【中小学资料】备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题57 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三

专题57 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题

考纲要求:

1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想． 基础知识回顾:

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.

(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.

Ax＋By＋C＝0，由

fx，y＝0，

2

消元．(如消去y)得ax＋bx＋c＝0.

2

①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线

l与抛物线的对称轴平行(或重合)．

②若a≠0，设Δ＝b－4ac.

a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．

2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： |P1P2|＝＝

＋k2x1＋x2

2－4x1x2]＝1＋k·|x1－x2|＝

2＋

1

2

ky1＋y2

2

－4y1y2]

1

1＋2|y1－y2|

k(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)． 应用举例:

类型一 椭圆的焦点三角形

x2y2【例1】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上期中】已知椭圆C:221ab0的离心率

ab为e2，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为422. 2中小学最新教育资料

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（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线ym和椭圆C交于A,B两点，且直线DA,DB与y轴分别交于P,Q两点，求证： PF1F2QF1F290.

x2y21;(2)详见解析. 【答案】(1) 42

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x0y1y0x1x0x1xyyx0101 ∴tanPF1F2ccx0x1tanQF1F2x0y1y0x1

cx0x1x0y1y0x1x0y1y0x1x02y12y02x12∴tanPF1F2tanQF1F2 222cx0x1cx0x1cx0x1中小学最新教育资料

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x02x122x0222x122xx2211011 22222x0x12x0x12∴PF1F2与QF1F2互余， ∴PF1F2QF1F290

【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 点评：1.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，xy

∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)中：

ab①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；

θ2

②S＝btan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

22.椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩． 类型二 椭圆的焦点弦 中小学最新教育资料

2

2

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x2y2

【例3】【江苏省南京市2017届高三上学情调研】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(aab＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，→→设PF1＝λF1Q．

3

（1）若点P的坐标为 (1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；

2

12

（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．

22

y P F1 Q O F2 x

7

【答案】（1）＋＝1；（2）[，5]．

433

x2y2

（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．

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2c2y0b2b2

因为P在椭圆上，所以2＋2＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分

abaa

方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．

2c2y0b2b2

因为P在椭圆上，所以2＋2＝1，解得y0＝，即P(c，)． …………………… 7分

abaab2

因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．

2acb2

y＝(x＋c)，2ac2222222

由22得(4c＋b)x＋2bcx＋c(b－4a)＝0．

xy＋＝1，a2b2



b2

因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，

a2bc2bc则x1＋c＝－22，即－c－x1＝22． …………………… 11分

4c＋b4c＋b→→因为PF1＝λF1Q，

4c＋b3c＋a3e＋14

所以λ＝＝＝22＝＝22＝2－3． …………………… 14分

－c－x1ba－c1－e1－e121172

因为e∈[，]，所以≤e≤，即≤λ≤5．

22423

7

所以λ的取值范围为[，5]． …………………… 16分

3

2c2

2

2

2

2

2

2

x2y2

【例4】设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，

ab中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 |AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 3

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

5

点评：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2]＝2

2

1＋12[（y＋y）2－4yy](k为直线斜率)．提醒：利用公式计算k1212

直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断． 7．椭圆中几个常用的结论：

(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

xy

①2＋2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； abyx

②2＋2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； ab

③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2b

(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. axy

(3)AB为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

ab

2

2

2

2

2

2

2

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中小学最新教育资料 ①弦长l＝1＋k|x1－x2|＝

2

1

1＋2|y1－y2|； k

bx0

②直线AB的斜率kAB＝－2.

ay0类型三 抛物线焦点弦问题

【例5】【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期开学】设为抛物线斜角为60°的直线交曲线于的垂线，垂足为，则A.

与

的焦点，过且倾

2

两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的比为（ ）

B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【例6】设AB是过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则∠MFN＝90°； (2)取MN的中点R，则∠ARB＝90°； (3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；

(4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴．

解析：证明：(1)由抛物线的定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，∴∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝∠BFN.

2

∵AM∥x轴，BN∥x轴， ∴∠AMF＝∠KFM，∠BNF＝∠KFN. ∴∠MFN＝∠KFM＋∠KFN 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 1

＝(∠KFA＋∠KFB)＝90°. 2

(3)∵∠MFN＝90°，∴F在以MN为直径的圆上． ∵|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|， ∴∠MFA＝∠AMF，∠MFR＝∠FMR.

