二次函数综合题(6)--折叠、平移、对称等

初三数学——二次函数实践与探索（6）

例1、如图，二次函数yax2bxc（a0）的图象与

班级 姓名

x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结

AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(3，0)、C(0，3)，且当x4和x2时二次函数的函数值y相等． （1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

A y P C N M O B x

例2、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线yax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线yax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． y y A′ A′ 8 8 y A 8 6 6 4 4 6 BB′ 2 B′ 2 4 D C D C B 2 --O 2 4 x -4 -2 O 2 4 x D C - -4 -2 -2 O 2 4 x -2 - -4 -4 A A′((2)) ①图 ((2)②图 )

例3、如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（1，0），点B在抛物线yax2ax2上．（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）抛物线的关系式为 ；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△ABC的位置．请判断点B、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

1练习1：已知抛物线yx2bx4上有不同的两点E(k3,k21)和F(k1,k21)． 2（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，抛物线y1x2bx4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以

2M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．

（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

y B M C A P O D x Q

练习2：在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x2

轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，①试求出当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系式. y错误！未指定书签。 C OyCDy = 1.1厘MNBOBCx… AFEAC Ox… ABx图图图

班级 姓名

１、抛物线 y＝－x＋1 的开口向＿＿＿＿. 抛物线 y＝2x 的对称轴是＿＿＿＿.

22

2、函数 y＝2 (x－1) 3、将抛物线 y＝2x 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿.

2

3、函数 y＝x＋bx＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b＝＿＿＿＿.

2

4、二次函数 y＝(x－1)＋2，图象的顶点坐标为＿＿＿＿.当 x＝＿＿＿＿时，y 有最小值.

12

5、函数 y＝ (x－1)＋3，当 x＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.

222

6、将 y＝x－2x＋3 化成 y＝a (x－h)＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿.

2

7、若点 A ( 2, m) 在函数 y＝x－1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.

2

8、抛物线 y＝2x＋3x－4 与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿.

9、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

|m|2

10、已知函数 y＝(m＋2) x是二次函数，则 m = 。11、抛物线 y＝x－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c = 。 12、如图， □ABCD中，AB4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线yax2bxc经过x轴上的点A，B（1）求点A，B，C的坐标．（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． y C D x O A B

13、已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C其中A3，（1）求这条抛物线2．0、C0，2

2

初三数学家作讲义

的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． y y O B x O A B x A C C

，0)和B(5，14．如图，已知与x轴交于点A(1 4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C．0)的抛物线l1的顶点为C(3，（1）求抛物线l2的函数关系式；

则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三 角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

yD3 2 1 A（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称， 5 Cl2 E1O12341 2 3 4 5 BxM5Cl1