2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练专题9 平面解析几何 第70练

训练目标 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题. 联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题. 解题策略

一、选择题

x22

1．直线l过点P(3,1)且与双曲线C：－y＝1交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点

2P，则直线l的斜率为( ) 1533A. B. C. D. 3442

x2y2

2．从双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交

ab双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的关系为( )

A．|MO|－|MT|>b－a B．|MO|－|MT|3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，过AB的中3

点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|PF|＝，则弦长|AB|为( )

2A．2 B．3 C．5 D．6 二、填空题

x2y2a2

4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的中心为O，右焦点为F，右顶点为A，直线x＝与x轴的交

abc|FA|

点为K，则的最大值为________．

|OK|

5．直线l与抛物线y2＝4x交于两个不同的点A，B.其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1y2＝－36，则直线l恒过点的坐标是________．

6.如图，以原点O为圆心的圆与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且

弦长|AB|＝23，∠AOB＝120°，过抛物线焦点F作一条直线与抛物线交于M，N两点，它们7

到直线x＝－1的距离之和为，则这样的直线有________条．

2三、解答题

x2y21xy21

7．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点到直线＋＝1的距离d＝，O为

ab2ab7坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

8.(2018届浙江省名校协作体联考)如图，已知抛物线C1：x2＝2py的焦点在抛物线C2：y＝x2＋1上，点P是抛物线C1上的动点．

(1)求抛物线C1的方程及其准线方程；

(2)过点P作抛物线C2的两条切线，A，B分别为两个切点，求△PAB面积的最小值．

x2y2

9.如图，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2,0)，左，右焦点分别为F1，F2，过点A

ab1

且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点

2F1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P的直线与椭圆交于M，N两点(M，N不与A，B重合)，若S△PAM＝6S△PBN，求直线

MN的方程．

答案精析

2

x2x2x21－x212222

1．D [设M＝(x1，y1)，N＝(x2，y2)，则－y1＝1，－y2＝1，两式作差，得＝y21－y2，222

y2－y1x2＋x1即k＝＝，

x2－x12y2＋y1

3

又线段MN的中点恰好为点P(3,1)，∴k＝，故选D.]

22．C [设F1是双曲线的右焦点， 连接PF1(如图)，

由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2a，① ∵OM是△FF1P的中位线， ∴|PF1|＝2|OM|，②

又∵M是FP的中点，∴|PF|＝2|MF|，③ 将②③代入①得2|MF|－2|OM|＝2a， 即|MF|－|OM|＝a.④ ∵|MF|＝|MT|＋|TF|， |FT|2＝|OF|2－|OT|2＝c2－a2， ∴|FT|＝b，∴|MF|＝|MT|＋b.⑤ 将⑤代入④得|MT|＋b－|OM|＝a， ∴|OM|－|MT|＝b－a.故选C.]

3．D [抛物线C的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1， 由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，

设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx－1，由2消去y得， y＝4x

2k2＋4

kx－(2k＋4)x＋k＝0，x1＋x2＝2，x1x2＝1.

k

22

2

2

设点P的坐标为(x0，y0)，

y1＋y2kx1＋x2－2k12k2＋42

可得y0＝＝＝k·2－2k＝，

222kk

1211x0＝y2＝，可得P2k2，k， 40k3

∵|PF|＝，∴

2

1－122＋42＝3， kk2

解得k2＝2，因此x1＋x2＝4，

根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋2＝6.] 14. 4

2

|FA|a－cac－c

解析 ＝2＝2＝－e2＋e

|OK|aa

c

111e－2＋≤. ＝－2445．(9,0)

x＝my＋n，解析 设直线为x＝my＋n，则由2

y＝4x，y1＋y2＝4m，

消去x得y－4my－4n＝0，∴

y1y2＝－4n，

2

又∵y1y2＝－36，∴－4n＝－36， ∴n＝9，直线为x＝my＋9，恒过(9,0)． 6．1

解析 由题意知，AB垂直于x轴且A，B两点关于x轴对称，可设点A的坐标为(x，3)，且tan 60°＝

3

＝3，得x＝1，代入y2＝2px，得2p＝3，所以抛物线方程为y2＝3x，所以抛x

337，0，准线方程为x＝－.M，N两点到直线x＝－1的距离之和为，所物线的焦点坐标为442371

以它们到直线x＝－的距离之和为－＝3，即|MN|＝3，而在抛物线中通径的长度为3，所

422以这样的直线只有1条．

1c1

7．(1)解 由e＝，得＝，即a＝2c，∴b＝3c.