∴∠AFR＝∠MFA＋∠MFR＝∠AMF＋∠FMR＝90°，即RF⊥AB，F为垂足． 因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F.

(4)易知直线AO的方程为y＝x，则Q－，－.∵y1y2＝－p，

2x1x12

y1

ppy12

py1py1p2

∴－＝－·2＝－＝y2，

2x12y1y1

2p于是Q－，y2与点N重合．因此，BQ平行于x轴，即BQ平行于抛物线的对称轴．

2

点评：1.例1小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)

2

不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x＝2py，性质(1)应为|AB|＝y1＋y2＋p，性质(2)应为x1x2中小学最新教育资料

p

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＝－p，y1y2＝，其余情况可自行推导．两道例题分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．

4

2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．

3．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 类型四 双曲线的焦点弦与焦点三角形

π

【例7】过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )

496A．没有交点 B．只有一个交点

C．有两个交点且都在左支上 D．有两个交点分别在左、右两支上

3xy2

解析：直线l的方程为y＝(x＋13)，代入C：－＝1整理，得23x－813x－160＝0，Δ＝(－

349813)＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．

4

【例8】设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的

243

2

2

2

2

2

p2

x2y2

y2

面积等于( ) A．42 C．24

B．83 D．48

点评：双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在． 方法、规律归纳:

x2y2

1.以椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠

abF1PF2＝θ，注意以下公式的灵活运用：

①|PF1|＋|PF2|＝2a；

②4c＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|·cos θ；

2

2

2

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1

③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ.

2

2．抛物线的几个常用结论

(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r＝|PF|.

p2

①y＝2px(p＞0)，r＝x0＋；

2

p2

②y＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋；

2p2

③x＝2py(p＞0)，r＝y0＋；

2

p2

④x＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋. 22

(2)焦点弦：若AB为抛物线y＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，|AB|＝l.则：

2p

①x1x2＝；

42

②y1y2＝－p；

③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2x1x2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)． 实战演练: 1.【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线y2px(p0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为的直线与抛物线相交于两点A,B两点，若AB8，则抛物线的方程为（ ）

22A. y3x B. y4x C. y6x D. y8x

2223【答案】C

x2y22.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆C：221(ab0)的左、右焦点分别为F1、

abF2，离心率为

（ ）

3，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为3x2y2x2y2x2y2x221 B. y1 C. 1 D. 1 A. 321281243【答案】A

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3.【2017届浙江省杭州市高三4月】设倾斜角为的直线l经过抛物线C:y2px(p0)的焦点F，与抛物线C交于A， B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方.若

2AFBFos的值为则c（ ） m，

A.

2mm1mm1 B. C. D.

m1m1m1m【答案】A

【解析】过点A,B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C,D ，再分别过A,B向准线作垂线，垂足分别为

M,N，如下图， AFCBFD ，设BFt ，则AFmt ，所以DFtcos ，

CFmtcos，又根据抛物线定义可知： AMmt,BNt ，则DHBNptcost ， MAHCpmtcosmt ，由以上两式可得： m1cos1cos ，所以解得：

cosm1 .故选择A. m1

xy

4．椭圆E：2＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值

a3是8，则m的值等于( ) A．0 C.3

B．1 D．2

2

2

解析：设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B. 中小学最新教育资料

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xy

5．如图，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P为C上一点，满足|OP|＝

ab|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )

2

2

xy

A.＋＝1 255xy

C.＋＝1 3010

2

2

2

2

xy

B.＋＝1 3616xy

D.＋＝1 4525

2

2

22

6.【2018届衡水金卷全国高三大联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M3,1射出，经过抛物线上的点A反射后，

2再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为 ( ) A.

718326 B. 926 C. 910 D. 26 1212【答案】B

【解析】令y1，得x11，即A,1. 442由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为ykx1，代入y4x. 消去y，得k2x22k22xk20.则xAxB1，所以xB14. xAABxAxBp225. 4将x4代入y4x得y4，故B4,4. 中小学最新教育资料

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故MB43412226. 12526926. 44故ABM的周长为MAMBAB3故选B.

7.【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】已知抛物线点，且点A.

.直线

分别过点和

的焦点为，直线过点交抛物线于

上分别取点的面积为（ ）

（

两

，且与轴平行，在直线分别在

的右侧），分别作 B.

