推理与证明教案课程

年级：高二 科目：数学 授课人： 授课时间： 序号： 第 节 课题 第三章§1.1 归纳推理 1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 第 1 课时 教学 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 目标 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点 归纳推理及方法的总结 中心发王 晓 君 难点 归纳推理的含义及其具体应用 言人 教具 教法 讲练结合 课 型 新授课 课时1课安排 时 个人主页 学 法 归纳总结 教 一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” 学 ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由过 程 教 何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求。 学 证，终于发现了伟大的“杠杆原理” 过 ④思考：整个过程对你有什么启发？ “科学离不开生活，离不程 ⑤启发：在教师的引导下归纳出：开观察，也离不开猜想和证明”。 观察 猜想 证明 归纳推理的发展二、新课学习 1、哥德猜想 哥德在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德猜想200年过去了，没有人证明它。哥德猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德”。 2、数学建构 ●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 3、师生活动 例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 例2 ： 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是00，…… 结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。 例3： 立吗？ 强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！” 三、课堂练习 四、课堂小结 (1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常2321222223,,, 探究：述结论都成31332333归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明 五、作业： 教 后 反 思 审核人签字：

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年级：高二 科目：数学 授课人： 授课时间： 序号： 第 节 课题 第三章§1.1 类比推理 第 1 课时 1、通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。 2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，教学 类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，目标 从而类比得出的结论就越可靠。 3、正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 重点 了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理 中心发王 晓 君 难点 用类比进行推理，做出猜想 言人 课时教具 课 型 新授课 1课时 安排 教法 讲练结合 学 法 归纳总结 个人主页 教 一．问题情境 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草学 割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 过 程 他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。这个推理过程教 是归纳推理吗？ 学 二．新课学习 过 我们再看几个类似的推理实例。 程 例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 圆 球 圆 球 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 圆的性质 球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 ☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即 观察、比较 联想、类猜想新结例3.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 直角三角形 ∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 3个面两两垂直的四面体 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S 2条直角边a，b和1条斜边c 3个“直角面” S1，S2，S3和1个面” S 三、课堂小结 1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。2.类比推理的一般步骤： 四、作业布置 教 后 反 思 审核人签字：

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年级：高二 科目：数学 授课人： 授课时间： 序号： 第 节 课题 第三章§2.1直接证明--综合法 第 1 课时 1、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综合法； 教学 2、能够运用综合法证明数学问题 目标 3、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。 了解综合法的思考过程、重点 中心发王 晓 君 特点 用综合法证明时的解题难点 言过程 人 课时1课安排 时 个人主页 教具 教法 讲练结合 课 型 新授课 学 法 归纳总结 教 学 一、新课引入 1、比较a2b2与2ab的大小关系. 生：a2b22ab。 2已知:a,b0,求证:a(b2c2)+b(c2 、 a2)4abc 生：讨论、交流完成，对比解答 过 二、新课学习 程 学 1、综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所教 要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（也形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”） 24223(1xx)(1xx). x1例2、若实数，求证： 过 程 证明：采用差值比较法： 3(1x2x4)(1xx2)233x23x41x2x42x2x22x32(x4x3x1)222(x1)(xx1) = 24223(1xx)(1xx). ∴a,bR,求证aabbabba. 例3、已知本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称， 不妨设ab0. 从而原不等式得证 2）商值比较法：设ab0, aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 三、课堂练习 四、课堂小结 综合法的一般思路： 五、作业布置 教 后 反 思 审核人签字：

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年级：高二 科目：数学 授课人： 授课时间： 序号： 第 节 课题 第三章§2.1直接证明—分析法 第 1课时 1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之二分析法； 教学 2、了解分析法的思考过程、特点。 目标 3、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 了解分析法的思考过程、特重点 中心王 发言晓 君 人 新授课 课时1课安排 时 个人主页 点 难点 教具 教法 讲练结合 分析法的思考过程、特点 课 型 学 法 归纳总结 教 一．新课引入 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推 寻求保证 Q 成立的条件，明确M成立，再去寻求M 成学 回去，过 程 教 立的充分条件(利用定理、定义、公理等）；… … 直到找到一个明显成立的事实。 二．新课学习 1、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式学 出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为如果能够肯定这些条件都已 过 判定这些条件是否具备的问题，程 具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 2、用分析法证明不等式的逻辑关系是： 3、 分析法的思维特点是：执果索因 4、 分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题B1为真，从而有…… 这只需要证明命题B2为真，从而又有…… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 三、例题分析 例1、求证3725 证明：因为37和25都是正数，所以为了证明3725 只需证明(37)2(25)2 展开得 1022120 即 22110,2125 因为2125成立，所以 (37)2(25)2成立 即证明了3725 说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 ②分析证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真， 这只需要证明命题B1为真，从而有…… 这只需要证明命题B2为真，从而又有…… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。 事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 ‘‘‘P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子． 例4 已知,k(kZ)，且 sincos2sin 2① sincossin2 ② 1tan21tan2求证：。 221tan2(1tan)证明：因为(sincos)22sincos1，所以将 ① ② 代入，可得 4sin22sin21. ③ 1tan21tan2另一方面，要证 221tan2(1tan)sin2sin2112cos2cos即证 ， 22sinsin12(1)cos2cos2即证cos2sin2(cos2sin2)， 即证12sin2(12sin2)， 1212即证4sin22sin21。 由于上式与③相同，于是问题得证。 三、课堂练习 四、课堂小结 综合法的一般思路： 五、作业布置 教 后 反 思 审核人签字：

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年级：高二 科目：数学 授课人： 授课时间： 序号： 第 节 课题 第三章§3间接证明—反证法 第 1 课时 １、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 教学 ２、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题目标 和解决问题的能力； ３、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 重点 了解反证法的思考过程、特点 中心王 发言晓 君 人 新授课 课时1课安排 时 个人主页 难点 反证法的思考过程、特点 教具 教法 讲练结合 课 型 学 法 归纳总结 教 一．新课引入 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法学 可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：过 (1)反设；(2)归谬；(3)结论。 二、新课学习 程 1、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/ 教 不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 学 2、 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。 过 推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 程 三、例题分析 例1、已知直线a,b和平面，如果a,b，且a||b，求证a||。 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点P，则PIb，即点P是直线 a 与b的公共点，这与a||b矛盾．所以 a||. 点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：a,b,a//ba//． 例2、求证：2不是有理数 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存m在互质的正整数m,n，使得2，从而有m2n, n因此，m22n2， 所以 m 为偶数．于是可设m2k ( k 是正整数），从而有 4k22n2，即n22k2 所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数． 正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。 例3、已知ab0，求证：nanb（nN且n1） 证明：假设na不大于nb，即nanb或nanb. ∵a＞0，b＞0 ∴由nanb(na)n(nb)n (注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?) a＜b(推理利用了不等式的传递性). 又由nanbab 但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾. ∴nanb成立. 例4、设a3b32，求证ab2. 证明：假设ab2，则有a2b，从而 因为6(b1)222，所以a3b32，这与题设条件a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立。 四、课堂练习 1．设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c, (2  b)a, (2  c)b,不可能同时大于1 2．若x, y > 0，且x + y >2，则于2。 1y1x和中至少有一个小yx教 后 反 思 审核人签字：