移动机器人速度饱和约束下的轨迹跟踪控制

Saturation[ J].Machine Tool & Hydraulics ,2019,47( 21) : 1-4.移动机器人速度饱和约束下的轨迹跟踪控制王立玲，董力元，马东，刘秀玲，王洪瑞(河北大学电子信息工程学院，河北省数字医疗工程重点实验室，河北保定071002)摘要：针对非完整轮式移动机器人运动中普遍存在的速度饱和约束，提出一种全局渐进稳定的反馈跟踪控制器。基于 状态反馈构造新的虚拟控制量，利用Lyapunov定理构造运动学控制律；利用移动机器人速度饱和约束和受限控制参数实现

其有界速度控制；进行了相应的稳定性分析。与不考虑速度饱和约束的控制器进行了仿真对比，结果表明：其实际轨迹更 能平滑逼近其参考轨迹，提高了轨迹跟踪的精度。关键词：轮式机器人；运动学模型；速度饱和约束；Lyapunov函数；虚拟控制量中图分类号：TP24Trajectory Tracking Control under Constraint of Mobile Robot Speed SaturationWANG Liling, DONG Liyuan, MA Dong, LIU Xiuling, WANG Hongnii(Key Laboratory of Digital Medical Engineering of Hebei Province, College of Electronic

Information Engineering, Hebei University, Baoding Hebei 071002, China)Abstract: A global asymptotically stable feedback tracking controller is proposed for the speed saturation constraint commonly

existed in non-complete wheeled mobile robots. Firstly, a new virtual control quantity was constructed based on state feedback, and the

kinematics control law was constructed by using Lyapunov's theorem. Then the bounded velocity control was realized by using the mobile

robot's velocity saturation constraint and restricted control parameters. Finally, the corresponding stability analysis was carried out.

Compared in simulation with the controller without considering the speed saturation constraint, the results show that the actual trajectory

is smoother and closer to its reference trajectory, which improves the accuracy of trajectory tracking.Keywords: Wheeled robot ； Kinematic model ； Speed saturation constraint ； Lyapunov function ； Virtual control0前言必要。LEE等3考虑到轮式机器人执行器输出饱和

轮式移动机器人属于非完整约束系统，非完整约 的情况下，利用后退法和饱和函数设计出轨迹跟踪控

束移动机器人的轨迹跟踪控制始终是热门研究领域。

制器，但要求期望速度大于零。熊蓉等人M通过满

对机器人轨迹跟踪主要分为基于运动学的运动控制设 足约束时间的最优控制律转化成末端时间为最优时间 计°F及运动学和动力学相结合的控制器设计\"切。燃料最优控制律，在RoboCup小型机器人上进行了

在上述文献中，所设计的控制律都是基于轮式移 对比试验，验证了该方法的可行性。动机器人受非完整约束的假定。轮式机器人受非完整

本文作者主要研究速度饱和约束下的轮式移动机

约束前提是满足“纯滑动无滚动”的条件。由于在 器人轨迹跟踪问题。所设计的控制器基于运动学模

实际应用时，轮式移动机器人的驱动电机功率是有限 型，利用构造新的控制输入与Lyapunov直接法构造 的，则实际系统的速度是饱和的。当跟踪误差较大

的控制器，根据移动机器人的速度饱和约束条件设计 时，跟踪控制器所得到的控制量可能超过系统的允许

控制器参数，最后仿真验证了控制器的有效性。速度范围，并且速度过大导致轮式移动机器人滑动， 1建立运动学模型破坏了非完整约束。为了解决这个问题，研究轮式移

文中以差分驱动的非完整轮式移动机器人为研究

动机器人在速度饱和约束下的轨迹跟踪控制方法很有 对象，其模型如图1所示，两个后轮为驱动，各

收稿日期：2018-07-16基金项目：国家自然科学基金资助项目（61673158）；河北省自然科学青年基金资助项目（F2018201070）作者简介：王立玲（ 1979—）,女，博士，副教授，研究方向为并联机构的动力学建模与控制。E-mail： wll_betty@

