2020年江苏中考数学填空压轴题专题(含解析)

一．填空题

1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是 ．

2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为 ．

4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为 ．

5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE= ．

6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为 ．

7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N= ．

8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 ．

9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重

合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP= ．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．

11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为 ．

12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP交AP与H，AB=2

，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP= ．

13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为 cm2．

14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP= ．

15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．

16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为 ．

17． 如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为 ．

18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=是 ．

x上，则A2014的坐标

19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为 cm．

20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为 ．

21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧则图中阴影部分的面积是 ．

上的一点，且∠EPF=50°，

22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为 ．

23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．

24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．

25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为 ．

26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为 ．

27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为 ．

28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为 ．

29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为 ．

30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线

上，

将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是 ．

31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 ．

32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．

33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF= ．

34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为 ．

35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积 ．

36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这

张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．

37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为 ．

38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是 ．

三．解答题

39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根． （1）求直线AB和OB的解析式． （2）求抛物线的解析式．

（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．

参与试题解析

一．填空题（共38小题）

1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是 P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2） ．

【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB， ∴直线L的解析式为；y=2x﹣8， ∠BAO+∠PAC=90°， ∵PC⊥x轴，

∴∠PAC+∠APC=90°， ∴∠BAO=∠APC， ∵∠AOB=∠ACP， ∴△AOB∽△PCA， ∴∴

==

， =，

设AC=m，则PC=2m，

∵△PCA≌△PDA， ∴AC=AD，PC=PD， ∴

=

=，

如图1：当△PAD∽△PBA时，

则则

==

， =，

=2，

）2， ，

∵AB=∴AP=4

∴m2+（2m）2=（4∴m=±4，

当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8）， 当m=﹣4时，如图2，

PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），

如图3，若△PAD∽△BPA，

则==，

=

， ）2，

PA=AB=×2则m2+（2m）2=（∴m=±1，

当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），

当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；

则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．

故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．

2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 3＜x＜7 ． 【解答】解：如图所示：

∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0）， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7． 故答案为：3＜x＜7．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为

和

．

【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8， ∴AB=

=6，

∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠EAD， 在△ABD与△AED中，∴△ABD≌△AED，

∴∠AED=∠B=90°，BD=DE， 如图1，过M作MP⊥DE于P， ∵EM平分∠PEC， ∴∠PEM=45°， ∴PE=PM，

∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的， ∴EC′=EC=AC﹣AE=4， 设PE=PM=x，则PC′=4﹣x， ∵tanC=tanC′=

，

，

∴解得：x=∴EM=

， ， PM=

；

，

如图2，∵tanC=∴DE=BD=3， ∴CD=C′D=5， ∴C′E=2， ∵tanC′=tanC=∴EM=， ∴DM=

=

，

=．

和

．

综上所述：折痕的长度为：故答案为：

和．

4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为

或

或

．

【解答】解：（1）当BD=BQ， ∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4， 则AB=5，

过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图， ∵D为AB的中点，

∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2， ∴BQ=BD=，QM=﹣2=， ∴∠3=90°﹣∠B， 而∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠B，

又∵Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B， 而∠1+∠EDF+∠2=90°， ∴∠1=∠B，即∠1=∠2， ∴△DQM∽△DPN，

∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：， ∴PN=， ∴AP=+=

；

（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图， DA=DC=，

而Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠EDF=∠A， ∴△CPD∽△CDA，

∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3， ∴CP=

，

∴AP=3﹣=；

（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ， 而∠EDF=∠A，

∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，

∴Rt△APD∽Rt△ABC，

∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3， ∴AP=故答案为

． 或

或

．

5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=

．

【解答】解：∵AB=4，AD=3， ∴BD=5，

∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E， ∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，

∵当点C落在矩形ABCD的对角线上， ∴D，C′，B三点共线， ∴C′D=2，∠DC′E=90°， ∵DE=4﹣CE， ∵DE2=DC′2+C′E2， 即（4﹣CE）2=22+CE2， ∴CE=．

故答案为：．

6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为 2或5或18 ．

【解答】解：由题意可知，AF⊥BE， ∴∠BAF+∠ABE=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠D=90°， ∴∠BAF+∠DAM=90°， ∴∠DAM=∠ABE， ∴△ABE∽△DAM， ∴

