初一数学有关三角形旋转的题

1、如图1，顺次连接P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；

证明时依据的定理或定义有：

（1） ； （2） 。

2、若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）：

①判断此时四边形PQMN的形状为，并说明理由

②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）

3、在图2的基础上，将△BCE绕着点E旋转任意一个角度，在旋转过程中，四边形PQMN的内角∠MNP的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出∠MNP的度数。

二、如图①，将两个有公共直角顶点A的不全等的等腰直角三角板叠放在一起，点B在AD上，点C在AE上．

(1)在图①中，你发现线段BD，CE的数量关系是 ，直线BD，CE相交成 度的角．

(2)将图①中的△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到图②，这时(1)中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△ABC绕点A继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

(3)如图③若将“两个有公共直角顶点A的不全等的等腰直角三角板”改为“两个有公共顶角为锐角∠A的不全等等腰三角形”，△ABC绕点A逆时针旋转任意一个角度，这时(1)中的两个结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

三、(2014山西百校联考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB的角度记为α． (1)操作与证明：如图①，点D为边BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接CE．求证：BD＝CE；

(2)探究与发现：如图②，在(1)中若α＝90°，点D变为BC延长线上一动点．可以发现：①线段BD和CE的数量关系是________；②线段BD和CE的位置关系是________；

(3)思考与判断：如图③，在(1)中若α＝90°，AB2＝BD·BC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．

四、如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是线段OC上一点,过点A作BE的垂线，交线段OB于点Ｇ，垂足为点Ｆ,

（1）求证：OG=OE；

（2）如图2,若点E在AC的延长线上,过点A作BE的垂线，交OB的延长线于点G,垂足为点F，求证OG=OE．

（3）如图3，将图1 中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60度，其余

条件不变，试求ＯＧ：ＯＥ的值。

五、如图1，在Rt△ABC中,AC=BC, ∠C ＝90°，点D是CB的中点，将△ACD沿AD

折叠后得到△AED，过点B作BF平行AC，交ＡＥ的延长线于点Ｆ。 1、 问线段BF和EF的数量关系？并说明理由。

2、若将图1中“AC=BC”改成“AC≠BC”，其他条件不变，如图2，那么1中的发现是否仍然成立？请说明理由。

3、若将图1中“在Rt△ABC中，AC=BC, ∠C ＝90°”改为“在△ABC中”，其他

条件不变，如图3，那么1中的发现是否仍然成立，请说明理由。

六、两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，∠BAC=∠EDF=30°，AC=DF=2．△ABC固定不动，将△DEF沿AC平移（点D在线段AC上移动）． （1）猜想与证明：如图①，当点D为AC的中点时，请你猜想四边形BDCE的性状，并证明结论；

（2）思考与验证：如图②，连接BD，BE，CE，四边形BDCE的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由；

（3）操作与计算：如图③，当点D为AC的中点时，将点D固定，然后再将△DEF绕点D顺时针旋转60°，若点P为线段AC延长线上一动点，求PE+PF的最小值．

七、（2014•山西模拟）问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．

小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD． 证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90° ∴∠ACB=∠DCE

∴∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB 即∠ACD=∠BCE

∵CE是由CD旋转得到． ∴CE=CD

则在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（依据1） ∴AD=BE（依据2） ∵AB=AD+BD ∴AB=BE+BD 反思与交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______ 依据2：______

（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：

①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系是______．

②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是______．

（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．

八、如图1，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF=α，AB=AC，AE=AF，点D是BC的中点，点M是EF的中点，连接CE，点N是CE的中点，连接DN，MN．

（1）如图2，将△AEF绕点A旋转，使点E，F分别在边BA，CA的延长线上． ①试探究线段DN与MN的数量关系，并证明你的结论；

②此时，∠DNM与α之间存在等量关系，这个等量关系为_____。请说明理由． （2）将△AEF绕点A旋转，使点E落在△ABC内部，如图3，此时，你在（1）中得到的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

九、如图（1），点F是正方形ABCD的边AB上一点，以AF为边在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90°，AF=FE，点O是线段CE的中点，连接OB，OF，请探究线段OB，OF的数量关系和位置关系．

小颖的思路：延长FO交BC于点G，通过构造全等三角形解决． （1）请按小颖的思路解决图（1）中的问题： ①证明：△EOF≌COG；

②直接写出OB，OF的位置关系为______，数量关系为______．

（2）将图（1）中的△AEF绕点A旋转，使AE落在对角线CA的延长线上，其余条件都不变，请写出此时OB，OF的数量关系和位置关系，并证明；

（3）将图（2）中的正方形变为菱形，其中∠ABC=60°，将等腰△AEF的顶角变为120°，其余条件都不变，此时线段OB，OF的位置关系为______，

OB

OF

十、如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；

（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

十一、已知在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，且∠BAC=∠BDE=α,点D在△ABC的内部，连接AD、CE，探究AD和CE的数量关系．

