数学建模的层次分析法

第 23 卷 第 3 期 甘 肃 工 业 大 学 学 报 1 99 7 年 9 月 J ou r n al o f Gan s u U n iver s it y of T ech n ol o gy V o l. 23 N o . 3

S ep t . 1 99 7

数学建模的层次分析法

陈 义 华

( 甘肃工业大学技 术工程学院, 兰州 7 30 050 )

摘 要 阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题, 运用层次分析法 建立数学模型的一般步骤和计算方法, 并通过实例分析, 说明了层次分析法在决策中 的有效性.

关键词 数学模型 层次分析法 决策分析 排序 数学建模竞赛 分类号 O 157. 5

层次分析法( T h e A naly tic Hierarch y Pro cess , 简称 A HP ) 是美国著名运筹学家、匹兹堡大 学教授 T . L . S aat y 于 70 年代中期提出的一种系统分析方法, 是一种实用的多准则决策方法. 该法能够定量与定性相结合, 将人的主观判断用数量形式表达和处理, 从本质上讲是一种思维 方式, 并具有高度的逻辑性、系统性、简洁性和实用性等优点. A HP 在工程技术、能源系统分 析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用.

本文阐述了 A HP 的基本思想和步骤、计算问题, 针对天车与冶炼炉的作业调度问题, 利 用 A HP 对天车台数进行了最优方案的选择.

1 A H P 建模的基本思想和步骤[ 1～3]

A HP 的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部的递阶层次 结构, 通过两两比较因素( 或目标、准则、方案) 的相对重要性, 给出相应的比例标度; 构造上层 某要素对下层相关元素的判断矩阵, 以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列. A HP 的 核心问题是排序问题, 包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理.

运用 A H P 解决实际问题, 大体可以分为 4 个基本步骤.

1) 建立递阶层次结构模型

将问题所包含的因素按属性不同而分层, 可以划分为最高层、中间层和最低层. 同一层次 元素作为准则, 对下一层次的某些元素起支配作用, 同时它又受上一层次元素的支配, 这种从 上至下的支配关系形成一个递阶层次.

最高层通常只有一个元素, 它是问题的预定目标, 表示解决问题的目的, 因此也称目标层. 中间层为实现总目标而采取的措施、方案和, 它可以由若干个层次组成, 包括所需考 虑的准则、子准则, 因此也称为准则层. 最低层为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 用于解决问题的各种途径和方法, 也称为方案层, 见图 1.

收稿日期: 19 96 -05 -1 6

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·93 ·

当某个 层次包含因素 较多时( 如 超 过 9 个) , 可将 该层次 划分 为若 干 层.

2) 构造两两比较判断矩阵 设 要比较 n 个 因素 X = { x 1, x 2 , ⋯, x n} 对目标 Z 的影响, 确定它们 在 Z 中所占的比重. 每次取两个因素 x i 和 x j , 以 aij 表示 x i 和 x j 对 Z 的影 响 之比, 得到两两比较判断矩阵:

A = ( aij ) n×n ( 1)

1 其中, aij > 0, a j i = a ( i ≠ j ) ij

a ij = 1 ( i , j = 1, 2, ⋯, n) ( 2) 使式( 2 ) 成立的矩阵称为正负反矩阵.

图 1 递阶层次结构 示意图

确定 aij 采用 1 ～9 及其倒数作为

标度的标度方法( 见表 1 ) . 如果介于上述相邻判断中间, aij 取值分别为 2, 4 , 6, 8 .

3) 层次单排序及其一致性检验 表 1 比较尺度的取值方法 ( 1) 层次单排序. 先解出判断矩阵 A 的最大 特征值 max, 再利用:

AW= m axW ( 3) 因素相对重要性的排序权值.

( 2 ) 一致性检验. 首先计算 A 的一致性指标 CI , 定义:

max - n CI = n - 1 ( 4)

式中, n 为 A 的阶数. 当 CI = 0, 即 max= n 时[ 1] , A 具有完全一致性. CI 愈大, A 的一致性愈差.

x i / x j 相等 较强 a ij

1

3

强 5

很强 绝对强 7

9

解出 m ax 所对应的特征向量 W, W 经过标准化后, 即为同一层次中相应元素对于上一层次中某

C I

, 称 CR 为随机性一致性比率. 当 RI

CR< 0. 1 0 时, A 具有满意的一致性, 否则要对 A 重新调整, 直到具有满意的一致性. 这计算出 的 max所对应的特征向量 W, 经过标准化后, 才可以作为层次单排序的权值.