=

， ，

=

=10，

∴=

∴DM=8，AM=

①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18， ②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5， 综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．

7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=

．

【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′， ∴A′B=AB=1，

∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点， ∴MD=NC=， ∴BN=BC﹣NC=1﹣=

，

）2=

，

在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（所以，A′N=故答案为：

=．

．

8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 ．

或

【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P

∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上， ∴MD′=PD′，

设MD′=x，则PD′=BM=x， ∴AM=AB﹣BM=7﹣x， 又折叠图形可得AD=AD′=5， ∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4， 即MD′=3或4．

在Rt△END′中，设ED′=a，

①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a， ∴a2=22+（4﹣a）2， 解得a=，即DE=，

②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a， ∴a2=12+（3﹣a）2， 解得a=，即DE=． 故答案为：或．

9．如图，在正方形ABCD中，AB=

，点P为边AB上一动点（不与A、B重

合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP= ﹣1或 ．

【解答】解：连接AE，

∵四边形ABCD、APEF是正方形， ∴A、E、C共线， ①当CD=CE=∴AP=

AE=

时，AE=AC﹣EC=2﹣﹣1

CD=1，

，

②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=∴AE=AC﹣EC=1， ∴AP=

AE=

．

﹣1或

．

∴当△CDE为等腰三角形时，AP=故答案为

﹣1或

．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是 60 度，阴影部分的面积为

．

【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°， ∴△ACA′是等边三角形． ∴∠ACA′=60°，

∴∠A′CB=90°﹣60°=30°， ∵∠CA′D=∠A=60°， ∴∠CDA′=90°，

∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°， ∴∠CB′D=30°，

∴CD=CB′=CB=×2=1， ∴B′D=

=

，

=

，

∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×S扇形B′CB=

=

， ﹣

则阴影部分的面积为：故答案为：

﹣

．

，

11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为 ．

【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，

，

∴△BAD≌△CAD′（SAS）， ∴BD=CD′． ∠DAD′=90° 由勾股定理得DD′=∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得CD′=∴BD=CD′=故答案为：

， ．

， ，

12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP交AP与H，AB=2﹣2、2或2 ．

，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP= 4

【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示． ∵HD=HC，

∴点E为CD的中点， ∵EF∥AD，

∴FH为△ABP的中位线，

∴AH=HP． ∵DH⊥AP，

∴△DAP为等腰三角形， ∴AD=DP．

设BP=a，则CP=4﹣a，

由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2， 解得：a=4﹣2

，或a=﹣4﹣2

（舍去）；

②当DH=DC时，如图2所示． ∵DC=AB=2∴DH=2

．

，

，

在Rt△AHD中，AD=4，DH=2∴AH=∴AH=DH，

∴∠DAH=∠ADH=45°． ∵AD∥BC，

∴∠APB=∠DAH=45°， ∵∠B=90°，

∴△ABP为等腰直角三角形， ∴BP=AB=2

； =2

，

③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．

∵CH=CD，CE⊥DH， ∴DE=HE=DH． ∵DH⊥CF，DH⊥AP， ∴CF∥AP， ∵AF∥CP，

∴四边形AFCP为平行四边形， ∴AF=CP．

∵EF∥AH，DE=HE，

∴DF=AF=AD=2，

∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2． 综上所述：BP的长度为4﹣2故答案为：4﹣2

、2

、2

或2．

或2．

13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为 2或 cm2．

【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2， 如图2，等腰三角形的高为：则其面积为：×2×故答案为：2或

．

=

．

=

，

14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP= 或1 ．

【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，

∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'， ∵∠ABP+∠PBC=90°，

∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°， ∴△BPP'是等腰直角三角形， ∴∠BP'P=45°，

∵∠APB=∠CP'B=135°， ∴∠PP'C=90°，

设BP=BP'=a，AP=CP'=b， 则PP'=

a，

在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3， ∴CP'=

=

，

∵BP的长a为整数， ∴满足上式的a为1或2， 当a=1时，AP=CP'=

，

当a=2时，AP=CP'=1， 故答案为：

或1．

15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是

或4 ．

【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况： ①△B′FC∽△ABC时，

=

，

又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF， 所以 解得BF=

=；

=

，

，

②△B′CF∽△BCA时，

又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′F， 又BF+FC=8，即2BF=8， 解得BF=4． 故BF的长度是故答案为：

