第六章立体表面的交线(精)

§6－1 概 述

§6－1 概 述

平面与立体表面相交产生的交线称为截交线。 两立体表面相交产生的交线称为相贯线。 §6－2 平面与回转体表面相交

§6－2 平面与回转体表面相交

一、截交线的性质 1. 截交线是平面与回转体表面的共有线，它既在平面上，又在回转体表面上。截交线上的点是截平面与回转体表面的共有点。 2.截交线是一条封闭的平面曲线(包含有直线段的情况) ，它的形状取决于回转体的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。 §6－2 平面与回转体表面相交

求曲面体的截交线的方法： 就是要找出回转体表面和截平面上的若干共有点，然后依次光滑的连接各点。

求共有点的方法： 1. 面上取点法； 2. 辅助平面法；

§6－2 平面与回转体表面相交

二、平面与圆柱体表面相交 平面与圆柱面交线的形状

一对平行直线 圆 椭圆 §6－2 平面与回转体表面相交

绘制联轴节接头的投影图

1' (5') 3' (7') 5(7) 2'(6') 4'(8') (6\") 5\" 1\" (2\") 7\" (8\") 3\" (4\") 6(8) 1(3) 2(4) §6－2 平面与回转体表面相交

轴 套 §6－2 平面与回转体表面相交

平面与圆柱体表面交线的求解方法

1、分析：(1)位置关系；

(2)截交线的形状；

(3)截交线的已知投影、未知投影

2、求特殊点(面上取点法)： (1)极值点；

(2)轮廓线上的点； (3)可见性的分界点； 3、求一般点(面上取点法) ： 4、判别可见性、连线； 5、整理轮廓线；

§6－2 平面与回转体表面相交

(m'2) (k'2) (d' ) a' a\" PV b' k'1 c' m'1 d\" m\"2 b\" m\"1 c\" k2 b d m2 a k1 c m1 §6－2 平面与回转体表面相交

三、平面与圆锥体表面相交 平面与圆锥面交线的形状

圆 一对相交直线

椭圆

双曲线

抛物线

§6－2 平面与回转体表面相交

平面与圆锥轴线垂直

α=0

平面过锥顶

椭圆 α<θ

平面 α θ 双曲线 α>θ

各种截交线的几何条件 抛物线 α=θ §6－2 平面与回转体表面相交

平面与圆锥体表面交线的求解方法

1、分析：(1)位置关系；

(2)截交线的形状；

(3)截交线的已知投影、未知投影。 2、求特殊点(面上取点法，辅助平面法)： (1)极值点；

(2)轮廓线上的点； (3)可见性的分界点。

3、求一般点(面上取点法，辅助平面法)； 4、判别可见性、连线； 5、整理轮廓线。

§6－2 平面与回转体表面相交

5' 1' 3' 4' 2' 4\" 3\" 5\" 2\" 5\" 1 \" 4\" 3\" 5 1 5 3 4 2 3 4 §6－2 平面与回转体表面相交

1' 2' 1\" 2\" 3\" 3' 3 2 1 §6－2 平面与回转体表面相交

四、平面与圆球体表面相交 平面与圆球体的轴线不论处于何种相对位置，截交线

均是圆。

§6－2 平面与回转体表面相交

1' 2' 3' 2\" 1\" (3\") 1 2 3 §6－2 平面与回转体表面相交

平面与圆球体表面交线的求解方法

1、分析：(1)位置关系；

(2)截交线的形状；

(3)截交线的已知投影、未知投影。 2、求特殊点(面上取点法，辅助平面法)： (1)极值点；

(2)椭圆长短轴的端点； (3)轮廓线上的点； (4)可见性的分界点。

3、求一般点(面上取点法，辅助平面法)； 4、判别可见性、连线； 5、整理轮廓线。

§6－2 平面与回转体表面相交

7'(8') 3'(4') 1' r' 5'(6') n' 2' 6\" 8\" 2\" n\" 4\" r\" 1\" r\" n\" 3\" 5\" 7\" 4 8 r 6 n 2 1 r 3 7 5 n §6－2 平面与回转体表面相交

