第５０卷第３期 吉林大学学报（理学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．５０ Ｎｏ．３ Ｍａｖ ２０１２ ２０１２年５月 一类算子方程的解 许俊莲 ，杜鸿科 （１．北京工业大学应用数理学院，北京１００１２４；２．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３； ３．陕西师范大学数学与信息科学学院，西安７１００６２） 摘要：利用算子分块技巧，讨论算子方程ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ解存在的充要条件，并用算子 矩阵的形式给出了一般解的表示形式．特别地，讨论了当Ｂ是一个正交投影算子Ｐ时，算子 方程ＡＸＰ＋ Ａ ＝Ｃ解存在的充要条件及一般解的表示． 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１．５４８９（２０１２）０３—０４０４－０５ 关键词：算子方程；Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ逆；算子矩阵；正交投影 中图分类号：０１７７．１ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＸＵ Ｊｕｎ—ｌｉａｎ ＇＿．ＤＵ Ｈｏｎｇ．ｋｅ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆＴｅｏｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１２４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｆＭａｔｏｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂａｏｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｄ厂Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｉｆ ７２１０１３，Ｓｈａａｎｘｉ Ｐｒｏｖｉｃｅ，Ｃｈｉｎｎａ； ３．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｃｅ，Ｓｈａａｎｘｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００６２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｈｅｌｐ ｏｆ ｂｌｏｃｋ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ｗｈｅｎ Ｂ ｉｓ ａｎ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｐ，ｔｈｅ ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＡＸＰ＋Ｐｘ Ａ ＝Ｃ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ ｉｎｖｅｒｓｅ；ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍａｔｒｉｘ；ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ 文献［１．２］讨论了形如ＡＸＢ 一ＢＸ Ａ ＝Ｃ算子方程的解．利用算子分块技巧，文献［３］给出了 １×２算子矩阵的Ｍｏｏｒｅ．Ｐｅｎｒｏｓｅ逆的矩阵表示，文献［４］证明了算子方程Ａ ＝ＸＡＸ存在解的充要条 件，文献［５］研究了有限维空间中正交投影特征值函数的性质．