【精选】2020年湖北省孝感市汉川市九年级上学期数学期中试卷及解析

2018学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=6

3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ） A．5

B．﹣5 C．3

D．﹣3

4．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（ ） A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2

D．最大值2

5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）

A．55° B．60° C．65° D．70°

6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ） A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15

7．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y=x2+4x+3的图象能够与二次函数y=x2的图象重合，则平移方式为（ ）

A．向左平移2个单位，向下平移1个单位 B．向左平移2个单位，向上平移1个单位 C．向右平移2个单位，向下平移1个单位

D．向右平移2个单位，向上平移1个单位

8．（3分）方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（ ） A．3

B．2

C．1

D．2

9．（3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣

（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩

AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）

A．16米 B．米 C．16米 D．米

10．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c．

其中含所有正确结论的选项是（ ）

A．①③

B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则

的值是 ．

12．（3分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），则△ABC的面积为 ．

13．（3分）已知两点P（1，1）、Q（1，﹣1），若点Q固定，点P绕点Q旋转使线段PQ∥x轴，则此时的点P的坐标是 ．

14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 ．

15．（3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D= ．

16．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）解下列方程： （1）（2x+3）2﹣25=0 （2）2x2﹣2

x+1=0．

18．（8分）已知二次函数y=1+6x﹣x2，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣

2，1）

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

20．（8分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．

（1）今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．（用含x的代数式表示）；

（2）求当x为何值时，今年的年销售利润为4.5万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．

21．（9分）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合） （1）求抛物线的解析式：

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，

且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求： （1）∠OBO′的度数； （2）OA+OB+OC的长．

23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0． （1）当k取何值方程有两个实数根．

（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为

．

24．（13分）已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）． （1）求m的取值范围；

（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；

（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．

2018学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C．

2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=6 【解答】解：A、x2﹣y=1是二元二次方程，不合题意； B、x2+2x﹣3=0是一元二次方程，符合题意； C、x2+=3不是整式方程，不合题意； D、x﹣5y=6是二元一次方程，不合题意， 故选：B．

3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（A．5

B．﹣5 C．3

D．﹣3

【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得 a=4，b=﹣1， a+b=3， 故选：C．

）

4．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（ ） A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2

D．最大值2

【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3）， 所以该抛物线有最大值﹣3． 故选：B．

5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴AC=A′C，

∴△ACA′是等腰直角三角形， ∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC ∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°， 故选：C．

6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ） A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15 【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0， ∴x2﹣8x=1，

∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17， 故选：B．

7．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y=x2+4x+3的图象能够与二次函数y=x2的图象重合，则平移方式为（ ）

A．向左平移2个单位，向下平移1个单位 B．向左平移2个单位，向上平移1个单位 C．向右平移2个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位

【解答】解：二次函数y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，将其向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到二次函数y=x2． 故选：D．

8．（3分）方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（ ） A．3

B．2

C．1

D．2

【解答】解：方程x2﹣6x+5=0较小的根为p=1，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q=1， 则p+q=2， 故选：B．

9．（3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣

（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩

AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）

A．16米 B．米 C．16米 D．米

【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米， ∴点C的横坐标为﹣10， 当x=﹣10时，y=﹣∴C（﹣10，﹣

），

m．

（x﹣80）2+16=﹣

（﹣10﹣80）2+16=﹣

，

∴桥面离水面的高度AC为故选：B．

10．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c．

其中含所有正确结论的选项是（ ）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误；

③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，

∵对称轴为直线x=1 ∴

=1，即b=﹣2a，

∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，

∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正确

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞； 故④正确 ⑤∵a＞0，

∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤正确； 故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴a+b=6，ab=﹣5， +=

=

=﹣．

的值是

．

故答案是：﹣．

12．（3分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），则△ABC的面积为 8 ．

【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3）， ∴点B（4，3）， ∴

，得

，

∴y=x2+bx+c=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴顶点到直线AB的距离为：3﹣（﹣1）=4， ∴△ABC的面积为：故答案为：8．

13．（3分）已知两点P（1，1）、Q（1，﹣1），若点Q固定，点P绕点Q旋转使线段PQ∥x轴，则此时的点P的坐标是 （﹣1，﹣1）或（3，﹣1） ． 【解答】解：∵线段PQ∥x轴，点Q（1，﹣1）， ∴点P的纵坐标为﹣1， ∵PQ=2，

∴点Q在点P的左边时，点P的横坐标为1+2=3， 此时点P的坐标为（3，﹣1），

点Q在点P的右边时，点P的横坐标为1﹣2=﹣1， 所以，点P的坐标为（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）；

14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 【解答】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x﹣1=15，

=15 ．

=8，

即=15，

=15

故答案为：

15．（3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=

．

【解答】解：∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°， ∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5， ∴△BCC′是等边三角形， ∴CC′=5，

