2014届青岛市高三一模 理科数学试题含答案

青岛市高三统一质量检测

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合A{x|0x2},B{x|x1}，则AB A．{x|0x1} C．{x|1x2}

B．{x|x0或x1} D．{x|0x2}

22. 已知向量a(1,2),b(3,m),mR,则“m6”是“a//(ab)”的

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为

A．11 B．11.5 C．12 D．12.5

0.1 频率组距 0.06 O 5 10 15 20 重量

高三数学（理科）试题 第1页（共13页）

x2y24. 双曲线1的渐近线方程为

45A．y55525x B．yx C．yx D．yx 4255 B．7 C．9

25. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是 A．5

D．11

开始 6. 函数y2cos(x2)图象的一条对称轴方程可以为

k1 3A．x B．x C．x D．x

434：x＋y＝1的两条切线，7. 过点P(1,3)作圆O切点分别为

22S1 S20? 否 输出k 结束 是 SS2k A和B，则弦长|AB|=

A．3 B．2 C．2 D．4

kk2 x0y18. 已知实数x,y满足约束条件4x3y4，则w的最小值是

xy0A．2 B．2 C．1 D．1 9. 由曲线xy1，直线yx,x3所围成封闭的平面图形的面积为 A．

32 B．4ln3 C．4ln3 D．2ln3 910. 在实数集R中定义一种运算“”，对任意a,bR，ab为唯一确定的实数，且具

有性质：

（1）对任意aR，a0a；

（2）对任意a,bR，abab(a0)(b0)．

1的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)xe为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(,0]．

关于函数f(x)(e)x其中所有正确说法的个数为 A．0 B．1

C．2

D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

高三数学（理科）试题 第2页（共13页）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

a2i，其中i为虚数单位，则ab ； bi（a，bR）

i12. 已知随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)a，a为常数,则

11. 已知

P(10) ；

13. 二项式(x16)展开式中的常数项为 ； 2x2 主视图 左视图 14. 如图所示是一个四棱锥的三视图， 则该几何体的体积为 ；

2 2 俯视图 2 x2x,x115. 已知函数f(x)logx, x1 ，g(x)|xk||x1|，若对任意的x1,x2R，

13都有f(x1)g(x2)成立，则实数k的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）

在ABC中, a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2cosAcosC(tanAtanC1)1. （Ⅰ）求B的大小; （Ⅱ）若ac

17．（本小题满分12分）

33，b3,求ABC的面积. 2高三数学（理科）试题 第3页（共13页）

2013年6月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为

3112、、、，并且各个环节的直播收看互不影响． 4323（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率; （Ⅱ）若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望．

18．（本小题满分12分）

如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，

EF2，EF//AB，AFCF.

（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF//面BDG； （Ⅱ）求二面角ABFC的余弦值.

19．（本小题满分12分）

已知{an}是等差数列，首项a13，前n项和为Sn.令cn(1)nSn(nN),{cn}的前20项和T20330.数列{bn}是公比为q的等比数列，前n项和为Wn，且b12，

E F

G

D C

A B

q3a9.

（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）证明：(3n1)WnnWn1(nN).

高三数学（理科）试题 第4页（共13页）

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C1的中心为原点O，离心率e2，其一个焦点在抛物线C2:y2px的准线上，若抛物线C2与直线l: xy20相切． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点Q(u,v)在椭圆C1上运动时，设动点P(vu,uv)的运动轨迹为C3．若点Tuuuruuuruuuruuur满足：OTMNOMON，其中M,N是C3上的点，直线OM与ON的斜率之积

为，试说明：是否存在两个定点F,F，使得TFTF为定值？若存在，求F,F的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

)已知函数f(x)axlnx，函数g(x)的导函数g(x)e，且g(0)g(1为自然对数的底数． （Ⅰ）求f(x)的极值；

xe，其中e（Ⅱ）若x(0,)，使得不等式g(x)xm3成立，试求实数m的取值范围； x（Ⅲ） 当a0时，对于x(0,)，求证：f(x)g(x)2．

高三数学（理科）试题 第5页（共13页）

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数学（理科）参及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A C B C D A D B C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.1 12.

351a 13.15 14．4 15．k或k

442三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由2cosAcosC(tanAtanC1)1得：

2cosAcosC(sinAsinC1)1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

cosAcosC2(sinAsinCcosAcosC)1

1cos(AC)，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

21cosB，又0B

2B „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

3acb21 （Ⅱ）由余弦定理得：cosB2ac222(ac)22acb21， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

2ac2又ac33275，b32ac3ac，ac „„„„„„„„„„„10分 244高三数学（理科）试题 第6页（共13页）

SABC115353„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 acsinB22421617．（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A,

327232333则P(A)C3()(1)C3(). „„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

44432（Ⅱ）由条件可知X可能取值为0,1,2,3,4.

