最新 北师大版八年级(下)期末数学试卷(含答案) (30)

期末考试数学试题

一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．观察下列四个平面图形，其中是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A．y2﹣2y+4＝（y﹣2）2 C．a（x+y）＝ax+ay

B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）

D．t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t

3．小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ） A．

B．a3÷a＝a2

C．

D．

＝﹣1

4．下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

5．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ） A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点

6．如果点P（3﹣m，1）在第二象限，那么关于x的不等式（2﹣m）x+2＞m的解集是（ ） A．x＞﹣1

7．如果解关于x的方程A．﹣1

B．x＜﹣1

+1＝B．1

C．x＞1

D．x＜1

（m为常数）时产生增根，那么m的值为（ ）

C．2

D．﹣2

8．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装88台空调，乙安装队为B小区安装80台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方

程正确的是（ ） A．

＝

B．

＝

C．

＝

D．

＝

9．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中△AHC′的面积等于（ ）

A．12﹣6 B．14﹣6 C．18﹣6 D．18+6

10．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（ ）

A．18 B．9 C．6 D．条件不够，不能确定

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 11．分解因式：9a﹣a3＝ ．

12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．

13．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设 ． 14．若关于x的分式方程

＝1的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．

15．AB＝5，AE平分∠DAB交BC所在直线于点E，CE＝2， 已知平行四边形ABCD中，则AD＝ ．16．若关于x的一元一次不等式组

无解，则a的取值范围是 ．

17．如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 ．

18．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝ ．（用含n的式子表示）

三、解答题（共分） 19．（4分）解分式方程：

﹣1＝

．

20．（6分）解不等式组：，并求出它的整数解的和．

21．（6分）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝﹣．

22．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB'C′；

（2）画出△AB′C′向左平移4格后的△A′B″C″； （3）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

23．（8分）为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买10个足球和若干件（不少于10件）对抗训练背心．甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价120元，对抗训练背心每件15元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠．

（1）设购买对抗训练背心x件，在甲商店付款为y甲元，在乙商店付款为y乙元，分别写出y甲，y乙

与x的关系式；

（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？

24．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．

25．（8分）某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元，乙型号书柜共花了18000元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍．求甲、乙型号书柜各购进多少个？

26．（10分）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．

AD与BC的数量关系为：AD＝ BC； （1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为 ．

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．

2017-2018学年辽宁省辽阳市八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．观察下列四个平面图形，其中是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：第一个，是中心对称图形，故选项正确； 第二个，是中心对称图形，故选项错误正确； 第三个，不是中心对称图形，故选项错误； 第四个，是中心对称图形，故选项错误正确． 故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A．y2﹣2y+4＝（y﹣2）2

B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） C．a（x+y）＝ax+ay

D．t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t 【分析】根据因式分解的意义，可得答案． 【解答】解：A、分解不正确，故A不符合题意；

B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意； C、是整式的乘法，故C不符合题意；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意； 故选：B．

【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．

3．小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ） A．C．

B．a3÷a＝a2 D．

＝﹣1

【分析】分式乘方，等于把分子分母分别乘方，同底数幂的除法法则为：底数不变，指数相减，异分母分式相加减，先通分，再运算． 【解答】解：A、（）2＝

，故A选项错误；

B、a3÷a＝a2，故B选项正确； C、+＝

，要选通分，故C选项错误；

D、没有公因式不能约分，故D选项错误， 故选：B．

【点评】本题考查的知识点比较多，需要熟练掌握每个知识点，这样解题才不会出现错误． 4．下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．

【解答】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；

②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题； ③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：

④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题； 故选：C．

【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论． 5．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ） A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点

【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答． 【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等， ∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点， 故选：C．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

6．如果点P（3﹣m，1）在第二象限，那么关于x的不等式（2﹣m）x+2＞m的解集是（ ） A．x＞﹣1

B．x＜﹣1

C．x＞1

D．x＜1

【分析】先由点P在第二象限得出m＞3，据此知2﹣m＜0，继而根据不等式的性质求解可得． 【解答】解：∵点P（3﹣m，1）在第二象限， ∴3﹣m＜0， 解得：m＞3， 则2﹣m＜0， ∵（2﹣m）x+2＞m， ∴（2﹣m）x＞m﹣2， ∴x＜﹣1， 故选：B．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握第二象限内点的坐标符号特点及不等式的性质． 7．如果解关于x的方程A．﹣1