∵∠A′C′B=∠C′BC=60°， ∴C′D∥BC，

∴DC′是△ABC的中位线， ∴DC′=BC=， 故答案为：．

16．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ．

【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴方程组

的解为

，

，

即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1． 故答案为x1=﹣2，x2=1．

三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）解下列方程： （1）（2x+3）2﹣25=0 （2）2x2﹣2

x+1=0．

【解答】解：（1）（2x+3）2=25， 2x+3=±5，

所以x 1=1，x 2=﹣4； （2）（

x﹣1）2=0，

x﹣1=0， 所以x1=x2=

18．（8分）已知二次函数y=1+6x﹣x2，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小． 【解答】解：∵a=﹣1＜0， ∴图象开口向下，

∵y=1+6x﹣x2=﹣（x﹣3）2+10，

∴对称轴是x=3，顶点坐标是（3，10）； ∵对称轴x=3，图象开口向下， ∴当x＞3时，y随x增大而减小．

．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1（1，﹣2）．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（3，4）．

20．（8分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．

（1）今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．（用含x的代数式表示）；

（2）求当x为何值时，今年的年销售利润为4.5万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．

【解答】解：（1）依题意得：10+10•0.7x=10+7x；12+12•0.5x=12+6x．

故答案是：10+7x；12+6x；

（2）依题意得：2（1+x）（2﹣x）=4.5 解得x=0.5．

答：当x为0.5时，今年的年销售利润为4.5万元．

21．（9分）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合） （1）求抛物线的解析式：

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在y=3x﹣3中，令y=0求得x=1，令x=0可得y=﹣3， ∴A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：解得

，

，

∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x=﹣1，

∵A、C关于对称轴对称，且A（1，0）， ∴MA=MC，C（﹣3，0）， ∴MB+MA=MB+MC，

∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，

∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵直线BC过点B（0，﹣3），C（﹣3，0）， ∴解得：

， ，

∴直线BC的解析式y=﹣x﹣3， 当x=﹣1时，y=﹣2， ∴M（﹣1，﹣2），

∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2）．

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求： （1）∠OBO′的度数； （2）OA+OB+OC的长．

【解答】解：（1）∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到O的对应点为点O′）， ∴∠OBO′=60°；

（2）∵∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，

∴BA=4， ∴BC=

=2

，

∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）， ∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=4，∠OBO′=∠ABA′=60°， ∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°， ∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60° ∴△BOO′为等边三角形，

∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°， 而∠BOC=120°，

∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°， ∴点O′在直线CO上， 同理可得点O、O′、A′共线， ∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA， ∵∠CBA′=90°， ∴A′C=

即OA+OB+OC=2

23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0． （1）当k取何值方程有两个实数根．

（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为【解答】解：（1）∵△=[﹣（k+1）]2﹣4×（k2+1）=2k﹣3≥0， ∴k≥，

（2）设方程的两根为x1、x2 ∴x12+x22=5，

∵x1+x2=k+1，x1x2=k2+1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k+1）2﹣2×（k2+1）=5，解得k1=﹣6，k2=2， ∵x1+x2=k+1＞0， ∴k＞﹣1，

=2．

，

．

∴k=2．

24．（13分）已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）． （1）求m的取值范围；

（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；

（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ∴4m＜0， ∴m＜0；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=4m， ∵x1＜0，x2＞0， 而|x1|+|x2|=3， ∴﹣x1+x2=3，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=9，

即4（m+1）2﹣16m=9，解得m1=（舍去），m2=﹣， ∴m=﹣，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2； （3）抛物线的对称轴为直线x=﹣， 过P点作PH⊥x轴于H，如图， 设P（x，x2+x﹣2）（x≥﹣），

∵△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，

∴PH=AH， ∴|x2+x﹣2|=x+2，

当x2+x﹣2=x+2，解得x1=﹣2（舍去），x2=2，此时P点坐标为（2，4）； 当x2+x﹣2=﹣x﹣2，解得x1=﹣2，x2=0（舍去），此时P点坐标为（0，﹣2）， 即满足条件的P点坐标为（2，4）或（0，﹣2）．

【模型五】

垂直弦模型：图形特征：

赠送初中数学几何模型

运用举例：

1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.

(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD； (2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.

AADBEOODBCC

2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。 （1）求AB l＋CD l的值；

（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；

DAPOC︵︵B

3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．

︵︵

(1)如图1，设⊙O的半径是r，若ABl＋CDl＝πr，求证：AC⊥BD；

(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．

DAPCDAPMONOGECHFB

B

图1 图2

4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．

(1)求证：BD ＝BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．

CG︵︵MAEDOB

5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB组成⊙O的一条折弦，C

是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.

（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间

存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.

CCPFEDPAOEBABEOBAOD

D

C

图1 图2 图3

6.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD于E，F为AB中点。 （1）如图1，若连接FE并延长交DC于H，求证：FH⊥DC；

（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

DCDHGAECEOABFOF

B

图1 图2