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福建省厦门二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)

来源：抵帆知识网

2014-2015学年福建省厦门二中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）化（ A． 3

2．（5分）函数y=log2x的反函数是（） A． y=x

3．（5分）若f（x）=

，则f（1）的值为（）

）的结果是（） B． 5

C．

D．

B． y=2 C． y=2

D．y=x

A． 8

B． C． 2 D．

4．（5分）关于幂函数y=x下列说法正确在是（） A．偶函数且在定义域内是增函数 B．非奇非偶函数且在定义域内是减函数 C．奇函数且在定义域内是增函数 D．非奇非偶函数且在定义域内是增函数

5．（5分）函数f（x）=2+3x的零点所在的一个区间是（） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） 6．（5分）下列各组函数中为同一函数的是（） A． y=（

）与y=

D．（1，2）

B． y=|x|与y=

C． f（x）=•与g（x）= D． y=x与y=a

7．（5分）下列各式错误的是（）

0.80.7 A． 3＞3

﹣0.10.1

C． 0.75＜0.75

B． log0.50.4＞log0..50.6 D． lg1.6＞lg1.4

8．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（） A． f（x）=﹣x+1 B． f（x）=﹣x﹣1 C． f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1 9．（5分）如图所示是函数y=f（x）的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）

A．函数f（x）的定义域为[﹣4，4） B．函数f（x）的值域为[0，5] C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的y∈[0，+∞），都有唯一的自变量x与之对应

10．（5分）若函数f（x）=x+x﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984 f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.0

那么方程x+x﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（） A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4 D．1.5 11．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生

函数”，那么函数解析式为y=2x﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（） A． 10个 B． 9个 C． 8个 D．4个

12．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a﹣a（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）

﹣x

A． B．

C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．（4分）已知集合A={﹣1，2，3，5}，B={2，4，5}，则A∪B=． 14．（4分）已知集合A={x|mx=1}=ϕ，则m的值为．

15．（4分）函数y=loga（a﹣a），（a＞1）的值域为． 16．（4分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2．则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（12分）（Ⅰ）求值：

﹣（）+0.25

×（）；

﹣4

（Ⅱ）已知5=3，5=4．求a，b．并用a，b表示log2512．

18．（12分）已知集合A={x|3≤3≤27}，B={x|x＞2}．（Ⅰ）分别求A∩B，（∁RB）∪A；

（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．

19．（12分）已知函数f（x）=x+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．

20．（13分）已知函数f（x）=

．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（Ⅱ）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；

（Ⅲ）若不等式f（1﹣m）+f（1﹣m）＜0恒成立，求m的取值范围． 21．（13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

22．（12分）在探究函数f（x）=x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的最值中，（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下： x … 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 1 1.1 1.2 1.3 2 3 4 5 … y … 30.0 15.01 6.13 4.6 4.06 4 4.06 4.23 4.50 9.5 28 .75 125.6 … 观察表中y值随x值变化的趋势，知x=时，f（x）有最小值为；

（Ⅱ）再依次探究函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上以及区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；（Ⅲ）设g（x）=3x+

，若g（2）﹣k•2≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求k的取值范围．

2014-2015学年福建省厦门二中高一（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）化（ A． 3

）

的结果是（） B． 5

C．

D．

考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．

分析：利用指数幂的运算法则即可得出．

解答：解：原式==．

故选：D．

点评：本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．

2．（5分）函数y=log2x的反函数是（）

A． y=x

B． y=2 C． y=2

D．y=x

考点：反函数．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据反函数的定义直接求出即可．

解答：解：由y=log2x得，x=2，

所以函数y=log2x的反函数是y=2，故选：C．

点评：本题考查反函数的定义，以及底数相同的对数函数、指数函数互为反函数的应用．

3．（5分）若f（x）=

，则f（1）的值为（）

A． 8 B． C． 2 D．

考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．

分析：已知f（x）为分段函数，把x=1代入相对应的函数解析式，从而求解；

解答：解：∵f（x）=∵1＜2，

∴f（1）=f（1+2）=f（3）=2=，

﹣3

，

故选B．

点评：此题主要考查分段函数的解析式，此类题很简单，就是看分段函数的定义域，计算认真即可；

考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．

分析：根据幂函数y=判断即可．

解答：解：幂函数y=

（x≥0），是定义域内的增函数，且非奇非偶，对每一个选项进行

（x≥0），定义域不关于原点对称，不是偶函数，A错误；

在定义域内是增函数，∴B错误；是非奇非偶的函数，∴C错误；

是非奇非偶函数且在定义域内是增函数，∴D正确．故选：D．

点评：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，解题时应熟记常见基本初等函数的图象与性质是什么．