本文利用算子分块技巧，根据方程所 满足的条件，通过对空间进行适当的分解，讨论算子方程ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ解存在的充要条件，并 用算子矩阵的形式给出了一般解的表达式．特别地，讨论了当曰是一个正交投影算子Ｐ时，算子方程 ＡＸＰ＋ＰＸ Ａ ＝Ｃ解存在的充要条件以及一般解的表达式． 设 是可分的复无限维Ｈｉｌｂｅｒｔ空间， （ ）表示 上的全体有界线性算子．对任一算子 Ａ∈取 ）， （Ａ），Ｓ（Ａ）和Ａ 分别表示Ａ的值域、核空间和伴随．任给 的闭子空间 ， 表 示 上的正交投影． １ 预备知识 定义１ 设Ａ∈ ），满足算子方程组 收稿日期：２０１１－０６－１３． 作者简介：许俊莲（１９８２一），女，汉族，博士研究生，从事算子理论与小波分析的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｕｊｕｎｌｉａｎ８３９１３＠１６３．ｃｏｎ 通讯作者：杜鸿科（１９４４一），男，汉族，教授，博士生导师，从事算子理论与小波分析的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｋｄｕ＠ｓｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ． 基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１００１１５９）和陕西省宝鸡文理学院重点科研项目（批准号：ＺＫ１１１３２）． 第３期 许俊莲，等：一类算子方程的解 ＡＸＡ＝Ａ， （ＡＸ） ： ， ＡＸ， 、（１） ＝（ＸＡ） ＝ＸＡ 的Ｘ∈ 定义２ ）称为Ａ的Ｍｏｏｒｅ．Ｐｅｎｒｏｓｅ逆，简称广义逆，记为Ａ ．满足方程组（１）的解，如果存在，则 设Ａ∈ （ ），如果Ａ ＝Ａ，则称Ａ是一个幂等算子．如果一个幂等算子Ｐ满足 必唯一．满足第一个算子方程的 称为Ａ的｛１｝一逆，Ａ的｛１｝一逆全体记为Ａ｛１｝． Ｐ）＝ （Ｐ） ，则称Ｐ是一个正交投影． 引理１＿８ 设Ｔ∈以Ｈ），则 （Ｔ）是闭的当且仅当 （Ｔ ）是闭的． 引理２设Ｃ∈ 引理３ ），则算子方程 ＋Ｘ ＝Ｃ有解当且仅当Ｃ ＝Ｃ，并且该算子方程的一般解 是Ｘ＝Ｃ／２＋ ，其中Ｔ∈以 ）是任意的反自伴算子． 设Ａ∈取 ），则： １）Ａ存在广义逆Ａ 当且仅当 （Ａ）是闭的； ２）如果Ａ存在广义逆Ａ ，则 （Ａ ）＝ （Ａ ），ＡＡ ＝Ｐ （Ａ），Ａ Ａ＝Ｐ碍（Ａ ２ 主要结果 定理１设Ａ∈ 蜀， ），Ｂ∈ 域是闭的，且 （Ｃ） （ ） ， ），其中 （ｉ＝１，２，３）表示Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，Ａ，曰的值 （Ａ），则算子方程ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ有解当且仅当Ｃ ＝Ｃ， （Ａ），并且Ｐ舅（Ａ）。舅（口）ＣＰ舅（Ａ）０宠（口）：０． （Ａ），故根据引理１可知， （Ａ ）， （Ｂ ）也 证明：因为 （Ａ）， （ ）是闭的，且 （ ） 是闭的，则在空间分解 ＝Ａ‘。”（ （Ｂ））①｛ （Ａ ）ｅＡ‘－１）（ （Ｂ））｝Ｇ￣／（Ａ）到 ＝ （Ｂ）① ０ ０｝ｌ （Ａ）ｅ （曰）｝ｏ∥（Ａ ）下，Ａ可以表示为算子矩阵形式：Ａ＝ Ａ２ ０ ｌ，其中， ０ ０Ｊ ｌ ０ ０Ｊ 必要性．设算子方程ＡＸＢ ＋ Ｃ成立．在空间分解 Ａ ＝Ｃ有解，即存在Ｘ∈ Ａ ＝ ，羁），使得ＡＸＢ ＋ＢＸ＊．