宁强县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

宁强县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065 C、56125 D、 60125

2． 与椭圆A．C．

3． 把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜对称，则φ的值为（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

）的图象向左平移

个单位，得到函数y=f（x）的图象关于直线x=

B． D．

有公共焦点，且离心率

的双曲线方程为（ ）

4． 设集合,,则( )

A BCD

PQ5． 已知曲线C:y24x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于P,Q两点，且FP2FQ0，则O的面积等于（ ） A．22 B．32 C．6． 已知an=

3232 D． 24

*

（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30

7． 若关于x的不等式|x1||x2|m70的解集为R，则参数m的取值范围为（ ） A．(4,) B．[4,) C．(,4) D．(,4]

【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的

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应用，属于中等难度.

8． 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，公比q=2，Sk+2﹣Sk=48，则k等于（ ） A．7 （ ） A．90种 B．180种

C．270种

D．0种

10．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）

B．6

C．5

D．4

9． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有

A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2

11．函数f(x)在定义域R上的导函数是f'(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f'(x)0，设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb

12．已知命题p：∃x∈R，cosx≥a，下列a的取值能使“￢p”是真命题的是（ ） A．﹣1 B．0

C．1

D．2

二、填空题

13．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ． 14．若 与共线，则y= ． 15．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxex2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数

x0，使得fx00，则a的取值范围是

16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为 ．

17．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1； ③若实数x，y满足x2+y2=1，则

的最大值为

；

④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且

=5，则△ABC的形状是直角三角形．

b18．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则的值为 ▲ ．

a•

三、解答题

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB的中点．

，E，F分别是A1C1，

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（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1； （II）求证：EF∥平面B1BCC1； （III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．

20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．

（Ⅰ）求出f（5）；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．

21．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB为

2，半3第 3 页，共 18 页

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径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧

AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD//AO，设AOC．

（1）用表示CD的长度，并写出的取值范围； （2）当为何值时，观光道路最长？

22．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C,AC边长为BC边长的aa1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. 试用和a表示S；

（2）若恰好当60时，S取得最大值，求a的值.

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23．（本题满分15分）

x2y2x22设点P是椭圆C1:过点P作椭圆的切线，与椭圆C2:221(t1)交于A，y1上任意一点，

4tt4B两点．

（1）求证：PAPB；

（2）OAB的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．

24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．

（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

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宁强县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

S底10,S后10,S右10,S左65，

因此该几何体表面积S3065，故选B． 2． 【答案】 A

【解析】解：由于椭圆的标准方程为：

222

则c=13﹣12=25

则c=5

又∵双曲线的离心率∴a=4，b=3

又因为且椭圆的焦点在x轴上， ∴双曲线的方程为：故选A

【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，

22

若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx+ny=1（m＞0，n＞0，m≠n），双22

曲线方程可设为mx﹣ny=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．

3． 【答案】B

【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜得到函数y=f（x）=cos[2（x+则2×

+φ+

）的图象向左平移个单位，

对称，

）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=

，

=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣

故选：B．

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4． 【答案】C

【解析】送分题,直接考察补集的概念,5． 【答案】C 【解析】

,故选C。

∴(x11,y1)2(x21,y2)(0,0)， ∴y12y20③， 联立①②③可得m∴y1y2∴S2

1， 8(y1y2)24y1y232．

132OFy1y2． 22y1y24y122y122（由，得或）

y12y20y22y22考点：抛物线的性质． 6． 【答案】C 【解析】解：an=

图象如图， ∵9＜

＜10．

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C． 是基础题．

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，

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7． 【答案】A

8． 【答案】D

，

【解析】解：由题意，Sk+2﹣Sk=

kk

即3×2=48，2=16，

∴k=4． 故选：D．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．

9． 【答案】D

1212

【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C3C6C2C4=0种． 故选D．

10．【答案】D

【解析】解：由题意知圆半径r=

2

∴圆的方程为=2．

，

故选：D．

【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．

11．【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

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则其图象关于点(m,n)对称． 12．【答案】D

【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1． 下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2． 故选；D．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，

2

∵方程x+ax+a=0 有两个不等实根， 2

∴a﹣4a＞0，

解得a＞4， ∵a是正整数， ∴a=5，6，

即满足条件的事件有2种结果， ∴所求的概率是=， 故答案为：

【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．

14．【答案】 ﹣6 ．

【解析】解：若解得y=﹣6 故答案为：﹣6

与

共线，则2y﹣3×（﹣4）=0

【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．

15．【答案】

,由题设可知存在唯一的整数x0，使得

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【解析】试题分析:设

在直线

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的下方.因为

当时,

时,

,函数

,故当

,故当时,

单调递增;故且

,函数单调递减; ,而当

,解之得,应填答案

3,1. 2e考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．

【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0，使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数x0，使得据题设建立不等式组求出解之得

在直线

.