5．（5分）函数f（x）=2+3x的零点所在的一个区间是（） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1）

考点：函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．

D．（1，2）

分析：根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2+3x的零点所在的一个区间．解答：解：由

，以及及零点定理知，f（x）的零点

在区间（﹣1，0）上，故选B．

点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题． 6．（5分）下列各组函数中为同一函数的是（） A． y=（

）与y=

B． y=|x|与y=

C． f（x）=•与g（x）= D． y=x与y=a

考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．

分析：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．

解答：解：对于A，y=（域也不同，不是同一函数；对于B，y=|x|x∈R，与y=是同一函数；对于C，f（x）=

•

）=x（x≥0），与y=

=|x|（x∈R）的对应关系不同，定义

=|x|（x∈R）的对应关系相同，定义域也相同，

=（x≥1），与g（x）=（x≥1或x≤﹣1）的

定义域也不同，不是同一函数；对于D，y=x（x∈R），与y=

=x（x＞0）的定义域也不同，不是同一函数．

故选：B

点评：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．

7．（5分）下列各式错误的是（）

0.80.7 A． 3＞3 B． log0.50.4＞log0..50.6

﹣0.10.1

C． 0.75＜0.75 D． lg1.6＞lg1.4

考点：不等式比较大小．专题：计算题．

分析：利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．

x0.80.7

解答：解：A、∵y=3，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴3＞3，故A正确； B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；

﹣0.1x0.1

C、∵y=0.75，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75＞0.75，故C错误； D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选C．

点评：此题考查对数函数和指数函数的性质及其应用，是一道基础题． 8．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（） A． f（x）=﹣x+1 B． f（x）=﹣x﹣1 C． f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1

考点：函数奇偶性的性质．

专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由偶函数的定义求解析式．解答：解：当x＜0时，﹣x＞0， ∵函数f（x）是定义域为R的偶函数， ∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1；故选C．

点评：本题考查了偶函数的定义的应用，属于基础题． 9．（5分）如图所示是函数y=f（x）的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）

A．函数f（x）的定义域为[﹣4，4） B．函数f（x）的值域为[0，5] C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的y∈[0，+∞），都有唯一的自变量x与之对应

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：通过函数的定义域判断A的正误；函数的值域判断B、C的正误；利用公式的单调性判断D的正误；

解答：解：由已知条件以及函数的图象可知，函数的定义域为[﹣4，0]∪[1，4），所以A不正确；

函数的值域为：[0，+∞），所以B不正确；

函数在[﹣4，0]，[1，4）是增函数，这个定义域上不是增函数，所以C正确．由函数的图象，可知D不正确；故选：C．

点评：本题考查函数的基本性质：定义域、值域以及单调性的判断与应用．

那么方程x+x﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（） A． 1.2 B． 1.3 C． 1.4 D．1.5

考点：二分法求方程的近似解．专题：应用题．

分析：由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．

解答：解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，

所以近似根为 1.4 故选 C．

点评：本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束． 11．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生

函数”，那么函数解析式为y=2x﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（） A． 10个 B． 9个 C． 8个 D．4个

考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：新定义．

分析：根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数

为“孪生函数”，再由函数解析式为y=2x﹣1，值域为{1，7}，由y=1时，x=±1，y=7时，x=±2，

我们用列举法，可以得到函数解析式为y=2x﹣1，值域为{1，7}的所有“孪生函数”，进而得到答案．

解答：解：由已知中“孪生函数”的定义：

一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，

当函数解析式为y=2x﹣1，值域为{1，7}时，

函数的定义域可能为：{﹣2，﹣1}，{﹣2，1}，{2，﹣1}，{2，1}，{﹣2，﹣1，1}，{﹣2，﹣1，2}，{﹣1，1，2}，{﹣2，1，2}，{﹣2，﹣1，1，2}，共9个

故选B

点评：本题考查的知识点是新定义，函数的三要素，基本用列举法，是解答此类问题的常用方法，但列举时，要注意一定的规则，以免重复和遗漏．

12．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a﹣a（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）

