第９卷第９期 ２ ０ １ ０年９月 南阳师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．９ ＮＯ．９ Ｓｅｐ．２０１０ Ｃ＋＋浮点型数据存储格式研究 程 宁 ，崔 凯 （１．南阳师范学院计算机与信息技术学院，河南南阳４７３０６１； ２．河南省信息咨询设计研究有限公司软件开发处，河南郑州４５０００８） 摘 要：浮点型数据的存储格式遵从ＩＥＥＥ ７５４标准，在计算机程序设计语言中有很重要的意义．在研究ＩＥＥＥ ７５４的存 储原理、实现方法的基础上，通过实验给出在ｃ＋＋中一个浮点数的存储格式和实现程序，提出正确理解问题的方法． 关键词：Ｃ＋＋；浮点数；存储格式 中图分类号：ＴＰ ３Ｏ 文献标识码：Ａ 文章编号：】６７１—６１３２（２０１０）０９—００５９—０４ 在计算机Ｃ＋＋程序设计语言中，浮点数的表 示与使用一直是一个重点、难点．浮点型数据的二 进制存储格式是一个比较难以理解和描述的问题， 不同的教科书采用不同的讲解方法，个别还存在概 念上的错误，给学习、理解和正确使用带来误导． 制定的二进制浮点运算标准．标准规定了三种浮点 数的表示方式：单精度浮点数、双精度浮点数和扩展 双精度浮点数．标准中二进制浮点数由符号位、阶码 和尾数三部分构成，二进制浮点数基数为２，由于规 ｃ＋＋浮点数存储结构，在设计初期充分考虑到了 它的简单性、可移植性、稳定性和安全性，遵从了与 Ｃ／Ｃ＋＋相同的方式，使用ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数 运算标准，将浮点型数据分为：单精度浮点型 （ｆｌｏａｔ）、双精度浮点型（ｄｏｕｂｌｅ）和扩展双精度浮点 型（１ｏｎｇ ｄｏｕｂｌｅ）． 格化方法，尾数最高位数字位总是１，表示为１．ｆ， ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数运算标准将尾数最高位１隐 含，使尾数表示的数据范围比实际存储的多１位． 按照ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标准，单精度 浮点数ｆｐ 山和双精度浮点数ｆｐ 。 可以表示为： ｆｐ ｋ＝（一１） ×１．ｆ×２ 一 ｆｐｄ。 ｂｌ ＝（一１） ×１．ｆ×２“ ‘ １ ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数运算标准 １．１浮点数 计算机中数据的基本类型包括整型、实型和字 符型三大类．实型数据的存储格式相对于整形、字 符型复杂很多，一般使用浮点表示法来表示实数型 数据．浮点型数据是指采用指数方法，利用小数点 式中：Ｓ为符号位，ｆ为尾数，ｅｘｐ为阶码． （１）符号ｓ决定浮点数是正数或负数，Ｓ＝０为 正数，Ｓ＝１为负数，对于数值０的符号位特殊处理． （２）尾数ｆ是二进制小数，用源码表示，ｆ＝ Ｍ一１，ｆ的数值范围为０≤ｆ＜１． （３）阶码ｅｘｐ是指数Ｅ的移码…，单精度浮点 数ｅｘｐ＝Ｅ＋１２７，双精度浮点数ｅｘｐ＝Ｅ＋１０２３． 的位置可以根据需要左右浮动，灵活地表示更大范 围内的实型数据． 一ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标准存储格式为： 单精度浮点数占用３２个二进制位（４个字节）、双 精度浮点数占６４位（８个字节）、扩展双精度浮点 数占７９位以上．单精度二进制浮点数在内存中的 存储格式如图１所示． 个浮点数Ⅳ可以由两个数 和Ｅ来表示： Ｎ＝Ｍ×Ｂ ，其中 为基数，Ｅ为指数， 为尾数， 是形如±ｄ．ｄｄｄ．．．ｄｄｄ的ｎ位数，如果Ｍ的第一位 是非０整数，即０＜ｄ＜Ｂ，Ｍ称作规格化．