当

122kkkZ2时，有36，

22k 或7．若正四棱柱

3k6kZ，故应选A.

ABCDABCAC111D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则11到

底面ABCD的距离为 ( )

3A．3

B． 1 C．

2

D．3 【答案】D

.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.

属于基础知识、基本运算的考查.

BAB601 依题意，，如图，

BB11tan603，故选D.

8．设D是正

PP12P3及其内部的点构成的集合，点P0是PPP123的中心，若集合

S{P|PD,|PP,2,3}，则集合S表示的平面区域是 ( ) 0||PPi|,i1A． 三角形区域 B．四边形区域

C． 五边形区域 D．六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.

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大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，

P,30AP2APAii1

即点P可以是点A.

第Ⅱ卷（110分） 注意事项：

1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号 分数

二

三 15

16

17

18

19

20

总分

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

4sin,tan059．若，则cos . 3【答案】5

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。

343cos1sin215，∴应填5. 5由已知，在第三象限，∴

a1,a2a(nN)，则a5 ；前{a}1n1nn 10．若数列满足：

2的和

S8

.（用数字作答）

【答案】16 255

.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查.

a11,a22a12,a32a24a,42a38,a5a2416，

281S825521 易知，∴应填255.

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xy20,x4,x5,x,y11．若实数满足则sxy的最大值为 .

【答案】9

【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当x4,y5时，

sxy459为最大值.

故应填9.

3x,x1,f(x)x,x1,若f(x)2，则12．已知函数

x .

.w.w.k.s.5【答案】

log32

.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

x1x1xlog32x32x2x2无解，故应填log32. 由，x2y21F,F|PF1|4，则|PF2| ；9213．椭圆的焦点为12，点P在椭圆上，若

FPF12的大小为 .

2,120【答案】

.w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定

理. 属于基础知识、基本运算的考查.

22a9,b3， ∵

∴c∴又

a2b2927，

，

，∴

2FF1227PF14,PF1PF22a6cosFPF12PF222，

22427224又由余弦定理，得

12，

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FPF1202,12012∴，故应填.

14．设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么称k是

1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S的3个元素构成的所有集合中，不A的一个“孤立元”，给定S{含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.

什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是：

1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.

故应填6.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共12分） 已知函数（Ⅰ）求

f(x)2sin(x)cosx. f(x)的最小正周期；

,（Ⅱ）求f(x)在区间62上的最大值和最小值.

【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． （Ⅰ）∵∴函数

fx2sinxcosx2sinxcosxsin2x，

f(x)的最小正周期为. 6x232x，∴

（Ⅱ）由

3sin2x12，

3,∴f(x)在区间62上的最大值为1，最小值为2.

16．（本小题共14分） 如图，四棱锥

PABCD的底面是正方形，

PD底面ABCD，点E在棱PB上.

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（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB； （Ⅱ）当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，

∵PD底面ABCD， ∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC平面PDB.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点，

1OEPD2∴OE//PD，，

又∵PD底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

12OEPDABAO22在Rt△AOE中，，

∴AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45. 【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 设ABa,PDh,则（Ⅰ）∵

Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h，

，

ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0∴ACDP0,ACDB0，

∴AC⊥DP，AC⊥BD， ∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC平面PDB. （Ⅱ）当PD2AB且E为PB的中点时，

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112P0,0,2a,E2a,2a,2a，

11O(a,a,0)设ACBDO，则22，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，

1122EA2a,2a,2a,EO0,0,2a， ∵

EAEO2cosAEO2EAEO∴

，

∴AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.

17．（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的

1概率都是3，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的

1114PA1133327. 概率为

（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件

Bkk0,1,24.

216PB0381， 则由题意，得1PB1C314124232212,PBC243813381. PBPB0PB1PB2.

322由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

∴事件B的概率为

18．（本小题共14分）

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3f(x)x3axb(a0). 设函数

（Ⅰ）若曲线y（Ⅱ）求函数

f(x)在点(2,f(2))处与直线y8相切，求a,b的值；

f(x)的单调区间与极值点.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合

分析和解决问题的能力． （Ⅰ）

f'x3x23a,

∵曲线yf(x)在点(2,f(2))处与直线y8相切，

'34a0a4,f20b24.86ab8f28∴

（Ⅱ）∵

f'x3x2aa0,

当a0时，

f'x0，函数

f(x)在,上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.

，

当a0时，由

f'x0xa'时，fx0，函数f(x)单调递增，

当

xa,afx0当时，，函数f(x)单调递减， xa,fx0当时，，函数f(x)单调递增，

x,a''∴此时xa是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点.

19．（本小题共14分）

x2y23C:221(a0,b0)xab3。 已知双曲线的离心率为3，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆

x2y25上，求m的值

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关

系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

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a23c3c3（Ⅰ）由题意，得a，解得a1,c3， y2x1222Cbca22∴，∴所求双曲线的方程为.

2（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为

x1,y1,x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，

xym02y2x1222由得x2mxm20（判别式0）, x0x1x2m,y0x0m2m2,

22xy5上， 在圆

∴

∵点∴

Mx0,y02m22m5，∴m1.

20．（本小题共13分）

apnq(nN,P0). 数列{bn}定义如下：对于正整数{a}nn设数列的通项公式为

m ，

bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值.

11p,q23，求b3； （Ⅰ）若

（Ⅱ）若

p2,q1，求数列{bm}的前2m项和公式；

b3m2(mN)？如果存在，求p和q的取值范围；如

（Ⅲ）是否存在p和q，使得m果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

11ann23， （Ⅰ）由题意，得

1120n3n3，得3. 解211n33成立的所有n中的最小正整数为7，即b37. ∴22009年高考试题下载http://www.51jjcn.cn/gaokao/

（Ⅱ）由题意，得

an2n1， anm，得

nm12.

对于正整数m，由根据

bm的定义可知

bmkkN**当m2k1时，

；

bmk1kNm2k当时，.

∴

b1b2b2mb1b3b2m1b2b4b2m

123m234m1

mm1mm3m22m22.

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pnqm及p0得

nmqp.

b3m2(mN),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有 m∵

3m1mq3m2p，

对任意的正整数m都成立.

即

2pq3p1mpq当3p10（或3p10）时，得

mpq2pqm3p1（或3p1），这与上述结论矛盾！

当3p10，即

p121q0q3时，得33，

21q3.（经检验符合题意） 解得3bm3m2(mN)；

p和q的取值范围分别是

p∴ 存在p和q，使得

121q3，33.

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