中考专题之概率初步与统计初步-教师版

中考专题4-数据整理与概率统计 知识精要 一、概率初步： 1.确定事件和随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象。如室温低于-5℃时水结成冰，太阳每天东升西落。 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象。如：某人把石头孵成了小鸡。 确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，也称为不确定事件。如：明天会下雨。 2．事件发生的可能性与概率 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 概率：用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率（probability）。 m事件A的概率：在大量地重复进行同一试验时，事件A发生的频率n总是接近一个常数，在它的附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P（A）。 事件A的概率记作P（A），用V表示不可能事件，U表示必然事件，则P（V）=0，P（U）=1，对于随机事件A，可知0＜P（A）＜1 3.频数与频率 频数：我们把事件中每个对象出现的次数称为频数。 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值。 4.等可能事件 若一项可以反复进行的试验具有以下特点：（1）试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；（2）任何两个结果不可能同时出现。这样的试验叫做等可能试验。 5.列表或画树状图求概率 二、统计初步 1. 数据整理与表示 常用的统计图有：条形图—有利于比较数据的差异 折线图—直观地反映数据变化的趋势 扇形图—凸显了由数据所体现出来的部分与整体的关系。 2.总体和样本： 在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体（population），其中每一考察对象叫做个体（individual）。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本(sample)，样本中个体的数目叫做样本容量。具有代表性的样本叫做随机样本（random sample） 创新三维学习法让您全面发展

~ 1 ~

3. 基本的统计量 1）反映数据集中趋势的特征数 1、平均数 （1）x1,x2,x3,,xn的平均数，x1(x1x2xn) ，反映这组数据的平均水平。 n （2）加权平均数：如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，……，xk出现fk次（这里f1f2fkn），则x （3）平均数的简化计算： 1(x1f1x2f2xkfk) n 当一组数据x1,x2,x3,,xn中各数据的数值较大，并且都与常数a接近时，设x1a,x2a,x3a,,xna的平均数为x'则：xx'a。 2、中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。 3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数（mode）。 一组数据的众数可能不止一个。 2）反映数据波动大小的特征数： 1．方差：一组数据偏离平均数的程度。，方差越小平均数越有代表性。 (x1x)2(x2x)2(xnx)2 （l）x1,x2,x3,,xn的方差， S n22xx2xnx（x1,x2,x3,,xn为较小的整数时用这个公式要比较 （2）简化计算公式：S1n2222方便） 22 （3）记x1,x2,x3,,xn的方差为S，设a为常数，x1a,x2a,x3a,,xna的方差为S`，则S2=S`2。 注：当x1,x2,x3,,xn各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便。 2．标准差：方差（S）的算术平方根叫做标准差（S）。注：通常由方差求标准差。 3. 极差：一组数据中最大值与最小值之间的差值。 4. 频率分布—表示一组数据分布的量 1）有关概念 创新三维学习法让您全面发展

2~ 2 ~

（1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5－12组。 （2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据总数n。 （3）频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为1。 （4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。 （5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。 每个小长方形的面积等于该组的频率。 所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。 2）、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是： （1）收集原始数据，计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频数分布表；（5）绘频率分布直方图。 热身练习 1、某班的5位同学在向“救助贫困学生”捐款活动中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是_______，中位数是_________，平均数是_______．8，4，5． 2、n个数据的和为56，平均数为8，则n＝___7_______． 3、数据2，－1，0，－3，－2，3，1的样本标准差为___2__________． 4、已知一个样本含20个数据： 68 69 70 66 68 65 65 69 62 67 66 65 67 63 65 61 65 66． 在列频率分布表时，如果取组距为2，那么应分________组，.5～66.5这一小组的频率为________，上述样本的容量是____________．5， 0.4， 20． 5、在对100个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于___100，各组的频率之和等于_____1___． 6、要了解某市初中毕业会考的数学成绩情况，从中抽查了1000名学生的数学成绩，样本是（ D ） （A）此城市所有参加毕业会考的学生 （B）此城市所有参加毕业会考的学生的数学成绩 （C）被抽查的1 000名学生 （D）被抽查的1 000名学生的数学成绩 7、如果x1与x2的平均数是6，那么x1＋1与x2＋3的平均数是 （ D ） 创新三维学习法让您全面发展