C.

的平分线且相交于点，则

D.

【答案】C

8.【2017届江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学高三六校联

x2y2考】已知椭圆221(ab0)的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1， F2，在

ab线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率的平方为（ ）

A. 3313535 B. C. D. 2222【答案】D

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a2bab2由f'y0得: y2,于是x2, 22ababab2a2b2PF1PF22c0, 222abab22c2a2b222222c,又bac,e2, 整理得: 2aab2e43e210,

e235,又椭圆的离心率e0,1, 2中小学最新教育资料

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e235. 229.【2017届河南安阳市高三9月调研】已知抛物线y4x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，

B两点，若|AF|3，则|BF| ．

【答案】

3 2

10.【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且AF4，则线段AB的长为（ ）

2

A. 5 B. 6 C. 【答案】C

【解析】如图：过点A作ADl交l于点D.

1620 D. 33中小学最新教育资料

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11.【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期期中】设Ax1,y1， Bx2,y2是椭圆

y2x23x1y11ab0m,， 上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量222abbaxyn2,2，且mn， O为坐标原点.

ba（1）若直线AB过椭圆的焦点F0,c，（ c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （2）试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）k2；（2）见解析.

，c3，再设直线AB的方程为： ykx3，【解析】试题分析：（1）根据条件可得a2，b1中小学最新教育资料

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（2）①直线AB斜率不存在时，即x1x2， y1y2 ∵mn

y120 ∴mn0，即x421 又∵A点在椭圆上

y1211，即x12 ∴x1422 ∴x12， y12 2 ∴S=11x1y1y2x12y11，故AOB的面积为定值1 22②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为ykxm，

ykxm联立{y24x21 得： k24x22kmxm240

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m242km∴x1x22， x1x22， 0

k4k4∴SAOB11mx1x2m 22x1x224x1x2 2mk2m24k42

所以三角形的面积为定值1.

12.【2018届浙江省温州市高三9月】已知抛物线：

两点，

为

的中点，且

（．

），焦点为，直线交抛物线于

，

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

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13.【2018届湖南师大附中高三11月月考】已知抛物线C： y2px(p0)的焦点F与椭圆T：

2x2y21的一个焦点重合，点Mx0,2在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点. 2（Ⅰ）求抛物线C的方程以及MF的值；

（Ⅱ）记抛物线的准线C与x轴交于点H，试问是否存在常数R，使得AFFB且

85都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 412【答案】（I）y4x,2；（II）2或.

2p【解析】试题分析：（1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标F0,1，则可得1，即可求得p的值，

2HA2HB2求得拋物线方程，利用拋物线的焦点弦公式即可求得MF的值； （2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得4t2得实数入的值.

12，利用韦达定理以两点之间的距离公式，列方程，即可求

x2y21中， a22,b21，故c2a2b21，故F0,1，试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆T： 2中小学最新教育资料

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p1，则2p4，故抛物线C方程为y24x，将Mx0,2代入y24x，记得x01， 2p故MF12.

2故

（Ⅱ）依题意， F0,1，设l:xty1，设Ax1,y1， Bx2,y2，

y1y24ty24x2xy4ty40联立方程{.∴{ ，消去，得 ①

y1y24xty1且{x1ty11x2ty21 ，又AFFB则1x1,y1x21,y2，即y1y2，代入①

得{1y24t ，

y2241消去y2得4t22，且H1,0，

22则HA2HB2x11y12x21y22 x1x22x1x22y1y2

2222ty11ty212ty1ty222y12y22 t21y12y224ty1y28 t2116t284t4t8 16t440t216.由16t440t216解得t22285， 41211或t2（舍），故2或. 882的左右焦点分别为

14.【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知椭圆

，离心率为于

两点.

；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得

为定值；并求出该定点的坐标.

【答案】（1）（2）

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（Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为

，

由设

，

消去y整理得

，

，

则，

，

，

假设x轴上的定点为则

.

要使其为定值，需满足解得

.

，

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故定点的坐标为.

15、如图，设点A,B的坐标分别为3,0,（1）求点P的轨迹方程；

23,0，直线AP,BP相交于点P，且它们的斜率之积为．

3（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A,B的两点，且满足AP//OM,BP//ON，求证：MON的面积为定值．

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