﹣x

A． B．

C． D．

考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质．专题：数形结合．

分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．

解答：解：∵函数f（x）=（k﹣1）a﹣a（a＞0，a≠1）在R上是奇函数， ∴f（0）=0 ∴k=2，

又∵f（x）=a﹣a为减函数，所以1＞a＞0，

所以g（x）=loga（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A

点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．（4分）已知集合A={﹣1，2，3，5}，B={2，4，5}，则A∪B={﹣1，2，3，4，5}．

考点：并集及其运算．专题：集合．

分析：直接利用并集运算求解．

解答：解：∵A={﹣1，2，3，5}，B={2，4，5}，

则A∪B={﹣1，2，3，5}∪{2，4，5}={﹣1，2，3，4，5}．故答案为：{﹣1，2，3，4，5}．

点评：本题考查了并集及其运算，是基础的计算题．

x﹣x

14．（4分）已知集合A={x|mx=1}=ϕ，则m的值为0．

考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．

分析：根据题意，集合A={x|mx=1}=ϕ，即方程mx=1无解，由一元一次方程的意义，分析可得答案．

解答：解：根据题意，集合A={x|mx=1}=ϕ，即方程mx=1无解，分析可得，m=0时，mx=1无解，故m的值为0；故答案为0．

点评：本题考查集合的意义，关键要把{x|mx=1}=ϕ转化为方程mx=1无解．

15．（4分）函数y=loga（a﹣a），（a＞1）的值域为（﹣∞，1）．

考点：函数的值域．

专题：函数的性质及应用．

分析：先求出函数的单调性，结合x→﹣∞时，t→a，y→1，x→1时，t→0，y→﹣∞，从而求出函数的值域．

解答：解：要使函数有意义，则a﹣a＞0，即a＜a，

设t=a﹣a，解得x＜1，即函数的定义域为（﹣∞，1），此时函数t=a﹣a，为减函数，而y=logat为增函数，

根据复合函数单调性之间的性质可知此时函数y=loga（a﹣a）单调递减，故函数的减区间为（﹣∞，1），

x→﹣∞时，t→a，y→1，x→1时，t→0，y→﹣∞，

∴函数y=的值域是（﹣∞，1），

故答案为：（﹣∞，1）．

点评：本题考查了函数的值域问题，考查了对数函数的性质，是一道基础题． 16．（4分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2．则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为﹣1．

考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题；新定义．

分析：根据新定义当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数，先求出各对数值或所处的范围，再用取整函数求解．

解答：解：由题意可得：[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24] =﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2 =﹣1

故答案为﹣1；

点评：本题是一道新定义题，这类题目要严格按照定义操作，转化为已知的知识和方法求解，还考查了对数的运算及性质．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（12分）（Ⅰ）求值：

﹣（）+0.25

×（）；

﹣4

（Ⅱ）已知5=3，5=4．求a，b．并用a，b表示log2512．

考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．

分析：（I）利用指数运算法则即可得出．

（II）利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出．

解答：解：（I）原式=

=﹣5+2=﹣3．

（II）∵5=3，5=4，∴a=log53，b=log． ∴log2512=

．

点评：本题考查了指数体育对数运算法则、对数的换底公式，属于基础题．

18．（12分）已知集合A={x|3≤3≤27}，B={x|x＞2}．（Ⅰ）分别求A∩B，（∁RB）∪A；

（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．

考点：集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．

分析：（1）解指数不等式我们可以求出集合A，再由集合补集的运算规则，求出CRB，进而由集合交集和并集的运算法则，即可求出A∩B，（CRB）∪A；

（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（1）∵A={x|3≤3≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}…（1分） ∴A∩B={x|2＜x≤3}…（1分）

（CRB）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（2分）（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…（1分）当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…（1分）

综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…（1分）

点评：本题考查的知识点是集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，指数不等式的解法，对数不等式的解法，其中解指数不等式和对数不等式求出集合A，B是解答本题的关键，在（2）的解答中易忽略C为空集也满足条件而错解为（1，3]，也容易忽略最后要的结果为集合，不能用不等式的形式表达．

19．（12分）已知函数f（x）=x+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．

考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用．

分析：（1）当a=﹣1时f（x）=x﹣2x+2，可得区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1；（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是[a，+∞），由[﹣5，5]⊂[a，+∞）解出a≤﹣5，即为实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f（x）=x﹣2x+2， ∴函数图象的对称轴为x=1，