规格化规 定有效数字的最高位必须非零，符合该标准的数称 为规格化数（Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｎｕｍｂｅｒｓ），否则称为非规 格化数（Ｄｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｎｕｍｂｅｒｓ）．浮点数都是近似 ３ｌ ３０ ２３ ２２ Ｏ 图１ 单精度浮点数存储格式 表示实数的，数据精度由尾数 决定，数的表示范 围由Ｂ和 决定． １。２ ＩＥＥＥ ７５４ 图１符号Ｓ占１位、阶码ｅｘｐ占８位、尾数ｆ占 ２３位，尾数ｆ是第０～２２位，阶码Ｅ是第２３～３０ 位，第３１位存放符号位Ｓ． ＩＥＥＥ ７５４是电子电气工程师协会 ＩＥＥＥ（Ｉｎｓｔｉ一 ｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ）１９８５年 收稿日期：２０１０—０６—０５ 双精度浮点数内存存放格式和单精度浮点数 相似，双精度浮点数占用８个字节共６４位内存单 作者简介：程宁（１９８３一 ），河南南阳 ，助教，主要从事计算机教学、计算机应用方面的研究 南阳师范学院学报 第９卷 元，０～５１共５２位存放尾数ｆ；５２～６２位共１１位存 放阶码ｅｘｐ；第６３位存放符号ｓ，如图２所示． ！ ｌ ：：！ Ｉ ６ ３ ６２ ５２ ５ｌ Ｏ 图２双精度浮点数存储格式 ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标准阶码部分使用 移码形式表示，实际值为二进制指数值与一个固定 值（１２７或１０２３）的和．因为，指数的值可能为正也 可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位ｓ 和Ｅ自身的符号位将导致不能简单地进行大小比 较．所以，指数部分通常采用一个无符号的正数值 存储．单精度阶码的值是一１２６～＋１２７加上１２７， 得１～２５４（０和２５５是特殊值），最小值为１，最大 值为２５４．浮点数计算时，指数值减去移码值就是 实际指数大小．在ＩＥＥＥ ７５４标准中，尾数Ｆ的值是 去掉小数点前边的一位，通常这位数就是１，这样 实际上使尾数的有效位数为２４位，即尾数为１．ｆ． １．３二进制浮点数特殊值 ＩＥＥＥ ７５４中所有的数字位都得到了使用，通 过定义明确地表示了数值０和无穷大．在ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标准中当阶码取值为０、２５５ 或尾数为０、全１等情况时，浮点数的值根据符号 ｓ、阶码ｅｘｐ和尾数ｆ有特殊的定义．阶码ｅｘｐ的取 值范围为１～２５４，最小值ｅｘｐ ｉ ＝１，最大值ｅｘｐ… ＝２５４，根据尾数ｆ的不同，浮点数数值的定义见 表１． 表１ ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标准数值表示 表１中Ｅ为指数，单精度浮点数Ｅ＝ｅｘｐ一 １２７，双精度浮点数Ｅ＝ｅｘｐ一１０２３，ＮａＮ（Ｎｏｔ ａ Ｎｕｍｂｅｒ）为非数值．当阶码ｅｘｐ＝ｅｘｐ…一１为全０， 尾数ｆ＝０时，浮点数的值为±０，当阶码ｅｘｐ＝ ｅｘｐ…＋１为全１，尾数ｆ＝０时，浮点数的值为± ∞，尾数ｆ≠０时浮点数为ＮａＮ非数值．所以，特殊 浮点数±０和±ｏ。的ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标 准存储格式见表２． ２ Ｃ＋＋中的浮点数 ｃ＋＋中基本数据类型分为整型、实型、字符型 等，其中实型又称为浮点型，分为单精度浮点型、双 精度浮点型和长双精度浮点型．