126. como通信作者：马东（ 1987—）,男，硕士，工程师，研究方向为软件工程、医疗信息化、并联机构及智能机器人控制技术。

E-mail: 115279902@ qq. como• 2 •机床与液压第47卷采用1台直流伺服电机驱动，通过控制轮式机器人的

前进速度和转动速度大小来调节机器人与跟踪轨迹的 位置。前轮为支撑轮，仅起支撑作用，无导向作用。

x-y为全局坐标系，哲-刃为局部坐标系，机器人的

质心m在全局坐标系的坐标为（””，y”），方向角为 %,前进速度和转动速度分别为””、3”。图1轮式机器人模型在非完整约束下，轮式移动机器人的运动方程为xm「cos 标为仏”，y”），方向角为卩”，前进速度和转动速度 分别为。”、叫。轮式机器人在局部坐标下的跟踪误 差为「cos cpmsin (p=_sin 申mcos 常””⑷S（4）总匕”⑷式中：和3””为任意正整数。控制目标是在给定 任意的初始误差下，轨迹控制器控制输入\"”，3”能 够使得（xcyr（pc） T 有界，limt—»« |

= o,并且满足式（4）饱和约束条件。2控制器设计与稳定性分析2. 1设计控制器定义新的控制输入「回为“00) n -a) mu\\Q.COS(Pe~Vm(5)则式（3）误差微分方程组变为（5-口0）人+呦

一（5一Uo）%e+qsin（pe

(6)uo此时具有速度饱和约束的轮式机器人轨迹跟踪问

题就转化成在给定任意的初始误差下，控制输入“°,

划能够使（兀』卑）丁有界和!im | （%e ye ^Pp）T | = 0o步骤1：选取Lyapunov函数为（禺，他，他，饥为正数）U( £)二 J亡 +士 +1 +2 A:] sin?(7)显然q（£）径向无界且正定。\"(£)=---------- +2eSin （JO =a）4---------------------\"”人+他 sin (11)vm = vn cos （Pe2' +—TTarctan （k4xe）（⑵步骤2：选取合适kt, k22,， k3, kt使控制器满足式（4）速度饱和约束。取a, 0®）分别满足

O(13)0彳0”喰-；聶|””&） I

(14)对式（11）控制律有\"”y-+“2sin I®” I W |叫 | +亿

W讣”⑴1 +kJX+x^+y}H„(t) 1+爲〒+厂 w / |3”q）i+—

(15)选取合适的kt , k2为 常””⑴曲2(16)第21期王立玲等：移动机器人速度饱和约束下的轨迹跟踪控制• 3 •I—»00对式(12)控制律有Dm 丨 W |vncos(pe 1+ 一A;3arctan(/c4%J WTT2贝yiim%e = 0, I―►<»

/—»00

二 kir ( k 已 Z),该式与”01亿=0{—•00等价。下面证明limye = 0o将式(11)控制律中3”代入式(3)跟踪误差

(17)\\Vn

他 W0

2. 2稳定性分析1+他

微分模型中的第3个方程可得选取合适的他为(18)\"”人+^sin 卩。(23)引理2. 1 ( Barbalat引理)若函数/(%)在［0, +□0)上是一致连续的lim

因为化在t e ［ 0, oo)有界且亿在J e ［ 0, co)t—»ao 0J存在且是一个有一致连续，由引理2.1可得lim化=0。限值，则有li时⑴=0。t—»00r—*«又limxe = 0, lim^r = 0,由式(17)可得»—»« r—»«>\"” y< = 0

(24)定理2.1设””(t),3”(t)在［0, 00)上一致连续

若lim””M0,贝IJlimye = 0,故闭环系统渐近稳定。 3仿真结果有界，禺，他，心，忍为正常数，选取控制律(11) 与(12)使式(2)描述的运动学跟踪误差一致有