的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

16．【答案】 ．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，

222222

∴由正弦定理得a=b+c﹣bc，即：b+c﹣a=bc， 222

∴由余弦定理可得b=a+c﹣2accosB，

∴cosA=∵bc=4， ∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

==，A=60°．可得：sinA=，

=．

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

17．【答案】 ：①②③

3

【解析】解：对于①函数y=2x﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确； 对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；

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22

对于③若实数x，y满足x+y=1，则

=

22

，可以看作是圆x+y=1上的点与点（﹣2，0）连线

的斜率，其最大值为，③正确；

对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角， 即π﹣A﹣B＜则cosB＜cos（

，即A+B＞﹣A），

，B＞

﹣A，

即cosB＜sinA，故④不正确．

对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD， ∵由则即则又BC=5 则有

由余弦定理可得cosC＜0， 即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确． 故答案为：①②③

118．【答案】

2

=

，

|，

考

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点：函数极值

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.

（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

三、解答题

19．【答案】 所以，BB1⊥BC．

，AB⊥BC

．

．

【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B， 所以，BC⊥平面A1ABB1． 因为BC⊂平面BCE，

所以，平面BCE⊥平面A1ABB1． 因为E，F分别是A1C1，AB的中点， 所以，FD∥AC且

．

（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．

因为AC∥A1C1且AC=A1C1， 所以，FD∥EC1且 FD=EC1． 所以，四边形FDC1E是平行四边形． 所以，EF∥C1D．

又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1， 所以，EF∥平面B1BCC1． （III）解：因为所以，

过点B作BG⊥AC于点G，则

因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1 所以，平面A1ACC1⊥底面ABC． 所以，BG⊥平面A1ACC1． 所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积

．

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【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25， ∴f（2）﹣f（1）=4=4×1． f（3）﹣f（2）=8=4×2， f（4）﹣f（3）=12=4×3， f（5）﹣f（4）=16=4×4 ∴f（5）=25+4×4=41．…

（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．… ∴f（2）﹣f（1）=4×1， f（3）﹣f（2）=4×2，

f（4）﹣f（3）=4×3， …

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2）， f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）…

∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n，

2

∴f（n）=2n﹣2n+1．…

21．【答案】（1）CDcos时，观光道路最长.

3sin,0,;（2）设当时，L取得最大值，即当6633CDODCO

sinCODsinDCOsinCDO233232sin CDsincossin，OD3333【解析】试题分析：（1）在OCD中，由正弦定理得：

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233sin1sin0 3233CDcossin,0,

33（2）设观光道路长度为L， ODOB则LBDCD弧AC的长 = 12333sincossin= cossin1，0, 33333cos1 3Lsin由L0得：sin列表： 3，又 0,6623 6 0 极大值  0, 6 + ↗ , 63 - ↘ L L 当6时，L取得最大值，即当6时，观光道路最长.

考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。 另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 22．【答案】（1）S1asin （2）a23 221a2acos第 15 页，共 18 页

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【解析】解析：

（1）设边BCx，则ACax， 在三角形ABC中，由余弦定理得：

试题

1x2ax22ax2cos，

12所以x，

1a22acos11asin所以Saxxsin，

221a22acos21acos1a2acos2asinasin（2）因为S， 2221a2acos221acos1a2a， 2221a2acos2a, 21a2a且当0时，cos0，S0，

1a22a当0时，cos0，S0， 21a令S0，得cos0所以当0时，面积S最大，此时0600，所以解得a23， 因为a1，则a23. 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

2a1， 1a22第 16 页，共 18 页

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∴点P为线段AB中点，PAPB；…………7分

（2）若直线AB斜率不存在，则AB:x2，与椭圆C2方程联立可得，A(2,t21)，B(2,t21)，

2故SOAB2t1，…………9分

若直线AB斜率存在，由（1）可得

1k2t218km4m24t22x1x22，x1x2，AB1kx1x24，…………11分

24k14k214k1点O到直线AB的距离d∴SOABm1k24k211k2，…………13分

1ABd2t21，综上，OAB的面积为定值2t21．…………15分 224．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B， ∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为， ∴

，

和

．

，

∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7， ∴

，P（X=6）=

，P（X=7）=

，

∴随机变量X的分布列为

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X p ． 5 6 7 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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