或4．

或4．

16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为

．

【解答】解：如图所示，设PF⊥CD， ∵BP=FP，

由翻折变换的性质可得BP=B′P， ∴FP=B′P， ∴FP⊥CD，

∴B′，F，P三点构不成三角形，

∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAG=∠AGD， ∵∠BAG=∠B′AG， ∴∠AGD=∠B′AG， ∴GB′=AB′=AB=5， ∵PB′（PF）⊥CD， ∴PB′∥AC， ∴△ACG∽△PB′G，

∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3， ∴B′C=

=4，

∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9， ∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5， ∴AC：PB′=9：5， ∵AC=3， ∴PB′=． 故答案为：．

17． 如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为 2或2﹣2 ．

【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2， ∴AB=2

，∠B=∠A′CB=45°，

①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，

∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处， ∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x， ∵∠B=45°， ∴A′C⊥AB， ∴BH=∴x∴x=2∴AD=2

BC=+

=2

，DH=，

A′D=

x，

﹣2， ﹣2；

②如图2，当A′D∥AC，

∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处， ∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD， ∵∠A′DC=∠ACD， ∴∠A′DC=∠A′CD， ∴A′D=A′C， ∴AD=AC=2，

综上所述：AD的长为：2或2

﹣2．

18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=（2014，2016） ．

x上，则A2014的坐标是

【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C， 由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°， ∴CO=OB1cos30°=∴B1的横坐标为：

，

，则A1的横坐标为：

，

连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上， ∵点B1，B2，B3，…都在直线y=∴直线AA1的解析式为：y=

x上，AO=2，

x+2，

∴y=∴A1（

×+2=3，

，3），

，

同理可得出：A2的横坐标为：2∴y=

×2

+2=4，

∴A2（2∴A3（3…

，4）， ，5），

A2014（2014，2016）．

，2016）．

故答案为：（2014

19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为 2π cm．

【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm， ∴AC=3cm， 设⊙I的半径为x，

∵⊙I是Rt△ABC的内切圆， ∴AE=3﹣x，BF=4﹣x， 故3﹣x+4﹣x=5， 解得：x=1，

故⊙I的周长为2πcm．

故答案为：2π．

20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为

或﹣1 ．

【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2， ∴BC=2

，

分两种情况：

①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°， ∴∠AFC=90°， ∴AF⊥BC， ∴BF=CF=BC=

，

∵直线l垂直平分BF， ∴BD=BF=

；

﹣2，

②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2∵直线l垂直平分BF， ∴BD=BF=故答案为：

﹣1； 或

﹣1

21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧则图中阴影部分的面积是 6﹣

π ．

上的一点，且∠EPF=50°，

【解答】解：连接AD， ∵BC是切线，点D是切点， ∴AD⊥BC，

∴∠EAF=2∠EPF=100°， ∴S扇形AEF=

=

π，

S△ABC=AD•BC=×2×6=6， ∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣故答案为：6﹣

π．

π．

22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为

或 ．

【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6， ∴AD＜DF， 故分两种情况：

①如图所示，当FA=FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，则HG⊥BC，

DG=AD=2， ∴Rt△DFG中，GF=∴FH=6﹣4∵DG∥PH， ∴△DGF∽△PHF， ∴

=

，即

=

，

，

=4

，

解得PF=﹣6，

﹣6=

；

∴DP=DF+PF=6+

②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则 Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16； Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36； 联立两式，解得FG=∴FH=6﹣

，

，

∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH， ∴△DFG∽△PFH，

∴=，即=，

解得PF=﹣6，

﹣6=．

，

∴DP=DF+PF=6+故答案为：

或

23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为

．

【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD， ∵∠COD=90°，

∴CD是直径，即CD=10， ∵C（0，5）， ∴OC=5， ∴OD=

=5

，

∵∠OBC=∠ODC， ∴cos∠OBC=cos∠ODC=故答案为：

．

=

=

．

24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° ．

【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5

=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）

=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900°﹣（5﹣2）×180° =900°﹣0° =360°．