＝ （ ）ｏ∥（ ）到蜀＝Ａ‘＿１ （ （ ））ｏ｛ （Ａ ）ＯＡ‘Ｉ１ （ （ ））｝ ｆ，Ａ１１ ｌ１ ＋Ｂ１１ＸｎＡ１ １ Ｂ１１ Ａ ｏ、Ｉ ｒｃ１１ ｃ１２ Ｃ１３、１ ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｉ Ａ２２ １ ＾０ ０ ０ Ｉ＝ｌ Ｃ２ｌ Ｃ２２ Ｃ２３ Ｉ， ０ ０ ｃ３１ ｃ３２ ｃ３３／』 吉林大学学报（理学版） Ｃｌ１＝Ａｌ１Ｘｌ１Ｂ１＂１＋ＢｌｌＸ，１ａ１１ 第５０卷 ， 因 此 Ｃｌ２＝Ｂ１１ Ａ杰， Ｃ２１＝Ａ２２Ｘ２１曰＾， Ｃ１３＝Ｃ２２＝Ｃ２３＝Ｃ３ｌ＝Ｃ３２ ｎ－－Ｃ３３＝０， Ａ Ｏ Ｏ Ｃ 于是有Ｃ ＝Ｃ， （Ｃ） ＝ ，，， ．．．．．．．．．．．．．．。 （Ａ），并且Ｐ舅（Ａ） （口）ＣＰ胡（Ａ）。篇（口）＝Ｏ． 充分性．设Ｃ ＝Ｃ，＿一／ Ａ ¨ （Ｃ） （Ａ），并且Ｐ舅（Ａ）。灞（口）ＣＰ＿粥（Ａ）。埽（口）＝０，则在空间分解 ＝ （ ）①｛ （Ａ）ｏ （ ）｝① Ａ ）下，Ｃ有算子矩阵形式Ｃ＝ｌｌ ｃ ０ ０ ｌ，其中ｃ ＝Ｃ ｏ ０ ０Ｊ Ａ ＋ ０ Ｃｌｚ ｏ］ 在空间分解 ＝ （曰 ）① 。ｃ。 （ ）一 ｏ Ａ ）到 ＝Ａ ”（ （ ））①｛ （Ａ ）∈三≥Ａ‘Ｉ１ （ （曰））｝ ∥ Ａ）下， 设Ｘｏ＝ Ａ妄 ｃ （曰 ） ０ ０ ０ ，经过计算可知， 是算子方程ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ的一个解，即该 方程存在解．证毕． 在算子方程ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ存在解的情况下，根据引理２，可得算子方程解的一般形式． 定理２设Ａ∈以 ， ），Ｂ∈ ， ），其中 （ｉ＝１，２，３）表示Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，Ａ， 的值 域是闭的，且 （Ｂ） ＝ （Ａ）．如果算子方程ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ存在解，则在空间分解 ＝Ａ‘－１）（ （曰））④｛ （Ａ ） ‘－１）（ （ ））｝ Ａ）下，方程的一般 （Ｂ ）①∥ｌ（Ｂ）到 解有矩阵形式： ＿Ａ１ － １（ｃ。。＋Ｔ）（Ｂｌ１）一 Ｘ＝ Ａ ｃ （曰 ）～Ｘ２ 其中：Ａｌｌ＝Ａ ｌ Ａ（一１）（ （口））一＋ （ ）；Ａ２２＝Ａ Ｉ翻（Ａ ） （一１）（舅（口）） 舅（Ａ）。埘（口）； Ｂｌ１＝Ｂ ｌ瑚（口．）一（ ．； Ｃ１１＝Ｃ Ｉ粥（口） （ ；Ｃｌ２＝Ｃ Ｉ舅（Ａ） （口）＿÷舅（口）； 并且Ｘｌ２∈ ：∈ （ ）， （Ａ ） （∥（Ｂ），Ａ ¨（ （Ｂ）））； 卜 （ （ ））；Ｘ３ ∈以 （Ｂ ），Ｓ（Ａ））；Ｘ３ ∈ Ｂ）， Ａ））是 任意算子；Ｔ∈以 （Ｂ））是任意的反自伴算子． 下面讨论在算子方程ＡＸＢ 十ＢＸ Ａ ＝Ｃ中，当曰是一个正交投影算子Ｐ时，算子方程 ＡＸＰ＋ Ａ ＝Ｃ的解． 定理３设Ａ，Ｃ∈ ，Ｐ是Ｈｉｂｅｒｔ空间 上的正交投影，Ａ的值域是闭的，且ＰＡ ＡＰ＝０， 则算子方程ＡＸＰ＋ Ａ ＝Ｃ有解当且仅当Ｃ ＝Ｃ，ＰＣ（Ｉ—Ａ Ａ）＝０，并且（Ｊ—Ｐ）Ｃ（Ｉ—Ｐ）＝０． 证明：因为 （Ａ）是闭的，故由引理３可知，广义逆Ａ 存在．又因为Ｐ是Ｈｉｂｅｒｔ空间 上的正 交投影，且 ＝ＡＰ＝０，则在空间分解 ＝ （Ｐ）①｛ ｌ（Ｐ）ｏ （Ａ ）｝ｏ （Ａ ）到 ＝ （Ｐ）① ｛ Ｐ）ｏ （Ａ）｝ｏ （Ａ）下，Ａ可以表示为如下算子矩阵形式：Ａ＝ｌ １０ ０ ０ ｌ，其中Ａ 是可逆算 ０ ０ Ａ Ｊ ｒ，０ ０ ０］ 第３期 许俊莲，等：一类算子方程的解 因 ｆｊ ｏ ｏ １ 此 ４０７ Ｃ ＝ 分 充 子．在空间分解 ＝ （Ｐ）①｛ｓ（ｅ）ｅ （Ａ）｝① （Ａ）下，Ｐ可以表示为Ｐ＝１０ ０ ０ ｌ，其中，是 ， ０ ０、 ０／ ｌｏ ｏ 性 。如 Ｏ Ｏ Ｏ 果 Ｃ ｒ ０ ０ Ｘ３＊１Ａ，＇１、１ ｒｃ ｃｌ２ ｃ１３、 ＡＸＰ＋以 Ａ ＝ｌ ０ ０ ０ Ｉ＝Ｉ Ｃ２ｌ Ｃ２２ Ｃ２３ Ｉ， ＡｌｌＸ３ｌ ０ ０ ｃ３ｌ ｃ３２ ｃ３３ ｒＣ１３＝ Ａ ， Ｏ Ｏ Ｏ ｛Ｃ３１＝Ａ１１Ｘ３１， ３ Ｏ Ｏ ｔＣｌ１＝Ｃ１２ Ｃ２１＝Ｃ２２＝Ｃ２３ Ｃ３２＝Ｃ３３ ０＼、● ●●●●●／ ， ） 其 ０ ｌ，从而有Ｃ ＝Ｃ，ＰＣ（Ｉ—Ａ Ａ）＝０，并且（，一Ｐ）Ｃ（ｔ—Ｐ）＝０．