表 2 给出了对于 1～9 阶判断矩阵的 RI 值.

表 2 随机性指标 RI 值

将 CI 与平均随机一致性指标 R I 进行比较, 令 CR =

阶数 n R I 1 0 2 0 3 0. 58 4 0 . 9 0 5 1. 12 6 1 . 2 4 7 1. 32 8 1. 4 1 9 1 . 45 4) 层次总排序及其一致性检验

利用同一层次中所有层次单排序结果, 计算针对上一层次而言本层次所有元素重要性的 权值, 这就是层次总排序. 设上一层次所有元素 A 1 , A 2, ⋯, A m 的总排序已完成, 其权值分别为 a1 , a2 , ⋯, am 与 aj 对应的本层次元素 B1 , B2 , ⋯, Bn 单排序的结果为 b1j , b2j , ⋯, bnj ( 当 Bk 与 A j

·94 ·

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n

n

无关时, bkj = 0 ) , B 层总排序权值由表 3 给出∑∑aj bij = 1, 总排序权值仍为标准化向量. i= 1 j = 1

表 3 B 层总排序权值

层次 B 1 B 2

A 1 a 1 b1 1 b2 1 ⋯ bn 1

A 2 a2 b12 b22 ⋯ bn2

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

A m a m b1 m b2 m ⋯ bn m

层次总 排序权值

m ∑∑∑m

j = 1

m

a j b1 j a j b2 j

j = 1

⋯ B n

j = 1

a j bn j

层次总排序一致性指标为

m

CI = ∑aj CI j

j = 1

( 5)

式中, CI j 为与 aj 对应的 B 层次中判断矩阵的一致性指标.

层次总排序随机一致性指标为

m

RI = ∑aj RI j

j = 1

( 6)

式中, RI j 为与 a j 对应的 B 层次中判断矩阵的随机一致性指标. 层次总排序随机一致性比率为

CI CR =

R I

当 CR≤0. 10 时, 认为总排序的计算结果有满意一致性.

( 7)

2 A H P 的计算方法

特征根方法是 A HP 中比较成熟并得到广泛应用的方法, 其理论依据是正矩阵的 Perron 定理[ 3] . 采用数值计算中的幂法求正矩阵 A 的 m ax 及特征向量, 其基本原理如下.

设正矩阵 A 的特征根为 i 满足 1 > 2 ≥ 3 ≥⋯ n , 并假设 A 有线性无关的特征向 量 v 1 , v 2 , ⋯, v n. 满足:

Av i = iv i

任取 n 维向量 x , 并设 x 可表示为

n

x = ∑Civ

i

i= 1

式中, C1, C2 , ⋯, Cn 为常数. 用 A 进行迭代, 得:

n

n

2

Ax = C2v 2 ∑CiAv i = ∑ iCiv i = 1 ( C1v 1 + i= 1

n + ⋯ + Cnv n

1

继续迭代, 当 k 充分大时有: i= 1

k

k

k+ 1

1

1

A x ≈ 1 C1v 1 , k+ 1k

故 Ax 或 Ax 的方向就是 v A

x ≈ C1v 1

k+ 1

的方向, 并且

1

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( A k + 1x ) i

≈ ( i = 1 , 2, ⋯, n)1

( A k x ) i

特别地, 当( A x ) j = 1 时, 1 ≈( A x ) j .

用幂法求正矩阵 A 的最大特征值及相应特征向量的步骤如下:

( 0) ( 0) ( 0) ( 0) T

1) 任取初始正向量 x = { x , x , ⋯, x ) , 允许误差 , 令 k= 0, 计算 m 0= ‖=1 2 n

( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) T

i } , 及 y = ( y 1 , y 2 , ⋯, y n ) , 并满足:max { x i

·95 ·

kk+ 1x( 0) ‖∞ ( 0) 1 ( 0) ( 0) y = m0x ( y的最大分量为 1)

2) 迭代计算

x

( k+ 1)

(k)

= Ay , mk+ 1= max { x i

( k+ 1)

i

} , y

( k+ 1) x =

mk+ 1

( k+ 1)

3) 判断 mk+ 1 - mk < , 成立否? 若成立进行下一步, 否则令 k+ 1 →k 转第 2) 步.