ｃ＋＋浮点型数据 在内存中的存储格式按照ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数 运算标准存储，单精度浮点型占４个字节，双精度 浮点型占８个字节，长双精度浮点型可用６４位、８Ｏ 位或１２８位表示，在常用的Ｖｉｓｕａｌ Ｃ＋＋６．０编译 系统中用６４位表示，占８字节．Ｃ＋＋浮点型数据的 数据类型 见表３． 表２ ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点运算标准特殊值 类型名 长度（字节） 取值范围 设ｘ＝３．１４１５９，根据ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数 运算规范，用单精度浮点型和双精度浮点型分别计 算Ｘ在内存中的存储形式． （１）单精度浮点型方式存储： Ｘ＝３．１４１５９的二进制表示为： Ｘ：１１．００１００１００００１ｌ１１ｌ１０１ 规格化二进制表示为： ｘ＝１．１００１００１０００１１１１ｔ０１×２’． 所以Ｓ＝０ ｅｘｐ：１２７＋１＝１２８，二进制为１０００００００． ｆ＝１ＯＯ１０Ｏｌ０００ｌｌｌ１ｌ０１ 单精度浮点数ｘ在内存中的存储形式为： ０１００ ００００ ０１００ １００１ ００００ １１１ｔ １１０１ ００００， 十六进制表示为４０ ４９ ＯＦ ＤＯ． （２）双精度浮点型方式存储： Ｘ＝３．１４１５９的二进制表示为： Ｘ＝ｌ１．Ｏ０１０Ｏｌ００００１１１ｌｌｌＯ０ｌ１１ｌ１ｌｌ１Ｏ１１ｌ０ｌ Ｏ１１１００００１ｌ０ 规格化二进制表示为： Ｘ＝１．１００ｌ００１００００１ｌ１１１１００１ｌｌ１１１１ｌ０１ｌ１０ １０１１１００００１１０×２ Ｓ：０ ｅｘｐ＝１０２３＋１＝１０２４，二进制为１００００００００００ 共１１位． ｆ＝１００１００１００００ｌｌ１１１ｌ００１ｌ１１１１１ｌＯ１１ｌ０１０ｌｌ １００００１ ｌＯ 双精度浮点数ｘ在内存中的存储形式为： ０１００ ｏ０００ ００００ １００ｌ ００１０ ０００ｌ ｌ１１ｌ １００１ １１１１ １１１０ １１１０ １０１１ １０００ ０１１０，十六进制表示为 ４０ ０９ ２１ ｆｅ ｅｂ ８６ ６ｅ． 第９期 程 宁等：ｃ＋＋浮点型数据存储格式研究 ・６ｌ・ ３ 实验 以下程序可以计算和验证ｃ＋＋中浮点数在内 存中的存储方式，在Ｖｉｓｕａｌ Ｃ＋＋６．０中输入，编辑、 编译运行程序，输入一个单精度浮点数和输入一个 双精度浮点数程序给出该双精度数在内存中的二进 制存储形式 引．通过运行程序可以进一步理解Ｃ＋＋ 浮点数存储原理和验证浮点数的存储格式． ３．１ 单精度浮点数计算程序 ＃ｉｎｃｌｕｄｅ＜ｉｏｓｔｒｅａｍ＞ ＃ｉｎｃｌｕｄｅ＜ｅｍａｔｈ＞ ｕｓｉｎｇ ｎａｍｅｓｐａｃｅ ｓｔｄ； ｖｏｉｄ ｍａｉｎ（） ｛ｆｌｏａｔ ｘ，ｆ＝０； ｉｎｔ ａ，ｉ，ｊ＝０，ｋ，ｌ； ｃｈａｒ ｂ［２３］，ｃ［２３］，ｄ［８］＝｛０｝，ｔ［３２］； ｃｏｕｔ＜＜”请输入一个单精度浮点数：”； ｃｉｎ＞＞ｘ： ｉｆ（Ｘ：＝０、 ｛ｔｏｕｔ＜＜”ＩＥＥＥ ７５４单精度０：Ｏ０ ００ ００ ００或 ８０ ００ ００ ００”＜＜ｅｎｄｌ： ｒｅｔｕｒｎ； ｝ ｉｆ（Ｘ＞＝０）ｔ［３１］＝０＋４８； ｅｌｓｅ ｔ［３１］＝１＋４８； Ｘ：ｌａｂｓ（Ｘ）； ｉｆ（Ｘ＞＝１）／／大于等于１的浮点数 ｛ａ＝ｉｎｔ（Ｘ）； ｆ＝ｘ～ａ： ｆｏｒ（ｉ＝０；ａ＞０；ｉ＋＋）／／计算整数部分 ｛ｂ［ｉ］＝ａ％２＋４８； ａ＝ａ／２； ｊ＋＋； ｝ ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜：２２；ｉ＋＋）／／计算小数部分 ｛ｆ＝ｆ ２．