抛物线中的定值、定点问题

抛物线中的定值、定点问题

例1 过抛物线y2px(p0)的焦点的一条直线和此抛物线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，求证：

2y1y2p2.

【规范解答】

pp,0)，可设其方程为xmy，代入y22px 22pp222得y2p(my)，即y2pmyp0.该方程的两根就xmy是两个交点A,B的纵坐标

22证法一：因直线AB过焦点F(y1,y2，由韦达定理：y1y2p2.

2y12y2p证法二：因A,B在抛物线上，故可设A(,y1),B(,y2). 又F(,0)，故

22p2p2y12py2pFA(,y1),FB(,y2),因A,F,B三点共线，所以

2p22p22y12py2p()y2()y1 2p22p22移项分解因式得：(y1y2p)(y1y2)0，其中y1y2,故

y1y2p2.

证法三：如图1，过点A,B,F分别作准线的垂线，垂足为

A1,B1,F1.要证明y1y2p2，只要证明

A1F1B1F1F1F.

2AFAA1,12；同理34.而

A1AFB1BF1800（A1A∥B1B），故

12341800，

0所以1390.A1FB190.

0由直角三角形的性质得：A1F1B1F1F1F.

【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证

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。

法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）； （2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为xmy2pp而非yk(x)，为什么？首先，这样22代入可消去x直达目标y1y2p，运算便捷；其次，本题中直线可能与y轴平行而斜率不存在，但不可能与y轴垂直，设xmy同样的考虑；

（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于p.“寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！

借题发挥

在证法一中若改变AB直线的预设并在联立方程中消去y后,观察x1,x2之积得：

2p省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有2p2变式1 条件同例1，则x1x2=定值。

4 以AB为直径作圆，考察该圆与准线的位置关系得： 变式2 条件同例1，则以AB为直径的圆与准线相切。 设直线AB的倾斜角为，计算AB弦长得: 变式3 条件同例1，设直线AB的倾斜角为，则|AB|最短，ABmin2p,我们称这条弦为通径） 在变式2中,计算SAOB得: 变式4 条件如变式3，则SAOB2p0.（由此立刻得到：当90时焦点弦2sinp2.. 2sin0提示：给出倾斜角为，意味着斜率ktan（先验证90时AB2p），设直线AB的方程为

yk(xp)代入y22px可得x1x2，由于AB过焦点，依据抛物线的定义可得焦点弦2ABx1x2p，代入后化简可得结论.同学们也可以尝试在图1中用几何方法证明.

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。

结合抛物线定义与韦达定理,研究AF、BF例数之和得： 变式5 条件同例1，求证：

112为定值. |AF||BF|p 将结论视作条件，逆向变式得：

变式6 一条直线与抛物线y2px(p0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，满足：y1y2p(或

22p2x1x2)，则这条直线过此抛物线的焦点.

4我们可以把上面的变式归纳如下：

方法点拨

抛物线焦点弦的两端点的横（纵）坐标之积为定值是一个经典结论，若增设已知条件、改变设问方式、变换研究问题视角包括逆向考虑可得很多优美结论.

小结论

通径公式：|AB|2p 2sin

2变式7 一条直线与抛物线y2px(p0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，满足：OAOB0，则

这条直线过定点.

2变式8 一条直线与抛物线y2px(p0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，满足：OAOB2，则

这条直线过定点.

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