4) 将 y ( k+ 1) 标准化, 得:

y ( y+ 1) , m ax ≈mk+ 1

W= n ∑y i ( k+ 1)

i= 1

m ax和 W 为所要求的最大特征值和相应的特征向量. 再利用式( 4 ～7) 便可进行一致性检 验, 从而知道总排序权值, 进行方案选择.

3 A H P 建模实例

19 95 年全国大学生数学模型竞赛的“天车与冶炼炉的作业调度[ 4] ”问题是一道从实际工 业课题提炼、简化出来的数学问题, 而且这种多车多炉的优化调度问题是每一个钢铁厂都普遍 存在的生产问题. 本文利用层次分析法对使用 1～5 台天车选择最优方案.

天 车 与 冶 炼 炉 作业调度的要 求为: 1) 成品钢产量高; 2) 各 台 天 车的 作 业 率 ( 天车作业时间所占 比 例) 尽量 均 衡 ( 考 虑 到 设 备及 人 员 安 全等因素, 一般天车 作 业 率 不 超 过 70 % ) ; 3) 绝 不允 许 出 现 天 车相 撞 等 事

故; 4) 调度规则尽量 简明, 以 利于现场人

图 2 递阶层次结构图

员使用. 在不超过 5 台天车的条件下进行方案择优.

为使问题简化, 从天车作业率不超过 70 % 的要求, 根据赛题所作假设[ 4] 不难判断出至少

·96 ·

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有 3 台天车才能完成基本工序. 因此只需对采用 3 台天车方案、4 台天车方案和 5 台天车方案 这 3 种方案进行选优.

建模 根据各类因素之间的隶属关系把它们分为 3 个层次, 并建立递阶层次结构模型. 目标层 A : 合理选择天车台数.

准则层 C: 总产量 C1 , 天车利用率 C2, 调度简便性 C3 , 天车作业均衡性 C4, 天车作业安全 性 C5.

方案层 P : 3 台天车 P1 , 4 台天车 P2 , 5 台天车 P 3.

根据各因素的重要性关系构造判断矩阵, 并利用 A HP 软件[ 3] 进行计算, 所得判断矩阵及 相应计算结果如下:

( 1 ) 判断矩阵 A - C

( 2) 判断矩阵 C1 - P

C 5

W

A C1 C 2 C 3 C 4

C 1 P 1 P 2 P 3 W

C1 1 1 4 4 3 0. 34 7 2 6

P 1 P 2

1 1/ 2

2 1

5 3 1

0. 581 55 0. 309 00

0. 109 45C2 1 1 3 3 4 0. 33 2 0 9 C3 1 / 4 1/ 3 1 3 1 / 2 0. 11 7 6 3 C4 1 / 4 1/ 3 1 / 3 1 1 0. 08 2 9 1 C5 1 / 3 1/ 4 2 1 1 0. 12 0 1 1

注: ma x = 5. 30 4, CR = 0. 06 8< 0 . 10 .

P 3

1/ 5 1/ 3

注: ma x = 3. 00 4, C I 1 = 0. 0 02 ,

C R = 0 . 0 03 < 0. 10 .

( 3 ) 判断矩阵 C2- P

( 4) 判断矩阵 C3 - P

W C 3 P 1 P 2 P 3 W C 2 P 1 P 1 P 2 P 3 1 3 7

1/ 3 1/ 7 0. 087 94 1 1/ 3 0. 242

P 3

P 2 3 1 0. 669 42 P 1 P 2 P 3 1 1/ 3 1/ 5 3 1 1 5 1 1 0. 658 65 0. 185 17 0. 156 18

注: ma x = 3. 00 7, CI 2 = 0. 00 35,

C R = 0. 006 < 0. 10 .

注: ma x = 3. 02 9, C I 3 = 0. 0 14 5,

C R = 0 . 0 25 < 0. 10 .