~ 3 ~

（A）4 （B）5 （C）6 （D）8 8、甲、乙两个样本的方差分别是＝6.06，＝14.31，由此可反映……（B ） （A）样本甲的波动比样本乙大（B）样本甲的波动比样本乙小 （C）样本甲和样本乙的波动大小一样（D）样本甲和样本乙的波动大小关系，不能确定 9、在公式s＝2［（x1－）＋（x2－）＋…＋（xn－）］中，符号S，n，依次表示样本2222的……………………………………………………………………（ A ） （A）方差，容量，平均数 （B）容量，方差，平均数 （C）平均数，容量，方差 （D）方差，平均数，容量 10、在引体向上项目中，某校初三100名男生考试成绩如下列所示： 成绩（单位：次） 10 9 20 8 15 7 15 6 12 5 5 4 2 3 1 人 数 30 （1）分别求这些男生成绩的众数、中位数与平均数； （2）规定8次以上（含8次）为优秀，这所学校男生此项目考试成绩的优秀率是多少？ （1）这些男生成绩的众数为10（次），中位数为第50个数据8与第51个数据9的平均数，即8.5（次） 平均数＝（100×30＋9×20＋8×15＋7×15＋6×12＋5×5＋4×2＋3×1） ＝8.13（次）． （2）优秀率＝精解名题 一、概率初步问题 ×100 %＝65 %． 例1. 下列事件中是必然事件的是（ B ） A. 打开电视机，正在播广告. B. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球. C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上. D. 今年10月1日 ，厦门市的天气一定是晴天. 例2. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上 的概率是（ A ） A、 B、 C、 D、1 创新三维学习法让您全面发展

141234~ 4 ~

例3 ．从一副扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（ D ） A、可能发生 B、不可能发生 C、很有可能发生 D、必然发生 例4. 下列说法正确的是( C ) A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生；B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生； C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；D、不可能事件在一次实验中也可能发生 例5. 同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（ D ） A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 二、求平均数与众数，中位数 1、一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（ D A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 ） D．6.5，7 D. 点数之和为13 2、某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ A．中位数 B．众数 C．平均数 A ） D．极差 3、在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6， 9.9， 9.3， 9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是 （ D） A．9.2 B．9.3 C．9.4 D．9.5 4、为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示 ，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ D ）． A、25.6 26 B、26 25.5 C、26 26 D、25.5 25.5 5、数据1，2，2，3，5的众数是（ B ） A．1 B．2 C．3 D．5 6、某学习小组7个男同学的身高（单位：米）为：1.66、1.65、1.72、1.58、1.、1.66、1.70，那么这组数据的众数为（ B ） A．1.65 B．1.66 C．1.67 D．1.70 7、有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（ B ） 创新三维学习法让您全面发展

~ 5 ~

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8、为参加2010年“上海市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众数、中位数依次是（ A ） A．8.5，8.5 B．8.5，9 C．8.5，8.75 D．8.，9 9、在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额（单位：元）分别为：6， 3，6，5，5，6，9．这组数据的中位数和众数分别是（ C ） A．5，5 B．6，5 C．6，6 D．5，6 三、数据波动状况-方差与标准差 1、我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（ B ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数 【关键词】方差和标准差是反映数据稳定程度的统计量 2、我市统计局发布的统计公报显示，2004年到2008年，我市GDP增长率分别为9.6%、10.2%、10.4%、10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的 D 比较小. A．中位数 B．平均数 3、某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖）． 日期 最低气温 被遮盖的两个数据依次是 A．3℃，2 B．3℃，一 1℃ 二 －1℃ 三 2℃ 四 0℃ 五 ■ 方差 ■ 平均气温 1℃ C．众数 D．方差 65 C．2℃，2 D．2℃，85 【关键词】平均数与方差 【答案】A 四、全面调查与抽样调查，样本容量 1、要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是（D ） A．调查全体女生 B．调查全体男生 C．调查九年级全体学生 D．调查七、八、九年级各100名学生 2、下列调查适合作普查的是（ D ） 创新三维学习法让您全面发展

~ 6 ~

A．了解在校大学生的主要娱乐方式 B．了解宁波市居民对废电池的处理情况 C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命 D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查 3、下列调查适合作抽样调查的是 （A） A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率 B.了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况 C.了解某班每个学生家庭电脑的数量 D.“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查 4、要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（C ） A．个体 B．总体 C．样本容量 D．总体的一个样本 5、要调查某校九年级550名学生周日的睡眠时间，下列调查对象选取最合适的是（ D ） A．选取该校一个班级的学生 B．选取该校50名男生 C．选取该校50名女生 D．随机选取该校50名九年级学生 五、统计图、频率，直方图，折线图，扇形图（饼状图），条形图 1、要反映上海市一天内气温的变化情况宜采用（ D ） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．频数分布直方图 D．折线统计图 2、如图是某市某一天内的气温变化图，根据图4，下列说法中错误的是（ D ） ．．（A）这一天中最高气温是24℃（B）这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ （C）这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 （D）这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 3、某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ A ） 创新三维学习法让您全面发展 ~ 7 ~