+1＝B．1

（m为常数）时产生增根，那么m的值为（ ）

C．2

D．﹣2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣5＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．

【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，得：x﹣6+x﹣5＝m， ∵方程有增根， ∴x＝5，

将x＝5代入x﹣6+x﹣5＝m，得：m＝﹣1， 故选：A．

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；

②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

8．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装88台空调，乙安装队为B小区安装80台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．

＝

B．

＝

C．

＝

D．

＝

【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间＝乙队所用时间．

【解答】解：乙队用的天数为：则所列方程为：故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间＝工作总量÷工作效率．

9．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中△AHC′的面积等于（ ）

．

，甲队用的天数为：

．

A．12﹣6 B．14﹣6 C．18﹣6 D．18+6

【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC＝6；运用旋转变换的性质证明∠B′AH＝30°，此为

解决问题的关键性结论；运用直角三角形的边角关系求出B′H的长度，进而求出△AB′H的面积，即可解决问题．

【解答】解：如图，∵等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6， ∴由勾股定理得：AC2＝62+62， ∴AC＝6

；由题意得：∠CAC′＝15°，

∴∠B′AH＝45°﹣15°＝30°；设B′H＝λ； ∵tan30°＝∴B′H＝6×

， ＝2

，

∴S△AB′H＝∴S△AHC′＝＝18﹣6故选：C．

，

，

【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．

10．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（ ）

A．18 C．6

B．9

D．条件不够，不能确定

【分析】因为要求证明PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．

【解答】解：延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H， ∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，

∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形， ∴PD＝BG，PH＝AF． 又∵△ABC为等边三角形，

∴△FGP和△HPE也是等边三角形， ∴PE＝PH＝AF，PF＝GF， ∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB＝

＝6，

故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 11．分解因式：9a﹣a3＝ a（3+a）（3﹣a） ． 【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案． 【解答】解：原式＝a（9﹣a2）＝a（3+a）（3﹣a）， 故答案为：a（3+a）（3﹣a）．

【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式与平方差公式是解题关键． 12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ． 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍， 则内角和是720度， 720÷180+2＝6， ∴这个多边形是六边形． 故答案为：6．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 13．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设 三角形的三个内角都小于60° ．

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．

【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°． 【点评】反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14．若关于x的分式方程

＝1的解为正数，那么字母a的取值范围是 a＞1且a≠2 ．

【分析】将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a＝x﹣1， 解得：x＝a﹣1，

根据题意得：a﹣1＞0且a﹣1﹣1≠0， 解得：a＞1且a≠2． 故答案为：a＞1且a≠2．

【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．注意分式方程分母不等于0． 15．已知平行四边形ABCD中，AB＝5，AE平分∠DAB交BC所在直线于点E，CE＝2，则AD＝ 3或7 ．

【分析】画出符合的两种图形，根据角平分线的定义可得∠DAE＝∠BAE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，推出AB＝BE，即可求出答案． 【解答】解：分为两种情况：①E点在线段BC上，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝5， ∵CE＝2，

∴AD＝BC＝BE+CE＝5+2＝7；

②当E在BC延长线时，

∵AB＝BE＝5，CE＝2， ∴AD＝BC＝5﹣2＝3； 即AD＝3或7， 故答案为：3或7．

【点评】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 16．若关于x的一元一次不等式组

无解，则a的取值范围是 a≥1 ．

【分析】将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．

【解答】解：解得，

∵∴a≥1．

无解，

故答案为：a≥1．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．

17．如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 x＜4 ．

【分析】直线y＝kx﹣3落在直线y＝2x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求． 【解答】解：∵函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6）， ∴不等式kx﹣3＞2x+b的解集是x＜4． 故答案为x＜4．

【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

18．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝

（）n ．（用含n的式子表示）

【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1

的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn． 【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC， ∴BB1＝1，AB＝2， 根据勾股定理得：AB1＝∴S1＝×