2a2xy21由右焦点到直线＋＝1的距离d＝，得

ab7|bc－ab|a2＋b

2＝21

，解得a＝2，b＝3. 7

x2y2

∴椭圆C的方程为＋＝1.

43(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线AB

2的斜率不存在时，x2＝x1，y1＝－y2，∴y21＝x1.

2

x1y21又＋＝1，解得|x1|＝43

12221＝， 77221； 7

即点O到直线AB的距离d＝

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m， x2y2

与椭圆的方程＋＝1联立并消去y，得

43(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 4m2－128km

∴x1＋x2＝－，xx＝. 3＋4k2123＋4k2∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， 4m2－128k2m22

∴(k＋1)2－2＋m＝0， 3＋4k3＋4k

2

整理得7m2＝12(k2＋1)， ∴点O到直线AB的距离d＝

|m|

＝k2＋1

12221＝. 77

221

∴点O到直线AB的距离为定值.

7∵OA⊥OB，∴OA2＋OB2＝AB2≥2OA·OB， 当且仅当OA＝OB时取“＝”．

AB2由d·AB＝OA·OB，得d·AB＝OA·OB≤，

2421421

∴AB≥2d＝，即弦AB长度的最小值是.

778．解 (1)C1的方程为x2＝4y，其准线方程为y＝－1. (2)设P(2t，t2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则切线PA的方程为y－y1＝2x1(x－x1)，

2

即y＝2x1x－2x1＋y1，又y1＝x21＋1，

所以y＝2x1x＋2－y1，同理切线PB的方程为y＝2x2x＋2－y2，

2

4tx1－y1＋2－t＝0，

又PA和PB都过P点，所以 2

4tx2－y2＋2－t＝0，

所以直线AB的方程为4tx－y＋2－t2＝0.

y＝4tx＋2－t，联立消去y得x2－4tx＋t2－1＝0， 2

y＝x＋1，x1＋x2＝4t，所以 2

xx＝t－1，12

2

所以|AB|＝1＋16t2|x1－x2|＝1＋16t212t2＋4. |8t2－t2＋2－t2|6t2＋2点P到直线AB的距离d＝＝.

1＋16t21＋16t21

所以△PAB的面积S＝|AB|d＝2(3t2＋1)3t2＋1

23

＝2(3t2＋1).

2

所以当t＝0时，S取最小值为2，即△PAB面积的最小值为2. b219．解 (1)当k＝时，BF1⊥x轴，得到B－c，－a，

2a＝2，b1所以aa＋c＝2，a＝b＋c

22

2

2

a＝2，



⇒b＝3，c＝1，

x2y2

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

431

|PA|·|PM|·sin∠APM

S△PAM2

(2)因为＝ S△PBN1

|PB|·|PN|·sin∠BPN2＝

2·|PM|6|PM|

＝⇒＝3， 1·|PN|1|PN|

→→所以PM＝－3PN. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

→→

则PM＝(x1，y1＋1)，PN＝(x2，y2＋1)， 有x1＝－3x2.

①当MN斜率不存在时，MN的方程为x＝0，

3＋13－1|PM||PM|＝＝2＋3或＝＝2－3(不符合条件，舍去)． |PN||PN|3－13＋1②当MN斜率存在时，由(1)可知P(0，－1)， 设MN方程为y＝kx－1，

y＝kx－1，22

联立方程xy

＋＝1，43得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.

Δ＝k2＋32(4k2＋3)＝192k2＋96>0，



由根与系数的关系可得－8

xx＝4k＋3，

12

28kx1＋x2＝2，

4k＋3



将x＝－3x代入可得8

3x＝4k＋3，1

2

22

28k

－2x2＝2，

4k＋3

即3

－4k2＝8，

4k2＋34k2＋3

36

所以k2＝⇒k＝±.

22所以直线MN的方程为y＝

66

x－1或y＝－x－1. 22