002---任意角的三角比

【教学目标】掌握任意角的三角比定义、弧度制。

【教学重难点】（1）理解并熟练掌握角的定义、分类；（2）终边相同的角的集合表示； （3）角的弧度制 【知识点归纳】 一、角的概念的推广 1．角的定义

一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB的图 形就是角。旋转开始时的射线OA叫做角2．角的分类

（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角

按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。 （2）按角的终边位置分类

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。 3．终边相同的角的集合表示

所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k·360°+，（k∈Z）来表示，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。 【同步练习】

1、下列命题中是真命题的是 （ ） A．小于90°的角是锐角； B．若C．若角D．若

是锐角，则与角

的终边在第一象限；

=

；

的始边，旋转终止

线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。

所形成时的射

的终边相同，则

的终边在第一象限，则是正角。

（ ）

2、在下列各角中与330°角的终边相同的是 A．510°

B．150°

C．﹣60° D．﹣390°

3、将下列各角化成+2k（0≤≤2，k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限的角： （1）

22； 3 （2）﹣315°；

（3）1 500°； （4）﹣9

二、弧度制 1．角的度量 （1）弧度制的定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 （2）角的弧度数的计算

若l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，那么的弧度数的绝对值||=2．角度制与弧度制的换算 （1）角度化为弧度

l r360°=2 rad，180°= rad；1°=（2）弧度化为角度

 rad≈0．017 45 rad 1801802 rad=360°， rad=180°，1 rad=（3）常用的特殊角的弧度数

角度 弧度 （1）弧长公式

0° 0 15° 30° ≈57．30°

45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 3． 弧长公式和扇形面积公式

nr（n为角的角度数）； 180②弧度制下弧长公式为l=·r，其中为圆弧所对的圆心角的弧度数，r为圆的半径。

①角度制下的弧长公式为l=（2）扇形面积公式

nr2①角度制下的扇形面积公式S=；

360②弧度制下扇形面积公式为S=为S=

1l·r，其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径，弧度制下扇形面积公式还可以表示21r2，其中为扇形的圆心角，r为扇形的半径。 2【同步练习】

1、（1）将315°30′化成弧度； （2）将13．5 rad化成度；

（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？ 2、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6， （1） 求AB的长； （2） 求弓形AB的面积。

【巩固练习】

1、在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角 （1）最大的负角； （2）最小的正角； （3）360°~720°的角。 2、如图，试用弧度制：

（1） 分别写出终边在OA、OB上的角的集合；

（2） 写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合。 3、若是第二象限角，试判断2，

，角各是第几象限角 234、用30cm长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形面积最大？最大面积是多少？

5、如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx=45°，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆

<<180°周旋转。已知P在1秒钟内转过的角度为（0°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到

出发点A，求 6、若

是第三象限角，则

所属的象限是

【知识点归纳】

1、角α和角β的终边相同： 2、象限角与正、负角 使用集合形式来表示角： 3、弧度制 4、弧长公式： 5、扇形面积公式： 6、三角比的定义：

7、不同象限内三角比的不同符号: 8、单位圆与三角函数线 ： 【例题精讲】

例1、用集合形式表示几种终边在特殊位置的角的集合

在平面直角坐标系中，以原点O为角的顶点，x轴的正半轴为角的始边，那么 （1）终边落在x轴正半轴的角的集合是_____________________； （2）终边落在x轴负半轴的角的集合是_____________________； （3）终边落在x轴上的角的集合是_____________________； （4）终边落在y轴正半轴的角的集合是_____________________； （5）终边落在y轴负半轴的角的集合是_____________________； （6）终边落在y轴上的角的集合是_____________________； （7）终边落在坐标轴上的角的集合是_____________________。 例2、已知角α

π

，在区间[5π,0]内找出所有与角α具有相同终边的角β。 4

例3、若角α与β的终边满足下列位置关系，求α、β所满足的度量关系 （1）重合： _____________________； （2）关于原点对称： _____________________； （3）关于x轴对称：_____________________； （4）关于y轴对称：_____________________。

例4、命题P: α是第二象限角，命题Q: α是钝角，则P是Q的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例5、若角α是第二象限角，则

α是第__________象限角； 2α是第__________象限角。 3例6、一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则扇形的圆心角是多少弧度? 合多少度? 扇形的面积是多少?

2α是第____________角；

5πcm2。 3（1）求弧AB的长；（2）求含于扇形内，且以AB为弦的弓形面积。 例7、已知扇形OAB的圆心角为150，面积为

2m，求cosα、tanα的值。 4例9、（1）若sinθ0且cotθ0，则θ为第___________象限角；

例8、已知角α的终边上一点P3,m，且sinαsinθ0，则θ为第___________象限角． cosθ例10、利用三角函数线分别求满足下列条件的α的取值范围: （2）若（1）21sinα； 22

1（2）cosα且tanα1。

2【回顾反思】 1、主要方法： ① 弧度制与角度制的转换、弧长公式、扇形面积公式； ② 终边相同的角的表示、象限角的表示: 确定一个满足的角，后观察周期． ③ 任意角的三角比: 定义、所在象限三角比符号的确定． 2、易错、易漏点： ① 在简单三角比的运算中要牢记角的正切、余切有意义时角的范围问题，避免产生增根； ② 三角比的结果表达中不要弧度制、角度制混用； ③ 在任意角的范围表达中注意kZ的条件． 【课后练习】 1、

16π化为2kπα(kZ，0α2π)的形式是 （ ） 3π4π B．4π 33

A．5πC．6π2π7π D．3π 332、下列各命题中，为真命题的是 （ ） A．第一象限角是锐角 B．直角不是任何象限角

C．第二象限角比第一象限角大 D．三角形的内角一定是第一或第二象限角

3、若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角的所夹扇形的面积为 （ ） A．C．

1 sin2B．

1 sin22

1 D．tan1 2sin14、在不等的圆中，1弧度的圆心角所对的 （ ） A．弦长相等 B．弧长相等 C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径

5、一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ） 1A．(2sin1cos1)R2

21B．R2sin1cos1

2

1C．R2 D．(1sin1cos1)R2

26、在区间[4π,2π]上且与角125终边相同的角是___________。

απ是第___________象限角；α是第___________象限角；πα是第___________22象限角；2πα是第___________象限角。

8、在扇形中，圆心角所对弦长等于半径，则这个圆心角的度数为___________。 7、若角α是第三象限角，则角

9、设A是

sinxcosxtanxcotx的值域所组成的集合，则用列举法表示集合A为___________。 sinxcosxtanxcotx110、已知角α的终边上有一点P到原点的距离为10，且tanα(0απ)，则P点的坐标为___________。

31211、若cosα，则α的取值范围是___________。

2212、对于角θ(0θ360)，若它的终边与角7θ的终边相同，求角θ的值。

13、已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角θ为何值时，扇形的面积S最大? 此时的S为多少? 14、已知集合Mαcosαsinα，Nαtanαsinα，求MN。

【拓展练习】

1、若α200，则α为第___________象限角；与α具有相同终边的最小正角β_________。 2、已知θ为第二象限角，确定sin(cosθ)cos(sinθ)的符号。 3、已知cot(sinθ)tan(cosθ)0，确定θ所在象限。

4、扇环的两条弧AB、CD的长分别是l1、l2，两条直边AD、CB的长均为d，求扇环ABCD的面积。

（第4题图）