求143除以7的余数。 解:同余的性质能使\"大数化小\",凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。 解法1:∵143≡3(mod7) ∴143≡3(mod 7) ∵=+16+8+1 而32≡2(mod 7), 34≡4(mod7),
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3≡16≡2(mod 7), 316≡4(mod 7), 332≡16≡2(mod 7), 3≡4(mod 7)。 ∵3≡3·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod 7), ∴143≡5(mod 7)。
答:143除以7的余数是5。 解法2:证得143≡3(mod 7)后, 36≡32×34≡2×4≡1(mod 7), ∴384≡(36)14≡1(mod 7)。 ∴3≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod 7)。 ∴143≡5(mod 7) 小学六年级奥数题——同余问题
1.若a为自然数,证明10│(a2005-a1949).
2.给出12个彼此不同的两位数,证明:由它们中一定可以选出两个数,它们的差是两个相同数字组成的两位数.
3.求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.
4.设2n+1是质数,证明:12,22,…,n2被2n+1除所得的余数各不相同. 5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除. 参:
1.提示:对于任何自然数a,a5与a的个位数字相同. 2.提示:有两个数的差能被11整除 3.173
4.分析这道题肯定不可能通过各数被2n+1除去求余数.那么我们可以考虑从反面入手,假设存在两个相同的余数的话,就会发生矛盾.而中间的推导是步步有根据的,所以发生矛盾的原因是假设不合理.从而说明假设不成立,因此原来的结论是正确的.
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