故答案为：360°．

25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为 【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1， ∵AB=4，BC=3， ∴BD=5，

根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°， ∴BA′=2，

设AP=x，则BP=4﹣x， ∵BP2=BA′2+PA′2， ∴（4﹣x）2=x2+22， 解得：x=， ∴AP=；

②点A落在矩形对角线AC上，如图2， 根据折叠的性质可知DP⊥AC， ∴△DAP∽△ABC，

或 ．

∴∴AP=

，

=

=．

故答案为：或．

26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为

或 ．

【解答】解：①：CD'=BD'时，如图， 由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE， ∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°， ∵△BCD′为等腰三角形， ∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB， ∴∠DCD′=∠ABD′， 在△DD′C和△AD′B中，

，

∴△DD′C≌△AD′B， ∴DD′=AD′， ∴DD′=AD′=AD，

∴△ADD′是等边三角形， ∴∠DAD′=60°， ∴∠DAE=30°， ∴DE=AE，

设DE=x，则AE=2x， （2x）2﹣x2=42， 解得：x=即DE=

， ．

②：当CD'=CB时，如图，连接AC， 由于AD'=4，CD'=4， 而AC=

=

＞4+4；

故这种情况不存在．

③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G， 由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF， 从而由勾股定理求得D'F=

=

=

，

又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，

∴，即；

解得x=

综上，故答案为：或．

27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为 （2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2） ．

【解答】解：连接EC．

∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°， ∵∠ACB=45°，

∴∠ECD=90°，

∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，

①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）． ②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）． ③当BD=AB=2

时，E（2，2

）或（2，﹣2

），

）．

故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2

28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为 7或

．

【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，

∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN， ∴∠BMD=∠NDC， ∴△BMD∽△CDN． ∴得

=

=

，

∵DN=AN， ∴得

=

=

，

∵BD：DC=1：4，BC=10， ∴DB=2，CD=8，

设AN=x，则CN=10﹣x， ∴∴DM=

=

=

，

，

，BM=

∵BM+DM=10，

∴+=10，

解得x=7， ∴AN=7；

②当A在CB的延长线上时，如图2， 与①同理可得△BMD∽△CDN． ∴得

=

=

，

∵BD：DC=1：4，BC=10， ∴DB=

，CD=

，

设AN=x，则CN=x﹣10， ∴

=

=

，

∴DM=，BM=，

∵BM+DM=10， ∴解得：x=∴AN=

+， ．

． =10，

故答案为：7或

29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为 2或1 ．

【解答】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M． ∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上， ∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x， 又由折叠的性质知AB=AB′=5，

∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2 即（7﹣x）2=25﹣x2， 解得x=3或x=4，

则点B′到BC的距离为2或1． 故答案为：2或1．

30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线

上，

将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是 2 ．

【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，

在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．

令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）． 则OB=4，OA=2． ∵∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠DAF=90°，

又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠DAF=∠OBA， 在△OAB和△FDA中，

，

∴△OAB≌△FDA（AAS）， 同理，△OAB≌△FDA≌△BEC， ∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，

∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）． 将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣∴OE=6，

则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣即G的坐标是（﹣2，6）， ∴CG=4﹣2=2． ∴a=2． 故答案为：2．

得：x=﹣2．

．

31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 或 ．

【解答】解：分两种情况：

①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，

∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°， ∴∠CDF=∠EFN， 由折叠可得，EF=EB， ∴∠EFN=∠EBN， ∴∠CDF=∠CBD， 又∵∠DCF=∠BCD=90°， ∴△DCF∽△BCD， ∴

=

，即

=，

∴CF=，

∴FN==，

；

∴CN=CF+NF=+=

②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，

∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°， ∴∠CDF=∠CBD， 又∵∠DCF=∠BCD=90°，