０； ｃ［ｉ］＝ｉｎｔ（ｆ）＋４８； ｉｆ（ｆ＞＝１．０）ｆ＝ｆ一１； ｝ ｝ ｅｌｓｅ／／小于１的浮点数 ｛ｉｎｔ ｆｌａｇ＝０； ｆ＝ｘ： ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜＝２３；） ｛ｆ＝ｆ ２．０； ｉｆ（ｆ＜１＆＆ｆｌａｇ＝＝０）ｊ＋＋； ｅｌｓｅ ｛ｃ［ｉ］＝ｉｎｔ（ｆ）＋４８； ｉｆ（ｆ＞＝１．０）ｆ＝ｆ一１； ｌｆａｇ：１： ｉ＋＋： ｝ ｊ＝一Ｊ； ｆ ｉｎｔ ｅ＝１２７＋Ｊ一１；／／求阶码 ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜８；ｉ＋＋） ｛ｄ［ｉ］：ｅ％２＋４８； ｅ＝ｅ／２； ｝ ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜８；ｉ＋＋） ｛ｔ［ｉ＋２３］＝ｄ［ｉ］；｝ ｋ＝Ｊ一１—１，１＝２２； ｆｏｒ（；ｋ＞＝０；ｋ一一，ｌ一一） ｛ｔ［１］＝ｂ［ｋ］；｝ ｉｆ（Ｘ＜１）ｋ＝１； ｅ］ｓｅ ｋ＝０； ｆｏｒ（；１＞：０；１一一，ｋ＋＋） ｛ｔ［１］＝ｃ［ｋ］；｝ ｅｏｕｔ＜＜”ＩＥＥＥ ７５４浮点数存储格式：”＜＜ ｅｎｄｌ； ｆｏｒ（ｉ＝３１；ｉ＞＝０；ｉ一 一） ｛ｅｏｕｔ＜＜ｔ［ｉ］； ｉｆ（ｉ％４＝＝０）ｅｏｕｔ＜＜””； ｝ ｅｏｕｔ＜＜ｅｎｄｌ： ｒｅ［ｔｌｒｎ； ｝ 输入单精度浮点数３．１４１５９，程序运行结果如 图３所示． 程序按照ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数运算标准，通 过计算得到单精度浮点数３．１４１５９的二进制浮点数 格式为０１００ ００００ ０１００ １００１ ００００ １１１１ １１０１ ００００，十 六进制为４０ ４９ ０Ｆ Ｄ０，与前边分析结果一致． 图３ ＩＥＥＥ ７５４二进制浮点数存储格式计算 ３．２浮点数存储格式验证程序 ＃ｉｎｃｌｕｄｅ＜ｉｏｓｔｒｅａｍ＞ ｕｓｉｎｇ ｎａｍｅｓｐａｅｅ ｓｔｄ； ｌｌｉｌｉｏｎ ＦＤａｔａ ｛ ｌｆｏａｔ ｆ； 南阳师范学院学报 ｄｏｕｂｌｅ ｄ； 第９卷 ｆ．ｄｉｓｐｌａｙｆ（）； ｆ．ｓｅｔｄ（）； ｆ．ｄｉｓｐｌａｙｄ（）； ｕｎｓｉｇｎｅｄ ｃｈａｒ Ｃ［８］； ｝； ｃｌａｓｓ Ｆ１ ｝ 取单精度浮点数３．１４１５９和双精度浮点数 ｛ ｐｒｉｖａｔｅ： ３．１４１５９输入程序中，运行结果如图４所示． ＦＤａｔａ ｆｄ； ｐｕｂｌｉｃ： ｖｏｉｄ ｓｅｒｆ（） ｛ｃｏｕｔ＜＜”输入一个单精度浮点数：”＜＜ ｅｎｄｌ； ｅｉｎ＞＞ｆｄ．ｆ： ｝ ｖｏｉｄ ｓｅｔｄ（） 图４浮点数在内存中的存储格式显示 ｛ｃｏｕｔ＜＜”输人一个双精度浮点数：”＜＜ ｅｎｄｌ； ｃｉｎ＞＞ｆｄ．ｄ： 程序的功能为，通过键盘输入单精度数和双精 度数，根据联合型数据类型的特点，将系统自动存 储在内存中的单精度浮点数或双精度浮点数的二 进制值直接显示打印，以查看Ｃ＋＋中浮点数在内 存中的存储格式．通过图４结果可以看出单精度浮 点数３．１４１５９的十六进制存储格式为４Ｏ ４９ ０ｆ ｄ０， 与前边分析完全吻合． ｝ ｖｏｉｄ ｄｉｓｐｌａｙｆ（） ｛ｃｏｕｔ＜＜ｆｄ．ｆ＜＜”在内存中的存放为：”； ｆｏｒ（ｉｎｔ ｉ＝３；ｉ＞＝０；ｉ一一） ｐｒｉｎｔｆ（”％２ｘ”，ｆｄ．ｅ［ｉ］）； ｃｏｕｔ＜＜ｅｎｄｌ： ４ 结束语 ｃ＋＋中数据类型和每种类型在内存中的存储 方式是学好ｃ＋＋的基础，每种类型的存储方式都 有它自己的含义，特别是浮点数的存储是学习的一 个重点和难点，通过对ＩＥＥＥ ７５４浮点数存储规范 的理解和对具体实例的实际演算，对程序结果的分 析调试，对于学好、用好Ｃ＋＋具有重要的意义． ｝ ｖｏｉｄ ｄｉｓｐｌａｙｄ（） ｛ｃｏｕｔ＜＜ｆｄ．