关于环境污染的内生模型的均衡分析

关于环境污染的内生模型的均衡分析

作者：李连庆 姜殿玉 李 丽

来源：《中国集体经济·上》2010年第10期

摘要:文章利用Rebelo的内生增长模型,将污染引入效用函数,建立一个内生增长模型,得到均衡解和均衡增长率,对均衡解进行了均衡分析和动态分析,并分析了各要素对均衡增长率的影响。

关键词:环境污染;Rebelo模型;内生经济增长;动态最优化

在低碳经济流行的今天,研究经济发展和污染的关系成为一大课题,本文从宏观内生增长的角度来对这两者进行初步分析。经济的发展不可避免的带来环境污染,想彻底消除污染是不可能也是不现实的。如何在经济发展和环境污染之间保持平衡,是当前研究的一个热门话题。本文以Rebelo模型为基础,将环境污染P引入效用函数,将人口单位化为1。将物质资本K和自然资源R引入生产函数,生产函数采用类似于Cobb-Douglas形式Y=A(uK)α(νR)α′,其中u、ν分别表示物质资本K和自然资源R应用于生产当中的比重.其余的物质资本和自然资源用来消除污染,消除的污染的量为I=B(u′K)ξ(ν′R)η,其中ξ、η分别表示物质资本和自然资源对污染消除量的贡献份额。社会计划者基于如下跨时最优决策问题: max(CP)edt① S.T. K•=Y-C-δK② P•=P-I③

ρ表示时间偏好率,C表示社会总消费,δ表示资本的折损率,ρ,δ,A,B,α>0,0 首先我们建立Hamilton函数: H=(CP-η)r+λ(Y-C-δK)+μ(P-I)④ 一阶条件: HC=P-ηrC-r′-λ=0⑤ Hu=+=0⑥ Hν=+=0⑦

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HK=λ-δ-=ρλ-λ•⑧

HP=(-ηr)P-ηr-1++μ1-=ρμ-μ•⑨ 可得: ν=

其中a=是一正常数。 欧拉方程: gλ=-ηrgP-rgC⑩ 令: Z=,χ=,φ= X=(Z,φ,χ,u)T

可以得到一个四维动力系统: gZ=α′(χ-Z-φ+δ)+gu(α+){11} gφ=ξ(Z-χ-δ)-η′φ′-{12} gχ=(--1)Z+χ-+δ{13} ()gu=αZ(-2)+ηφ(-2)-+1{14}

这个系统和Lotka-Volterra系统有点类似,只不过u在这里是一个变量。

命题1:设均衡解为X*=(Z*,φ*,χ*,u*)T,则χ*=(Z*,φ*,χ*,u *)T可由系统{11}、{12}、{13}、{14}唯一给出。

证:由X•=0,可以由系统得到均衡解: φ*= Z*= χ*=Z*+φ*-δ ν*=

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u*=

下面进行动态分析,设系统在均衡点的Jacobi矩阵为J,则:

J=D-α′++-wχ* (α′-w*φ*)w *1ξ- ---wχ*-ξ-w*w*φ* 1--1 01 -η2--w*χ*w*w*χ* 1{16} 其中: w= w1=α+ w2= w3=

D=diag(Z*,φw*,χ*,-α2/uw*) 所以: |J|=

由于η′>ξ,所以|J|>0。

trJ=-α′Z*-+χ*-(w*2φ*-w*3χ*φ*+-w1Z*)w* 经验证: trJ>0

均衡点X*有一个二维稳定流形,无论初始点在何处,都会经过C,u,v的动态调整,使X=(Z,φ,χ,u)T最终收敛于X*。 由②和{15}计算可得:

g*Y=g*C=g*K=g*P=Z*-χ*-δ={17}

我们发现达到均衡时,经济的均衡增长率只和环境污染的处理水平ξ,η有关,通过分析我们可以得到以下命题。

命题2:当η>ξ时,g*Y=g*C=g*K=g*P>0,此时的经济的均衡增长率为正;当η≤ξ时

g*Y=g*C=g*K=g*P≤0,此时的经济的均衡增长率非正。也就是自然资源对环境污染处理的贡献越大,均衡增长率越高,物质资本对环境污染的处理的贡献份额越大,均衡增长率越低。

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参考文献:

1、雷冬霞,胡适耕.全球变暖的宏观经济增长模型[J].数学杂志,2010(30).

2、何一农,胡适耕.环境污染、内生人口增长与经济增长模型[J].华中科技大学学报,2004(9). 3、张学清,胡适耕,王海军.一个带有污染的随机内生增长模型[J].华中科技大学学报,2005(5). 4、王海建.资源环境约束之下的一类内生经济增长模型[J].预测,1999(4). 5、陈超,王海建.环境内在性与“干中学”内生经济增长[J].预测,2002(2). 6、胡适耕,吴付科.宏观经济的数理分析[M].科学出版社,2004.

*本文属国家自然科学基金(70871051)、淮海工学院科研启动基金(KQ07081)。

(作者单位:李连庆,淮海工学院理学院;姜殿玉,淮海工学院理学院;李丽,连云港环境监测中心)