在区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数． ∴函数的最小值为[f（x）]min=f（1）=1，

函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]max=f（﹣5）=37 综上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1（6分）

（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=﹣a对称，开口向上

∴函数y=f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a]，单调增区间是[﹣a，+∞），由此可得当[﹣5，5]⊂[a，+∞）时，

即﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．即当a≤﹣5时y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．（6分）点评：本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题．

20．（13分）已知函数f（x）=

．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（Ⅱ）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；

（Ⅲ）若不等式f（1﹣m）+f（1﹣m）＜0恒成立，求m的取值范围．

考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；

（Ⅲ）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（1﹣m）+f（1﹣m）＜0进行转化即可求m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）为减函数， ∵f（﹣x）=

=﹣

=﹣f（x），

∴函数f（x）为减函数；（Ⅱ）设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=

﹣

，

∵x1＜x2， ∴

，

则f（x1）﹣f（x2）=

＜0，

即f（x1）＜f（x2），

即函数在其定义域上的单调递增；

（Ⅲ）若不等式f（1﹣m）+f（1﹣m）＜0恒成立，

则等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m）， ∵f（x）为奇函数且为增函数，

∴不等式等价为f（1﹣m）＜f（m﹣1），

即1﹣m＜m﹣1，

则m+m﹣2＞0，

解得m＞1或m＜﹣2，

即m的取值范围是{m|m＞1或m＜﹣2}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．要求熟练掌握函数性质综合应用． 21．（13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．专题：应用题．

分析：（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．解答：解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．

由题意设f（x）=k1x，又g（4）=1.6，∴

．从而

．由图知

，

，∴

（8分）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．

（0≤x≤10）

令当t=2时，

，则=

，此时x=10﹣4=6（15分）

答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，

该企业获得最大利润，利润为2.8万元．（16分）点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．

22．（12分）在探究函数f（x）=x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的最值中，

（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下： x … 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 1 1.1 1.2 1.3 2 3 4 5 … y … 30.0 15.01 6.13 4.6 4.06 4 4.06 4.23 4.50 9.5 28 .75 125.6 … 观察表中y值随x值变化的趋势，知x=1时，f（x）有最小值为4；

，若g（2）﹣k•2≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求k的取值范围．

考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．

分析：（Ⅰ）由表看出x=1时，f（x）有最小值是4；

（Ⅱ）可以证明函数为奇函数，则可以利用f（﹣x）=﹣f（x）得出函数在（﹣∞，0）的函数值对应表，可得在区间（﹣∞，0）上，x=﹣1时，取得最大值﹣4，然后利用函数图象关

于原点对称，可知图象趋向无穷大，无最值，（Ⅲ）令2=t换元化简，然后再令=x，换元将恒成立问题转化为最值问题求解，可以利用本题中（Ⅰ）的结论求最值．解答：解：（Ⅰ）x=1时，f（x）有最小值是4；

（Ⅱ）探究函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上的最值，列表如下：

x … ﹣0.1 ﹣0.2 ﹣0.5 ﹣0.7 ﹣0.9 ﹣1 ﹣1.1 ﹣1.2 ﹣1.3 ﹣2 ﹣3 ﹣4 ﹣5 … y … ﹣30.0 ﹣15.01 ﹣6.13 ﹣4.6 ﹣4.06 ﹣4 ﹣4.06 ﹣4.23 ﹣4.50 ﹣9.5 ﹣28 ﹣.75 ﹣125.6 …

综合上表，在区间（﹣∞，0）上，x=﹣1时，取得最大值﹣4，在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上，函数无最值，（Ⅲ）令2=t，由x∈[﹣1，1]得t∈[，2]，

则g（2）﹣k•2≥0换元得g（t）﹣kt≥0，即k≤

==3t+，

再令=x，由t∈[，2]得x∈[，2]，换元得k≤x+，即求解k≤x+，对于x∈[，2]恒成立，

由（Ⅰ）可知f（x）=x+在区间（0，+∞）上，x=1时，f（x）有最小值是4，则x∈[，2]时，x+≥4，则k≤4．

点评：本题考察函数的性质及最值问题，难点在（Ⅲ）中通过两次换元转化为f（x）=x+在区间[，2]上的最值求解，同时注意换元时引入参数要注明参数范围．

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