ｄ＜＜”在内存中的存放为：”； ｆｏｒ（ｉｎｔ ｉ＝７；ｉ＞＝０；ｉ一一） ｐｒｉｎｔｆ（”％２ｘ”，ｆｄ．Ｃ［ｉ］）； ｃｏｕｔ＜＜ｅｎｄｌ： ｝ ｝； ｖｏｉｄ ｍａｉｎ（） 参 考 文 献 ［１］蒋本珊．计算机组成原理［Ｍ］．北京：清华大学出版 社，２００４：２６—３０． ｛ Ｆｌ ｆ： ［２］ 郑莉．Ｃ＋＋程序设计语言［Ｍ］．北京：清华大学出版 社，２００４：２４． ｆ．ｓｅｒｆ（）； ［３］ 陈爽，等．浮点加法的ＳｙｓｔｅｍＣ设计［Ｊ］．微处理机， ２００８（５）：２１—２３． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｏｒａｇｅ ｆｏｒｍａｔ ｏｆ ｆｌｏａｔｉｎｇ－ｐｏｉｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ｉｎ Ｃ＋＋ｌａｎｇｕａｇｅ ＣＨＥＮＧ Ｎｉｎｇ ，ＣＵＩ Ｋａｉ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｙａｎｇ ４７３０６１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｈｅｎａｎ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｃｏｎｓｕｌｔａｔｉｏｎ Ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｏ．ＬＴＤ，Ｚｈｅｎｚｈｏｕ ４５０００８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｓｔｏｒａｇｅ ｆｏｒｍａｔ ｏｆ ｆｌｏａｔｉｎｇ－ｐｏｉｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ｃｏｍｐｌｉｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｏｆ ＩＥＥＥ ７５４，ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅ ｉｔ ｔａｋｅ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ．Ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ａｎｄ ｉｍ— ｐｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅ ｆｌｏａｔｉｎｇ－ｐｏｉｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｂｉｎａｒｙ ｆｏｒｍａｔ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｗｉｔｈ ＩＥＥＥ ７５４，ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｓｔｏｒａｇｅ ｆｏｒｍａｔ ｏｆ ｌｆｏａｔ ａｎｄ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ ｉｎ Ｃ＋＋ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｍｅｓ ｕｐ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃ＋＋；ｆｌｏａｔ；ｓｔｏｒａｇｅ ｆｏｒｍａｔ