IGS精密星历内插GPS卫星位置研究1

2010年6月

do:i10.3969/.jissn.1001-358X.2010.03.019

矿 山 测 量No13

MINESURVEYINGJun12010

IGS精密星历内插GPS卫星位置研究

任迎华

(无锡水文工程地质勘察院,江苏无锡 214063)

摘要:阐述了用拉格朗日多项式内插计算GPS卫星轨道位置的方法,并利用IGS跟踪站给出的精密星历作为实例运用MATLAB进行编程计算,给出了拉格朗日内插法得到的卫星位置误差与多项式阶数的关系。结果表明,用拉格朗日多项式内插法得到的卫星位置精度能够满足精密定位的要求。

关键词:IGS精密星历;MATLAB;拉格朗日多项式;卫星轨道中图分类号:P22814 文献标识码:B 文章编号:1001-358X(2010)03-00-03 在GPS定位中,将GPS卫星的位置作为已知值,通过计算卫星至接收机的距离来计算测站点的坐标。因此,卫星的轨道信息是定位的基本要素,而卫星的轨道信息是通过星历给出的,星历误差将成为一种起算数据误差。这种误差直接影响着单点定位的精度,对绝对定位也有一定的影响。根据IGS提供的数据,在SA取消后,利用广播星历进行卫星导航和单点定位时,精度一般只能达到数米至

[1]

数十米。一种有效的提高定位精度的方法是采用IGS精密星历,但是精密星历是按照一定的时间间隔(通常为15分钟)给出的,要想获得观测瞬间卫星的位置可以采用内插法求得,其中拉格朗日(Lagrange)法被广泛的采用。因此,就涉及到插值的阶数选择问题,如果选用的阶数太低,精度将达不到要求,不能满足精密定位的要求;如果阶数过高,将会白白浪费计算机的资源,同时高阶的拉格朗日插值在区间边界可能出现摆动,内插效果并不一定好。1 内插计算原理

1.1 拉格朗日多项式插值的数学原理

以IGS跟踪站提供给用户的精密星历为基础,使用插值方法计算出所需任意点的轨道状态量,插值法中使用的节点数目称为该插值方法的阶。普遍使用的内插和

[1]

外推的方法是拉格朗日多项式插值法,其定义如下:

设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1,,n)是[a,b]上n+1个互异实数,且y=f(x)在xi的值为yi=f(xi),则区间[a,b]上任意一点x的n阶拉格朗日插值多项式的代数表达式为

f(x)=

[2]

E

nn

i=0

yiF(

j=0

jXi

x-xj

)xi-xj

(1)

式中点xi(i=0,1,,,n)称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间。

需要说明的是节点数一般取偶数,使插值时刻位于节点的中间,这样插值的误差会最小。当取奇数时,插值时刻取中间的两个时刻。

1.2 卫星位置的插值计算

图1为IGS精密星历的给出的一个时刻的部分

图1 IGS精密星历

第3期 任迎华:IGS精密星历内插GPS卫星位置研究 2010年6月

卫星轨道信息,该时刻为2006年10月29日0时0分。PG**为卫星号,卫星号后的第一,第二,第三个数据为卫星的三维位置(单位:km)。

利用式(1)内插观测瞬间卫星的位置,x即为观测时刻,yi为精密星历给出的xi时刻卫星的三维位置。因此,要想获得任意时刻卫星位置的n阶拉格朗日内插值,必须至少有n+1个时刻的卫星位置,并且内插时刻要在已知时刻的区间内。如果待求点位于已知数据点的,则可以保证最佳的内插效

果,即对称内插的方法,如图2所示(横轴为插值时刻,单位:分钟),9阶拉格朗日插值多项式其最佳插值时刻为第五和第六个插值节点中间的时刻,即135分;对于10阶拉格朗日插值多项式,其最佳插值时刻则有两个,分别为第五、第六插值节点的中间时刻和第六、第七插值节点的中间时刻,即135分和165分。如果插值时刻位于插值区间以外则称为轨道的外推。

图2 对称内插法示意图

2 编程实现拉格朗日多项式插值

使用拉格朗日多项式插值时涉及的数据量很大,例如每颗卫星15分钟一次数据,一天就会有24@15@3个坐标数据,而每个坐标数据文件的数据量也是海量的,所以宜编程实现。编程时我们使用了MATLAB7.0。MATLAB具有强大的科学计算功能,它不仅可以实现简单的求和、正弦、余弦,也可以方便的进行矩阵求逆、傅里叶变换等。在MATLAB中调用拉格朗日插值法只需输入简单的命令项式的算法程序,代码如下:

%----Lagrange插值多项式----%X为插值节点,Y为相应的函数值%x为插值时刻

functiony=interp_lag(X,Y,x)n=length(X);y=zeros(size(x));fori=1:n t=1; forj=1:n ifj~=i

t=.t*(x-X(j))/(X(i)-X(j));

end

[3][4]

end

y=y+*tY(i);end

3 计算实例及精度分析

作者选取了2006年10月29日至2006年10月31日共3天的数据作为算例进行内插计算。选取的卫星为PG1、PG10和PG21号,精密星历给出的卫星位置时间间隔为15分钟,计算时取30分钟间隔的星历作为内插点内插计算各个内插时间段中间时刻的卫星位置,这样可以对内插得到的卫星位置同精密星历给出的卫星位置进行比较。

为了能够达到最佳内插效果,算例采用对称内插的方法,由于星历的边缘时刻必须用其前一天和后一天的星历数据才能进行内插计算,所以略去边缘时刻,对每个插值点进行1到20阶的拉格朗日插值计算,共得到124个内插值,将得到的结果与精密星历给出的结果比较得到每个插值点的插值中误差,取PG1号卫星5至20阶的内插平均中误差列于表1。

由表1可以看出,内插的精度随着多项式阶数的增加逐渐提高,其中Y的误差要小于X和Z的误差。当阶数高于11阶时可以获得毫米级的点位精度,当阶数高于13阶时,精度趋于稳定。三颗卫星内插得到的点位平均中误差与多项式阶数关系曲线

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。

作者在MATLAB7.0环境下编写了拉格朗日多

第3期 矿 山 测 量 2010年6月

如图3所示。

表1 PG1号卫星内插平均误差

阶数5671011121314151617181920

Vx68.444112.97122.32990.44710.08450.01820.00480.00260.00230.00230.00230.00230.00230.00230.00230.0023

Vy66.916213.8091

2.28150.47180.08400.01850.00420.00150.00080.00070.00070.00070.00070.00060.00060.0006

Vz23.48412.90980.42480.07480.01760.00470.00250.00220.00210.00220.00220.00220.00220.00220.00220.0022

单位:mV109.861321.25783.65310.72690.13420.02950.00790.00430.00380.00370.00370.00370.00370.00370.00370.0037

图3中第一幅图为1至20阶的误差曲线图,其

余三幅为局部放大图,由图3可以看出三颗卫星插值得到的点位误差都随着阶数增加而降低,并且对于相同阶数的插值,三颗卫星的误差基本相同,当阶数高于13阶时,三颗卫星误差都趋于稳定,其中PG1号卫星误差最大,为3.7mm左右,PG21号卫星误差最小,为2mm左右。4 结 论

通过利用精密星历对三颗卫星三天的轨道位置内插计算,结果表明,用拉格朗日多项式进行卫星轨道的内插计算,当多项式的阶数高于11时可以获得毫米级的精度,当阶数高于13时精度趋于稳定,其结果精度能够满足精密定位的要求。同时,对于卫星速度和卫星钟差的计算也可以采用类似的办法,且拉格朗日多项式有利于用计算机编程实现,是一种可以推广使用的卫星轨道内插方法。 参考文献:

[1] 李征航,黄劲松.GPS测量与数据处理[M].武汉:武汉

大学出版社,20051

[2] 曹德欣,曹璎珞.计算方法(第二版)[M].徐州:中国矿

业大学出版社,20011

[3] 王沫然1MATLAB与科学计算[M].北京:电子工业出

版社,20011[4]

JohnH.Mathews,KurtisD.Fink,NumericalMethodsU-singMATLAB(ThirdEdition),PublishingofElectronicsIndustry,20021

[5] 刘迎春1一种卫星精密星历的插值方法[J].飞行器测

绘学报,2004(4)1

(收稿日期:2010-03-03)

图3 插值点误差曲线图

国际矿山测量协会(ISM)第十四届国际大会中国代表论文评审会在河南理工大学举行

国际矿山测量协会第14届国际大会将于2010年9月20-24日在南非主办,应ISM团和大会组委会的要求,中国代表的论文由中国ISM组织负责初评审。

国际矿山测量协会第十四届国际大会中国代表论文评审会于6月3-6日在河南理工大学举行。本次大会共收到来自国内论文63篇。来自中国矿业大学、中国矿业大学(北京)、中南大学、北京师范大学、辽宁工

程技术大学、河南理工大学、青岛理工大学、煤炭科学研究总院唐山研究院等国内8家重点高校和科研院所的专家对论文进行了认真的审查。

在评审期间专家对评审结果进行了集中讨论,最后56篇论文通过了评审。取得了成果。

(中国ISM委员会)56