( 5 ) 判断矩阵 C4- P

( 6) 判断矩阵 C5 - P

4 2 1

C 4 P 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3

1 1/ 2 2 1

0. 571 43 0. 285 71

0. 142 86

W C 5 P 1 P 2 P 3 W 1/ 4 1/ 2

P 1 P 2 P 3 1 3 1/ 3 1 1/ 7 1/ 3 7

3 1 0. 669 42 0. 242 0. 087 94 注: ma x = 3. 00 0, CI 4 = 0,

C R = 0. 000 < 0. 10 .

注: ma x = 3. 00 7, C I 5 = 0. 0 03 5,

C R = 0 . 0 06 < 0. 10 .

层次总排序及一致性检验, 其结果如下:

层次 P 1 P 2 P 3

C 1 0 . 3 47 26 0 . 5 81 55 0 . 3 09 00 0 . 1 09 45

C 2 0 . 3 32 09 0 . 0 87 94 0 . 2 42 - . 66 9 42

C 3 0 . 1 17 63 0 . 6 58 65 0 . 1 85 17 0 . 1 56 18

C 4 0. 082 91 0. 571 43 0. 285 71 0 . 1 42 28 6

C 5 0. 12 0 1 1 0. 66 9 4 2 0. 24 2 6 4 0. 08 7 9 4

层次 P 总 排序权重 0. 43 6 4 1 0. 26 2 4 9 0. 30 1 1 0

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·97 ·

5

层次总排序一致性指标: CI = ∑aj CI j = 3. 9 82 855×10. j = 1

- 3

5

层次总排序随机一致性指标: RI = ∑a j RI j = 0 . 58. j = 1

C I = 0. 006 8< 0. 10. RI

知 层 次总 排序 的计 算 结果 具有 满意 的一 致性. 层 次 P 总 排 序向 量 W = ( 0. 43 6 41, 层次总排序随机一致性比率: CR =

T

0. 262 49, 0. 301 10 ) , 权重最大的一项即为最优项, 最后结果( 由优到次) :

3 台天车→5 台天车→4 台天车

故应选择 3 台天车的作业调度方案.

4 结论

1) A HP 把研究对象作为一个系统, 按照分解、比较判断和综合的思维方式进行决策, 是 系统分析的重要工具.

2) A HP 把定性和定量方法相结合, 能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问 题, 应用范围很广. 并且这种方法将决策者与决策分析者相互沟通, 决策者甚至也可以直接运 用它, 因此增加了决策的有效性.

3) A HP 的基本原理、步骤及计算非常简便, 结果简单明确, 易于被决策者了解和掌握. 4) A HP 从建立层次结构模型到构造两两比较判断矩阵, 人的主观因素的作用较大, 采取 专家群体判断的办法是克服这一局限性的有效途径. 只要对系统的分析及问题的因素了解得 愈透彻, 愈能得到合理的判断和正确的排序结果.

参 考 文 献

1 陈义华. 数学模型. 重庆: 重庆大学出版社, 19 95 . 1 17 ～124 2 姜启源. 数学模型. 北京: 高等教育出版社, 19 93 . 3 05 ～335

3 王莲芬, 许树柏. 层次分析法引论. 北京: 中国人民大学出版社, 1 99 0. 10 3～1 08 , 3 50～3 84 4 姜启源. 1 99 5 年全国大学生数学建模竞赛 . 数学的实践与认识, 19 96, 26 ( 1 ) : 1～3

The anal ytic hierarchy process for mathemati cal model ling

Chen Y ih ua

( T ech n ical E n gin eer in g C o ll ege , Gan s u U n iv . of T ech . , L an z h ou 7 300 50 )

Abst ract T h e main id ea, meth od olog y, an d k ern el of t h e an alyt ic hierarchy pr ocess f or

mat h em at ical m odellin g are described . T h e g en eral mod el lin g p rocedu re an d cal cu lation met ho d us ing t h e analy t ic h ierarch y pr ocess ar e also dis cu ss ed . Its ef fect iven es s in t h e deci- sion m akin g is illu s trat ed by a practical exam ple.

Key words mat hemat ical m odellin g; t h e an alyt ic h ier arch y p roces s; d ecision mak ing anal-

ys is ; orderin g; mat h em at ical co nt est in m odelin g