31121P(X0)(1)(1)(1)(1);43233631123112P(X1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)43234323 3112311213 (1)(1)(1)(1)(1)(1);4323432372311231123112P(X2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)432343234323 3112311231127 (1)(1)(1)(1)(1)(1);4323432343231831123112P(X3)(1)(1)43234323

3112311223 (1)(1);432343237231121P(X4);

432312即X的分布列

0 X 1 2

3

23 724

1 12P

1 3613 727 18 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 X的期望E(X)0113723191234.„„„„„„„„„12分 3672187212418．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG 因为点G为FC中点，所以OG为AFC的中位线，

所以OG//AF „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

高三数学（理科）试题 第7页（共13页）

AF面BDG，OG面BDG，

所以AF//面BDG „„„„„„4分 （Ⅱ）取AD中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ//AB//EF， 所以MQFE共面

作FPMQ于P，ENMQ于N，则EN//FP且ENFP

E z F G x A D M N CO P B Q AEDEBFCF，ADBC

EMFQ ADE和BCF全等，

y ENM和FPQ全等，MNPQ1

BFCF，Q为BC中点，BCFQ

又BCMQ，FQMQQ，BC面MQFE

PFBC，PF面ABCD„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

以P为原点，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3,1,0)，B(1,1,0)，

C(1,1,0)，设F(0,0,h)，则AF(3,1,h)，CF(1,1,h)

AFCF，AFCF031h20h2

设面ABF的法向量n1(x1,y1,z1) AF(3,1,2)，BF(1,1,2)

n1AF03x1y12z10由，令z11x10,y12 xy2z01n1BF011n1(0,2,1) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

设面CBF的法向量n2(x2,y2,z2) BF(1,1,2)，BC(0,2,0)

n2BF0x2y22z20由，令z21y20,x22 2y02n2BC0高三数学（理科）试题 第8页（共13页）

n2(2,0,1)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

nn211cosn1,n21

|n1||n2|555设二面角ABFC的平面角为，

1则coscos(n1,n2)cosn1,n2 „„„„„„„„„„„„„12分

519．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为cn(1)nSn 所以T20S1S2S3S4S20330 则a2a4a6a20330 则10(3d)1092d330 2解得d3，所以an33(n1)3n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 所以qa927，q3 所以bn23n13„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

2(13n)3n1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，Wn13要证(3n1)WnnWn1， 只需证(3n1)(31)n(3nnn11)

即证：32n1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 当n1时，32n1

下面用数学归纳法证明：当n2时，32n1

（1）当n2时，左边9，右边5，左右，不等式成立

高三数学（理科）试题 第9页（共13页）

nn

（2）假设nk(k2)，3k2k1 则nk1时，3k133k3(2k1)6k32(k+1)+1

nk1时不等式成立

根据（1）（2）可知：当n2时，32n1 综上可知：32n1对于nN成立

所以(3n1)WnnWn1(nN) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 20．（本小题满分13分）

2y2pxy22py22p0， 解：（I）由x-y20nn抛物线C2:y22px与直线l: x-y20相切，

4p282p0p22 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

抛物线C2的方程为：y242x，其准线方程为：x2， c2 离心率ec2,a2, b2a2c22， ， ea2x2y21.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 故椭圆的标准方程为42（II）设M(x1,y1),N(x2,y2)，P(x,y)，T(x,y)

1u(2yx)x2vu3则

yuvv1(xy)3当点Q(u,v)在椭圆C1上运动时，动点P(vu,uv)的运动轨迹C3

高三数学（理科）试题 第10页（共13页）

u2v2111[(2yx)]22[(xy)]24x 22y 212 4233C3的轨迹方程为：x22y212 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 uuuruuuruuuruuur由OTMNOMON得

(x,y)(x2x1,y2y1)2(x1,y1)(x2,y2)(x12x2,y12y2), xx12x2,yy12y2.

设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

kOMkONy1y21,因此x1x22y1y20,„„„„„„„„„„„„„„„„9分 x1x2222因为点M,N在椭圆x2y12上， 所以x12y112,x22y212，

故x2y(x14x24x1x2)2(y14y24y1y2)

22(x122y12)4(x22y2)4(x1x22y1y2)604(x1x22y1y2).

2222222222x2y21上的点， 所以x2y60，从而可知：T点是椭圆

603022x2y21的两个焦点，使得TFTF为定值，其坐存在两个定点F,F，且为椭圆6030标为F1(30,0),F2(30,0)． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 21．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)a1(x0)． x当a0时，f(x)0，f(x)在(0,)上为增函数，f(x)没有极值；„„„„„1分

高三数学（理科）试题 第11页（共13页）

1a(x)a， 当a0时，f(x)x11若x(0,)时，f(x)0；若x(,)时，f(x)0

aa111f(x)存在极大值，且当x时，f(x)极大f()ln()1

aaa综上可知：当a0时，f(x)没有极值；当a0时，f(x)存在极大值，且当x1时，a11f(x)极大f()ln()1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

aa(Ⅱ) 函数g(x)的导函数g(x)e，g(x)ec

xxg(0)g(1)e，(1c)eec0，g(x)ex„„„„„„„„„„„„„„5分 x(0,)，使得不等式g(x)xm3成立， xx(0,)，使得mxexx3成立，

令h(x)xexx3，则问题可转化为：mh(x)max

x对于h(x)xex3，x(0,)，由于h(x)1ex(x12x)，

x当x(0,)时，e1，x12x2x12x2，ex(x12x)1，

h(x)0，从而h(x)在(0,)上为减函数，h(x)h(0)3

m3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

(Ⅲ)当a0时，f(x)lnx，令(x)g(x)f(x)2，则(x)elnx2，

x1，且(x)在(0,)上为增函数 x1tt设(x)0的根为xt，则e，即te

t (x)ex当x(t,)时，(x)0，(x)在(0,t)上为减函数；(x)0，(x)当x(0,t)时，

高三数学（理科）试题 第12页（共13页）

在(t,)上为增函数，(x)min(t)elnt2elne2et2

tttt11(1)e10，()e20，t(,1)

221t由于(t)et2在t(,1)上为增函数，

211(x)min(t)et2e22.2520

22t12f(x)g(x)2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

高三数学（理科）试题 第13页（共13页）