向量总复习

一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法:

⑴字母表示法:如a,b,c,等.

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.

⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为x,y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x,y.

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.

3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.

注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.

4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.

5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线

上.规定:0与任一向量共线.

注:共线向量又称为平行向量.

7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

二、向量的运算 (一)运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：

运 算 图形语言 加法与减法 符号语言 OA+OB坐标语言 =OC OBOA=AB 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2) 则OAOB=(x1+x2,y1+y2) OBOA=（x2-x1,y2-y1） OA+AB=OB  实数与向量的乘积 两个向量的数量积 (二)运算律 AB=λa 记a=(x,y) 则λa=(λx,λy)  记a(x1,y1),b(x2,y2) λ∈R  ababcosa,b则a·b=x1x2+y1y2 加法：①abba(交换律); ②(ab)ca(bc)(结合律)

实数与向量的乘积：①(ab)ab; ②()aaa;③(a)()a

两个向量的数量积: ①a·b=b·a; ②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);③

(a+b)·c=a·c+b·c

注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a±b)=a2

22abb

2(三)运算性质及重要结论

⑴平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合。

①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底;

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分

解是唯一的.

''这说明如果a1e12e2且a1e12e2,那么1122.

③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本

定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件

符号语言：a//bab(b0)

坐标语言为：设非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，

x1x2即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a与b同向时,λ>0；当a与byy12异向时,λ<0。|λ|=

|a|,λ的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，λ的符号与

|b|大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件

符号语言：abab0

坐标语言：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y20

⑷两个向量数量积的重要性质：

2①a|a| 即 |a|22a(求线段的长度);

②abab0(垂直的判断);

ab③cos (求角度)。

ab以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.

注:①两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos(其中a,b),这个数的大小与

两个向量的长度及其夹角的余弦有关.

 ②bcos叫做向量b在a方向上的投影（如图）.

数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积.

③如果P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2=(x2x1,y2y1),

∴P1P2(x2x1)(y2y1),这就是平面内两点间的距离公式.

22三、例题 例1．在

ABCD中，BCCDBA（ A ）

(A)BC (B)DA (C)AB (D)AC

例2.平面内三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),若AB∥BC，则x的值为( C) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5

例3. 设a，b， c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：

①(a·b)c(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|ab|

③(b·c)a(c·a)b不与c垂直 ④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|- 4b|中，

2

2

真命题是( D )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 例4. △OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(ab)，t∈R，则点P在( A )

|a||b|(A)∠AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上 (C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上

例5. 正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且OP=（0，3），OS=（4，0），则RM=( A ) (A)（72,12） (B)（

72,12） (C)（7，4） (D)（,2772）

例6.已知ax,3,b2,4,ab,则实数x=_______.

解：.6

例7.已知ab2,8,ab6,4,则a_____, b______,a与b的夹角的余弦

值是_____.

解：(2,6),(4,2),

210

例8. 已知解：120

ABC的三个顶点分别为A3,3,B6,0,C5,3,求ACB的大小.

例9. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。

解:(用解方程组思想)设D（x，y），则AD=（x-2，y+1）

∵BC=（-6，-3），AD·BC=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①

∵BD=(x-3，y-2)，BC∥BD,∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0② 由①②得：x1y1,∴D（1，1）,AD=（-1，2）

例10.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP. 解:∵ B、P、M共线∴ 记BP=sPM

∴ OP11sOBs1sOM11sOBs3(1s)OA11sbs3(1s)a①

同理，记APtPN∴ OP=

11tat4(1t)b②

s19s321t3(1s)2∵ a,b不共线∴ 由①②得解之得：∴ OPab

1111t1t84(1t)31s注：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。