界；若a”不趋于零，则闭环系统是全局渐进稳定, 并且 kt, k2, k3, kA满足式(16)与(18)。在MATLAB实验中，通过选取直线和圆作为参

考路径轨迹，对前面所设计的具有速度饱和约束轮式

机器人的控制器和不考虑速度饱和约束控制器进行了 仿真。假设：器1\"”(£)I =8,：聶1&>”(/) I =6, %*=12,

wm„= 10, a = 4, /3 = 4,选取控制器参数如下：kt =2. 5, k2 = 2,他=3. 4, k4=lo证明：当kt, k2, k3, kt满足式(16)与(18)。选取如式(7)所示的Lyapunov函数将式(3)代入式(8)可得、”、-xrvm+xevncos

.) =---------1 , , -------+杠(3”-3”)sin 3. 1 直线轨迹跟踪令期望最大前进速度\"” = -8m/s,期望转动速度 ®”=Orad/s,期望初始位姿为(0, 0, tt/4),初始

(19)将控制律式(11)与(12)代入式(19)可得2—A:3%earctan( k4xe) +A:2sin(pe跟踪误差为(-7. 3, -8. 4, it/8) o图2 (a) — (d)分别是具有速度饱和约束控

v(0= ------------------; • --------------WO (20)制器和不考虑速度饱和约束控制器轨迹跟踪结果以及实际控制输入量。7(-・<

Xr, yr, 0”在« e [0, 00)一致有界。因为在te

[o, oo), y(t)正定且单调非递增，所以0spV(0),即 V(t)在 te [0, 00)有界。吋+gsin(2径)V(«) =k.xp 二 ・

slu)M£+士+1---+(a)具有速度饱和约束—A:3%e arctan (A:4xe) +k2sin2cpe(兔签+儿儿)—

/ 2 丄 2 丄 i、3/2(xe +ye +1)(21)又因为兀点，儿，亿在肚［0, 8)—致有界,%

®m，%，5在£丘［0，°°)有界，由式(3)跟踪误差模型可知丄e，夕e，亿也在£丘［0, 00)有界。由于\"⑴中各项有界，即0(Q在t e ［0, 00)有界,x/m(c)不考虑速度饱和约 束控制器轨迹跟踪%£)在£ e ［0, 00)一致连续。由引理 2.1 ( Barbalat

(d)不考虑速度饱和约束控

制器实际控制输入量引理)可得limV( /) = lim—“

■

图2跟踪直线轨迹的仿真结果•3.2 圆弧轨迹跟踪令期望最大前进速度rn = -8 m/s,期望转动速度一Zc3%earctan( A:4xe) +A:2sin2(pe j = 05 = 0.4 rad/s,期望初始位姿为(0, -1, “/4),初

(22)始跟踪误差为(-5, -5, 0) o图3 (a) — ( d)分・4・机床与液压第47卷别是具有速度饱和约束控制器和不考虑速度饱和约束 控制器轨迹跟踪结果以及实际控制输入量。(a)具有速度饱和约束 (b)具有速度饱和约束控

控制器轨迹跟踪制器实际控制输入量(c)不考虑速度饱和约 束控制器轨迹跟踪(d)不考虑速度饱和约束控

制器实际控制输入量图3跟踪圆弧轨迹的仿真结果由图2中和图3中分别通过图(a)与图(c)、

图(b)与图(d)的比较可知，对于直线和圆形轨 迹，具有速度饱和约束控制器的实际轨迹更逼近其参 考轨迹，并且控制输入量平稳地约束在指定范围内。

4结论研究了输入受限的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 问题，通过构造新的控制输入量设计出具有全局渐进

稳定的跟踪控制器。仿真实验表明，该控制器对速度 饱和约束下的轨迹跟踪有良好的控制效果，轮式机器

人的实际轨迹能够平滑逼近其参考轨迹，提高了轨迹 跟踪的精度。参考文献：[1] LIANG Z Y,WANG C L,CHEN H,et al.Adaptive Dynam­

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(1):118-122.(责任编辑：卢文辉)