中 ｏ Ｊ 十Ｃ ３ ＝ ＝Ｃ，ＰＣ（Ｉ—Ａ Ａ）＝０，并且（Ｊ—Ｐ）Ｃ（ｔ—Ｐ）＝０，则在空间分解 ＝ （Ｐ）① ＇（Ｐ）ｏ （Ａ）｝ｏ （Ａ）下，Ｃ有算子矩阵Ｃ＝ 在 空 问 ＝ （Ｐ）①｛∥ Ｐ）ｅ （Ａ）｝０ （Ａ）到 ： （Ｐ）①｛ Ｐ）ｏ （Ａ ）｝① （Ａ ）下，设 分 ｒ， ｏ ｏ ｏ］ 解 ＝１ ０ ０ ０ ｌ，代人算子方程，则等式成立，即Ｘｏ是算子方程ＡＸＰ＋以 Ａ ＝Ｃ的解，故方 ＩＡ Ｃ３ｌ ０ ０ Ｊ 程存在解．证毕． 根据定理３可得算子方程ＡＸＰ＋ＰＸ Ａ ＝Ｃ解的一般形式． 定理４设Ａ，Ｃ∈觑 ），Ｐ是Ｈｉｂｅｒｔ空间 上的正交投影，Ａ的值域是闭的，且ＰＡ＝ＡＰ＝０， 若算子方程ＡＸＰ＋ＰＸ Ａ ＝Ｃ有解，则在空间分解 ＝ （Ｐ）ｏ｛∥（Ｐ）（三） （Ａ）｝① （Ａ）到 ＝ （Ｐ）①｛．／Ｕ（Ｐ）ｅ （Ａ ）｝ｏ （Ａ ）下，算子方程ＡＸＰ＋ＰＸ Ａ ＝Ｃ的一般解 具有如下矩 ｆ， １１ １２ １３、 阵表示：Ｘ＝ｌ ｌ ２ ３ ｌ，其中：Ａ１１＝Ａ Ｉ舅（Ａ＋） （Ａ）；ｃ３１＝Ｂ ｌ＿粥（Ｐ）— （Ａ）；并且 Ａ ｃ３１ Ｘ３２ Ｘ３３ Ｊ Ｘ。。∈ （Ｐ）），Ｘ ：∈ （∥（Ｐ）ｅ （Ａ）， （Ｐ）），Ｘ ，∈ （ （Ａ）， （Ｐ））， －∈觑 （Ｐ）， １（Ｐ）ｅ （Ａ ））， ： ∈ （∥（Ｐ）ｅ （Ａ），ｓ（ｅ）ｅ （Ａ ））， Ｘ２，∈坝 （Ａ），。∥ Ｐ）Ｏ （Ａ ）），Ｘ，：∈ Ｐ）ｅ （Ａ）， （Ａ ））和Ｘ３ ∈以 （Ａ）， （Ａ ）） 吉林大学学报（理学版） 第５０卷 是任意算子． ），Ｐ是Ｈｉｂｅｒｔ空间 上的正交投影，Ａ的值域是闭的，且ＰＡ＝ＡＰ＝０， 令 得 若算子方程ＡＸＰ＋ＰＸ Ａ ＝Ｃ有解，则方程解的一般形式为Ｘ＝Ｔ—Ａ ＡＴＰ＋Ａ ｃ，其中Ｔ∈倒 ） 定理５设Ａ，Ｃ∈ 是任意的算子． ＝ 汪 ． 证明：根据定理３证明中对于Ａ的算子矩阵形式，在空间分解 ＝ （Ｐ）ｏ｛ １（Ｐ）（三） （Ａ）｝ｏ 置 墨 （Ａ）到 ＝ （Ｐ）ｏ｛∥１（Ｐ）Ｇ３（Ａ ）｝① （Ａ ）下，Ａ 有算子矩阵Ａ 子方程ＡＸＰ＋ Ａ ＝Ｃ有解，根据定理３可知，Ｃ ＝Ｃ，ＰＣ（Ｉ—Ａ Ａ） ＝０，并且（，一Ｐ）Ｃ（Ｊ—Ｐ）＝ 其 ０ ０ Ｃ ｒ， １３、 中 ／，，．。。 ．．．．．．．．。．，０，此时在空间分解 ＝ （Ｐ）①｛ Ｐ）ｏ （Ａ）｝① （Ａ）下，Ｃ有算子矩阵Ｃ＝ｌ ０ ０ ０ｌ，其 一／ Ｉ Ｃ３１ ０ ０ Ｊ Ａ 一¨ ０ Ｏ ０｝ 绍 中ｃ ＝Ｃ， ．经过计算可得Ａ Ｃ＝ Ｏ Ｏ ０ ｌ，则Ａ Ｃ是算子方程ＡＸＰ＋ ０ ０ Ｊ Ａ Ａ ＝Ｃ的一个特 参 ／，．＼ 考 ｌ＿● 解．任取Ｔ Ｅ （ ），令Ｘ＝Ｔ—Ａ ＡＴＰ＋Ａ Ｃ，代入方程， 可得方程成立，即Ｘ是方程的解．设Ｘ∈预 ）是算子方程ＡＸＰ＋以 Ａ ＝Ｃ的一个解． 根据定理４，在空间分解 ＝ （Ｐ）① ＼●／ 文 ＿－ ｛ｓ（ｅ）ｏ （Ａ）｝① （Ａ）到 ＝ （Ｐ）①｛ １（Ｐ）ｏ （Ａ ）｝④ （Ａ ）下， 任； 一ｆ， ｌｌ ｌ２ １３ 、、●，●●●●●●●／ ． 献 ＝ｌ Ｘ２ Ａ Ｃ３１ Ｘ３２ Ｘ３３ 意 ． 子．算 ， 则 ＝ ，，，．．．．．．．．．．．．． ．．．＝ 一，／ Ｏ Ｏ Ｏ ０ Ｏ ０ Ａ Ａ ｏ ｏ ＼、●●●● ●／ ａｄｅｎ Ｈ．Ｔｈｅ ＥｑｕａｉｔｏｎｓＡ 。Ｘ±Ｘ Ａ＝Ｂ［Ｊ］．Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９８，２０（、２）：２９５—３０２． ［１］ ＢｒＣ Ｑｉｎｇ—ｘｉａｎｇ，ＳＨＥＮＧ Ｌｉ－ｊｕａｎ，ＧＵ Ｙａｎｇ—ｙａｎｇ．Ｔｈｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｓｏｍｅ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｉｔｓ ［２］ ＸＵ 由 Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，４２９（８／ ）：１９９７－于 ２０２４． Ａ 结 算 沦 ｕｎ．１ｉａｎ，ＤＵ Ｈｏｎｇ—ｋｅ．Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ Ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｌ×２ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ Ｓｈａａｎｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉ— ［３］ ＸＵ Ｊｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００８，３６（２）：１１－１４．（许俊莲，杜鸿科．１×２算子矩阵的Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ逆［Ｊ］．陕西 师范大学学报：自然科学版，２００８，３６（２）：１１—１４．） ｌｉａｎ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＡＸ：ＸＡＸ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂａｏｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ： ［４］ ＸＵ Ｊｕｎ—Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１０，３０（３）：６－８．（许俊莲．算子方程ＡＸ＝ＸＡＸ的解［Ｊ］．宝鸡文理学院学报：自然科学版， ２０１０，３０（３）：６－８．） 、 。 Ｊｕｎ—ｌｉａｎ．Ｅｉｇｅｎ－Ｖａｌｕｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｏｍｅ。Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ： ［５］ ＸＵ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１１，４６（６）：７０－７４．（许俊莲．几个正交投影函数的特征值函数［Ｊ］．山东大学学报：理学版， ２０１１，４６（６）：７０－７４．） Ｂｈａｔｉａ Ｒ．Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９７． ． Ｃｏｎｗａｙ Ｊ Ｂ．Ａ Ｃｏｕｒｓｅ ｉｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９０． Ｆｉｌｌｍｏｒｅ Ｌ Ｒ，Ｗｉｌｌｉａｍｓ Ｊ Ｐ．Ｏｎ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｒａｎｇｅｓ［Ｊ¨．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９７ １，７：２５４—２８ １． １５０—１５７． Ｂｅｎ－Ｉｓｒａｅｌ Ａ．Ｔｈｅ Ｍｏｏｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ ＩｎＶｅｒｓｅ ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｄ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ，２００２，９： （责任编辑： 赵立芹）