为解决这些问题，小明先研究一些特殊情况，最后得出结论。

（1）如图1，若∠BAC=∠BDE=60°，则线段CE与AD之间的数量关系是______；并证明。

（2）如图2，若∠BAC=∠BDE=120°，且点D在线段AB上，则线段CE与AD之间的数量关系是______；

（3）如图3，若∠BAC=∠BDE=α，请你探究线段CE与AD之间的数量关系（用含α的式子表示），并证明你的结论．

十二、问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，

证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线， ∵CA=CB，

∴CO是∠ACB的角平分线（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，

∴OM=ON（依据2）反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： 依据2：

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

十三、数学活动——求重叠部分的面积．

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点C．求重叠部分(△DCG)的面积．

（1）思考：请解答老师提出的问题．

（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥

AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程.

(3)提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．

“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分(△DMN)的面积．

任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是________． ②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答．

十四、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，

问题发现：

（1）如图1，若∠ACB=90°，点Ｅ是线段ＡＢ上的一个动点（点E不与点A、B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90度，得到线段CF，连接BF，猜想线段CD，BE，BF之间的数量关系，并证明你的结论。

(2) 如图2，问题1中，若点E是线段AB延长线上一个动点时，（点E不与点A、B重合），其他条件不变，请直接写出线段CD，BE，BF之间的数量关系，。

拓广探索：

(3) 若∠ACB=60°，点Ｅ是射线ＡＢ上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60度，得到线段CF，连接BF，

①如图3，点Ｅ是线段ＡＢ上的一个动点（点E不与点A、B重合），则线段CD，BE，BF之间的数量关系是 ②如图4，若点E是线段AB延长线上一个动点时，（点E不与点A、B重合），则线段CD，BE，BF之间的数量关系是

提出猜想：

若∠ACB=α，CE=k·AB (k为常数)，点Ｅ是射线ＡＢ上的一个动点（点E不与点A、B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转度α，得到线段CF，连接BF，

请你利用上述条件，根据前面的解答过程提出一个类似的猜想，并在图5 中画出图形，表明字母，不必解答。

十五、如图1，在△ABC中， ACB=90°， BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。 （1）如图1，若点H是AC的中点，AC=（2）如图1，求证：HF=EF。

（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明； ，求AB ，BD的长。

若不是，请说明理由。

十六、如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=√2，点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE=1，连接DE． 猜想验证：

（1）线段BE与AD的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）如图（2），当△DCE绕点C顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

（3）将图1 中△CDE绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α≤180°）至△DCE，在旋转过程中，四边形ACED能成为平行四边形吗？如果能，请写出α的角度，并证明；如果不能，请说明理由

（4）观察发现：在图2中，连接BE，点F、G、H、I分别为四边形ABED各边的中点，连接FG、GH、ＨＩ、IF，在整个旋转过程中，试判断四边形FGHI的形状，并说明理由。

解决问题：（5）当α=135°时，四边形FGHI的面积是 提出问题：请结合图2，提出一个数学问题（不必解答）

十七、如图1，正方形ABCD中，点E是线段BC上一点，连接AE，并将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF,连接FC。设线段FC与直线AB相交于点G，试探究线段CE与ＢＧ的数量关系。 操作思考：

1、小颖同学先对这一问题的“特殊”情况进行了分析。如图２，当点E与点B重合时，她发现如下结论：①点Ｇ是CF的中点；②CE=2BG。 小颖得到的结论中，一定成立的是 （填序号）

2、完成“特殊”情形分析后，小颖对这一问题的“一般”情形进行了探究，如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合时），试判断（1）中的两个结论是否都成立，并说明理由。 拓展探究：

3、如图3，小明将图1 中的正方形ABCD变为矩形，其中AB=1，BC=2，点E不与点Ｂ、C重合，其余条件不变，设线段CE的长为x，BC的长为y,请写出y与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围。

十八、如图：已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1=∠2，FG⊥AB 于点G，求证：△CDE≌△EGF． （1）阅读理解，完成解答 本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；

（2）特殊位置，证明结论

若CE平分∠ACD，其余条件不变，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由； （3）知识迁移，探究发现

如图，已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC=EF，请直接写出AE与BF的数量关系．