人数 12 10 5 0 15 20 25 30 35 次数 A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4 22s乙0.60，4、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为s甲0.56，22s丙0.50，s丁0.45，则成绩最稳定的是（D ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5、 “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，上海市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额的众数．．和中位数分别是（ C ） A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30 6、某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ A ） A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4 人数 12 10 5 0 15 20 25 30 35 次数 六、 综合解答题： 1、为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，根据老年人、成年人、青少年各年龄段实际人口的比例3∶5∶2，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图． 图二：成年人喜爱的节目统计图 人数/人 图一：观众喜爱的节目统计图 青少年 100 9老年人 866新闻 443B 108° 动2A 娱乐 画 0 新闻 娱乐 动画 节目 （1）上面所用的调查方法是___抽样调查______（填“全面调查”或“抽样调查”）； 创新三维学习法让您全面发展

~ 8 ~

（2）写出折线统计图中A、B所代表的值； A：_____________；B：_____________；A20，B40 （3）求该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人数． 300000510830%15000030%45000 1500003603522、如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为 ．【关键词】扇形统计图 【答案】72° 3、某校为了举办“庆祝建国60周年”的活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图3所示，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 人． 人数 C B 35% A：文化演出 B：运动会 C：演讲比赛 160 A 40% 0 （图3） A B C 活动形式 【关键词】扇形图及条形图 【答案】100 4、2009年某市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等6项中任选一项．某校九年级共有200名女生在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形统计图．（另附：九年级女生立定跳远的计分标准） 10名女生立定跳远距离条形统计图 距离（cm） 210 196 199 205 201 200 200 197 1 183 九年级女生立定跳远计分标准 180 174 150 成绩（cm） 197 1 181 173 … 120 分值（分） 10 9 8 7 … 90 60 （注：不到上限，则按下限计分，满分为10分） 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 女生序号 创新三维学习法让您全面发展

~ 9 ~

（1）求这10名女生在本次测试中，立定跳远距离的极差和中位数，立定跳远得分的众数和平均数． ．．．．（2）请你估计该校选择立定跳远的200名女生中得满分的人数． 【关键词】众数和平均数 【答案】（1）立定跳远距离的极差20517431(cm)．立定跳远距离的中位数199197198(cm)． 根2据计分标准，这10名女生的跳远距离得分分值分别是： 7，9，10，10，10，8，10，10，9．所以立定跳远得分的众数是10（分），立定跳远得分的平均数是9.3（分）． （2）因为10名女生中有6名得满分，所以估计200名女生中得满分的人数是2006． 120（人）10 5、某中学组织全校4 000名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图6的频数分布表和频数分布直方图（不完整）． 频数 分组 频数 频率 160 50.5~60.5 0.05 140 120 60.5~70.5 100 70.5~80.5 80 80 60 0.26 80.5~90.5 40 90.5~100.5 148 0.37 20 0 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 成绩/分 1 合计 图6 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布表；（2）补全频数分布直方图； （3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？（80.5~90.5） （4）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校4 000名学生中约有多少名获奖？ （1480人）． 分组 频数 频率 【答案】解：（1） 50.5~60.5 20 60.5~70.5 48 0.12 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5 合计 104 400 0.2 6、（08年上海）某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2004至2007年每年的旅游收入及入境旅游人数（其中缺少2006年入境旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图9，图10． 旅游收入图 年旅游收入 （亿元） 90 70 创新三维学习法让您全面发展 50 30 10 ~ 10 ~

根据上述信息，回答下列问题： （1）该地区2004至2007年四年的年旅游收入的平均数是 45 亿元；（2）据了解，该地区06年、07年入境旅游人数的年增长率相同，那么2006年入境旅游人数是 220 万； （3）根据第（2）小题中的信息，把图10补画完整． 7、(2009年上海市)为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）． 次数 人数 0 1 1 1 2 2 3 2 4 3 5 4 6 2 7 2 8 2 9 0 10 1 表一 八年级 九年级 25% 30% 七年级 25% 六年级 根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 20% ； （2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6人 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 35% ； （4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 5次 ． 8、（10上海）某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的数据整理后绘成图6. （1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及2瓶以上饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的__图5 6100%60%_______. 10购买饮料总数20万瓶2瓶 总人数10万人（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？出 口 B C 创新三维学习法让您全面发展

~ 11 ~

（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料人均购买饮料数量（瓶）3 2 的数量如表一所示 若C出口的被调查人数比B出口的被表 一 调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游人数（万人） 客人数为多少万？ 3 2.5 2 1.51 01234饮料数量（瓶） 图6 设B出口人数为x万人，则C出口人数为（x+2）万人，则有3x+2(x+2)=49，解之得x=9 所以设B出口游客人数为9万人。

创新三维学习法让您全面发展

~ 12 ~