×（

，

（）1； ，AB2⊥B1C1，

）2＝

∵等边三角形AB1C1的边长为∴B1B2＝

，AB1＝

，

根据勾股定理得：AB2＝，

∴S2＝×

×（）2＝

（）n．

（）2；

依此类推，Sn＝故答案为：

（）n．

【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．

三、解答题（共分） 19．（4分）解分式方程：

﹣1＝

．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝﹣3， 解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，（x﹣1）（x+2）＝﹣2≠0， 所以分式方程的解为x＝﹣1．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20．（6分）解不等式组：

，并求出它的整数解的和．

【分析】先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解． 【解答】解：解不等式①，得：x≤2， 解不等式4x﹣2＜5x﹣1，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 所以不等式组的整数解的和为0+1+2＝3．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组及其整数解，注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解，所以要找出在这范围内的整数． 21．（6分）先化简，再求值：（

﹣x﹣1）÷

，其中x＝﹣

．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（

﹣

）÷

＝＝

•

•

＝﹣（x+2）（x﹣1） ＝﹣x2﹣x+2， 当x＝﹣

时，

）2﹣（﹣

）+2

原式＝﹣（﹣＝﹣2+＝

．

+2

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 22．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB'C′；

（2）画出△AB′C′向左平移4格后的△A′B″C″； （3）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用扇形面积求法得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△AB'C′即为所求；

（2）如图所示：△A′B″C″即为所求；

（3）线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：

＝

π．

【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

23．（8分）为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买10个足球和若干件（不少于10件）对抗训练背心．甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价120元，对抗训练背心每件15元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠．

（1）设购买对抗训练背心x件，在甲商店付款为y甲元，在乙商店付款为y乙元，分别写出y甲，y乙

与x的关系式；

（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？

【分析】（1）在甲店购买的付款数＝10个足球的总价+（x﹣10）件对抗训练背心的总价，把相关数值代入化简即可；

在乙店购买的付款数＝10个足球的总价的总价×0.9+x件对抗训练背心×0.9； （2）分别根据y甲＝y乙时，y甲＞y乙时，y甲＜y乙时列出对应式子求解即可． 【解答】解：（1）y甲＝120×10+15（x﹣10）＝1050+15x（x≥10）； y乙＝120×0.9×10+15×0.9x＝13.5x+1080（x≥10）；

（2）y甲＝y乙时，1050+15x＝13.5x+1080，解得x＝20，即当x＝20时，到两店一样合算； y甲＞y乙时，1050+15x＞13.5x+1080，解得x＞20，即当x＞20时，到乙店合算；

y甲＜y乙时，1050+15x＜13.5x+1080，x≥4，解得10≤x＜20，即当10≤x＜20时，到甲店合算． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解答这类问题时，要先建立函数关系式，然后再分类讨论． 24．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，DE＝BC，然后求出四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明即可． 【解答】解：结论：CD＝EF．

理由：：∵D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝CF，

∴四边形DEFC是平行四边形， ∴CD＝EF．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并确定出平行四边形是解题的关键．

25．（8分）某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元，乙型号书柜共花了18000元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍．求甲、乙型号书柜各购进多少个？

【分析】设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据单价＝总价÷数量结合乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个， 根据题意得：解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解， ∴2x＝40．

答：购进甲型号书柜20个，购进乙型号书柜40个．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26．（10分）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜

﹣

＝300，

180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．

（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝ ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为 4 ．

BC；

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD＝AB′即可解决问题； ②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：AD＝BC．如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题； 【解答】解：（1）①如图2中，

∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′， ∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′，

∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝120°， ∴∠B′＝∠C′＝30°，

∴AD＝AB′＝BC， 故答案为． ②如图3中，

∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°， ∵AB＝AB′，AC＝AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC＝B′C′， ∵B′D＝DC′，

∴AD＝B′C′＝BC＝4， 故答案为4．

（2）结论：AD＝BC．

理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M

∵B′D＝DC′，AD＝DM， ∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′＝B′M＝AC，

∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′， ∴△BAC≌△AB′M，

∴BC＝AM， ∴AD＝BC．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．