∴△DCF∽△BCD， ∴

=

，即

=，

∴CF=，

∴NF==，

﹣=，

或．

∴CN=NF﹣CF=

综上所述，CN的长为故答案为：

或．

32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 2或2或2 ．

【解答】解：当∠APB=90°时（如图1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°，

∴△BOP为等边三角形， ∵AB=BC=4， ∴AP=AB•sin60°=4×

=2

；

当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°，

∴BP===2，

在直角三角形ABP中， AP=

=2

，

情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°，

∴△AOP为等边三角形， ∴AP=AO=2， 故答案为：2

或2

或2．

33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=

．

【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：

∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形， ∴∠MDF=60°， ∴∠MFD=30°，

设MD=x，则DF=2x，FM=

x，

∵DG=1，∴MG=x+1， ∴（x+1）2+（解得：x=0.3， ∴DF=0.6，AF=1.4，

∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×∵CD=BC，∠C=60°， ∴△DCB是等边三角形， ∵G是CD的中点， ∴BG⊥CD， ∵BC=2，GC=1， ∴BG=

，

=

，

x）2=（2﹣2x）2，

设BE=y，则GE=2﹣y， ∴（

）2+y2=（2﹣y）2，

解得：y=0.25， ∴AE=1.75，

∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05， ∴EF=故答案为：

=．

=

．

34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为

≤CF≤3 ．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，

当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示： 当B与E重合时，CF最小，如图2所示： 在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3， ∴AG=

=4，

∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x， 在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2， ∴（3﹣x）2+12=x2， ∴x=， ∴≤CF≤3． 故答案为≤CF≤3．

35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积

．

【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P． ∵∠B=60°， ∴CK=BC•sin60°=4×

=2

，

∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离， ∴点E到CD的距离是2

，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，

由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG， ∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG， ∴∠BCE=∠GCF， 在△BCE和△GCF中，

，

∴△BCE≌△GCF（ASA）； ∴CE=CF，

∵∠B=60°，∠EPB=90°， ∴∠BEP=30°， ∴BE=2BP，

设BP=m，则BE=2m， ∴EP=BE•sin60°=2m×由折叠可知，AE=CE， ∵AB=6，

∴AE=CE=6﹣2m， ∵BC=4， ∴PC=4﹣m，

在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（ ∴EC=6﹣2m=6﹣2×=， ∴CF=EC=， ∴S△CEF=××2 故答案为

．

=

，

﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，

=

m，

36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这

张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=

．

【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x， ∵DE=EC，AB=CD=8∴DE=CD=4

，

，

在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2， ∴（4

）2+x2=（10﹣x）2，

解得x=2.6，

∴DM=2.6，AM=EM=7.4，

∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°， ∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°， ∴△DME∽△FEN， ∴∴∴EN=

==， ， ，

∴AN=EN=∴tan∠AMN=

， =

，

如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN， ∴EM∥GH， ∴∠NME=∠NHG，

∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG， ∴∠AMN=∠EHG， ∴tan∠EHG=tan∠AMN=

．

=

．

方法二，tan∠EHG=tan∠EMN=故答案为

．

37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为 4或4﹣ ．

【解答】解：由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE， ∵点B、C′、D′在同一直线上， ∴∠BC′E=90°， ∵BC=6，BE=2CE， ∴BE=4，C′E=CE=2， 在Rt△BC′E中，∴∠C′BE=30°，

①当点C′在BC的上方时，

如图1，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，

=2，

∴EG=AB=3，AG=BE=4， ∵∠C′BE=30°，∠BC′E=90°， ∴∠BEC′=60°，

由折叠的性质得，∠C′EF=′CEF， ∴∠C′EF=∠CEF=60°， ∵AD∥BC

∴∠HFE=∠CEF=60°， ∴△EFH是等边三角形， ∴在Rt△EFG中，EG=3， ∴GF=

，

，

∴AF═4+

②当点C′在BC的下方时，如图2，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形， ∴AF=BG，FG=AB=3，∠FEH=60°， 在Rt△EFG中，GE=∵BE=4， ∴BG=4﹣∴AF=4﹣

， ，

或4﹣．

．

，

综上所述，AF的长是4故答案为：4

或4﹣

38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是 2≤x≤6 ．

【解答】解：如图：

①当F、D重合时，BP的值最小； 根据折叠的性质知：AF=PF=10；

在Rt△PFC中，PF=10，FC=6，则PC=8； ∴BP=xmin=10﹣8=2；

②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=6，即的最大值为6． 故答案为：2≤x≤6．

BP