平面与圆弧回转体相交

平面与圆弧回转体轴线垂直相交时截交线

是圆；一般情况时，截交线是高次曲线。

§6－2 平面与回转体表面相交

综合举例

3\" (2\") 3' 2' 4' 1 ' 4\" (1\") 3 (4) (1) 2 §6－2 平面与回转体表面相交

综合举例

3\" 6\" 6' 3' 5' 7' 5\" 4' 7\" 4\" 5 6 (7) 3 (4) §6－2 平面与回转体表面相交

综合举例

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

•相贯线及其性质

•回转体表面相交的情况 •求相贯线的方法 •应用举例 •相贯线的特殊情况 §6－3 两回转体表面相交

两回转体表面相贯线的性质

1、 相贯线是两回转体表面上的共有线，也是两回 转体表面的分界线，所以相贯线上的点是两回转体表面的共有点。 2、 一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特殊情况下成为平面曲线或直线。

3、 相贯线的形状，由两相交回转体的表面形状、大小及相对位置决定。

§6－3 两回转体表面相交

回转体表面相交的情况

1、两外表面相交（实体相贯）

2、外表面与内表面相交(内外相交) 3、两内表面相交（空贯）

§6－3 两回转体表面相交

求相贯线的方法

根据相贯线的性质，相贯线的画法归 结为求两相交回转体表面的共有点，其具 体方法有：

1、面上取点法； 2、辅助平面法； 3、辅助球面法；

§6－3 两回转体表面相交

面上取点法的作图步骤

1、分析： (1)两相交回转体的形状(一般有一圆柱 体轴线垂直于投影面) ；

(2)两相交回转体的相对位置； (3)相贯线的已知投影和未知投影。 2、求特殊点； 3、求一般点；

4、判别可见性、连线；

5、整理轮廓线；

§6－3 两回转体表面相交

表面取点法（求两圆柱相贯线） a' c' b' a\" c\" b\" a c b §6－3 两回转体表面相交

(5') (6') (4') 2' 1' 7' 3' 8' 4\" 5\" 1\" (2\") (6\") 7\" (8\") 3\" 5 1 7 4 6 2 8 (6') 2' 3 （a）求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ （b）求特殊点Ⅴ、Ⅵ及一般点Ⅶ、Ⅷ

（ c ）连线判别可见性，整理轮廓线

§6－3 两回转体表面相交

辅助平面法

选辅助平面的原则：

要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆,常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面。

§6－3 两回转体表面相交

y 圆柱圆锥相贯 两轴线正交 PV QV RV §6－3 两回转体表面相交

PV 2' 1' (4') 3' 4\" 1\" (2\") 3\" 圆锥和球相贯 圆锥的轴在 大圆的平面内 4 1 3 2 §6－3 两回转体表面相交

Q2V Q1V (6') 7' (8') 5' Q2W Q1W (8\") 6\" (7\") 5\" 6 8 m1 5 7 l1 §6－3 两回转体表面相交

(k\"2) (k\"1) k'1(k'2) k2 k1 §6－3 两回转体表面相交

辅助球面法 辅助球面法的原理

设置一辅助球面

相贯线上的点 圆锥与球的交线圆 （球心位于两回转体轴线的交点），求辅助球面与两回转体表面的交线圆，两圆的交点为两回转体表面和辅助球面三面的共点，即相贯线上的点。

圆柱与球的交线圆 §6－3 两回转体表面相交

用辅助球面法的条件： 1、相交两立体必须都是回转体； 2、两回转体的轴线必须相交； 3、两回转体的轴线所确定的平面必须平行于某一个投影面。 §6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

相贯线的特殊情况一：

若轴线相交的两圆柱或圆柱与圆锥公切与一个球面，相贯线是两个相交的椭圆。椭圆所在的平面垂直于两条轴线所决定的平面 。

§6－3 两回转体表面相交

§6－3 两回转体表面相交

相贯线的特殊情况二

两个同轴线回转体相交时，相贯线是垂直于轴线的圆。当回转体轴线平行于某投影面时，相贯线圆在该投影面上的投影为垂直于轴线的直线。

§6－3 两回转体表面相交

相贯线的特殊情况三

若两圆柱体的轴线平行、两圆锥共顶，相贯线是直线。

§6－3 两回转体表面相交

关于圆锥和圆柱相贯线的动画 §6－3 两回转体表面相交

相贯线的综合应用分析

k k' k\" §6－3 两回转体表面相交

Pv 圆柱和球相贯 结束 反求截面 过圆柱顶，做截平面 相贯线 一般点 特殊点 截交线 第六章 立体表面的交线

第六章 立体表面的交线

第六章 立体表面的交线