2018-2019学年青海省西宁四中高三（上）第二次模拟数学试卷
（理科）
一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设全集为R，集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|log2x≥1}，则M∩N＝（ ） A．[﹣2，2]
B．（﹣∞，﹣2）
C．（2，+∞）
D．（﹣2，+∞）
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（ ） A．﹣4
B．
C．4
D．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（ ）
A．n≤7
B．n＞7
C．n≤6
D．n＞6
4．（5分）实数x，y满足，则z＝x﹣y的最大值是（ ）
A．﹣1 5．（5分）二项式（A．180
+
B．0 C．3 D．4
）10展开式中的常数项是（ ） B．90
C．45
D．360
6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（5分）已知双曲线程为（ ） A．y＝±2x
﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方
B． C． D．
8．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2＝0，则公比q＝（ ） A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
9．（5分）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A．16
B．24
C．32
D．48
﹣
10．（5分）已知函数f（x）＝
t+1恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1]∪[2，+∞） C．[1，3] 11．（5分）双曲线
，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤
B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，2]∪[3，+∞）
的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长
为5，那么△ABF2的周长是（ ） A．12
B．16
C．21
D．26
12．（5分）点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为（ ）
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A．7π B．14π C． D．
二、填空题（5×4＝20分，把答案填在答题纸的相应位置上）
13．（5分）已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||的值为 ． 14．（5分）曲线
在点M（
，0）处的切线的斜率为 ．
15．（5分）由抛物线y2＝4x与直线y＝x﹣3围成的平面图形的面积为 ．
16．（5分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn+1（n≥1），则{an}的通项公式为 ．
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2
＝
S．
（1）求A； （2）若a＝5
，cosB＝，求c．
18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝2，PA＝2，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：CD⊥EF
（3）求EF与平面ABCD所成的角的大小．
19．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人
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的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点（1，）在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为的方程．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线l经过点P（，1），倾斜角α＝（θ﹣
）．
，圆C的极坐标方程为ρ＝
cos
，求直线l
（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．
（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集； （2）∀x∈R，∃x0＞0，使得
（a＞0）成立，求实数a的取值范围．
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2018-2019学年青海省西宁四中高三（上）第二次模拟数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设全集为R，集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|log2x≥1}，则M∩N＝（ ） A．[﹣2，2]
B．（﹣∞，﹣2）
C．（2，+∞） D．（﹣2，+∞）
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用；5J：集合．
【分析】求出M中二次不等式的解集确定出M，求出N中对数不等式的解集确定出N，再求出两集合的交集即可．
【解答】解：由于M＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}， N＝{x|log2x≥1}＝{x|log2x≥log22}＝{x|x≥2}， 则M∩N＝{x|x＞2}． 故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，同时考查二次不等式和对数不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（ ） A．﹣4
B．
C．4 D．
【考点】A5：复数的运算． 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由题意可得 z＝为
+i，由此可得z的虚部．
＝
＝
＝+i，
＝
，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简
【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝故z的虚部等于， 故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于
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基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（ ）
A．n≤7
B．n＞7
C．n≤6 D．n＞6
【考点】E7：循环结构． 【专题】21：阅读型．
【分析】框图中首先给累加变量S、替换变量a、和循环变量n赋值，由S＝S+a和a＝a+2看出，该算法是求以3为首项，以2为公差的等差数列前n项和问题，写出求和公式，根据输出的和S的值判断的情况．
【解答】解：当n＝1时，S＝0+3＝3，a＝3+2＝5；当n＝2时，S＝3+5＝8，a＝5+2＝7；当n＝3时，S＝8+7＝15，a＝7+2＝9；当n＝4时，S＝15+9＝24，a＝9+2＝11；当n＝5时，S＝24+11＝35，a＝11+2＝13；当n＝6时，S＝35+13＝48，a＝13+2＝15，当n＝7时，S＝48+15＝63．此时有n＝7＞6，算法结束，所以判断框中的条件应填n＞6，这样才能保证进行7次求和． 故选：D．
【点评】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．
4．（5分）实数x，y满足，则z＝x﹣y的最大值是（ ）
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A．﹣1 B．0
C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划． 【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
设z＝x﹣y，得y＝x﹣z，
平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点B（3，0）时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大．
此时z的最大值为z＝3﹣0＝3， 故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 5．（5分）二项式（A．180
+
）10展开式中的常数项是（ ） B．90
C．45 D．360
【考点】DA：二项式定理． 【专题】5P：二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：二项式（
+
）10展开式的通项公式为 Tr+1＝
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•2r•
，
令5﹣＝0，求得 r＝2，可得展开式中的常数项是
•22＝180，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A．
B．
C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】11：计算题．
【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是形，求出面积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥， 底面是斜边上的高是1的直角三角形， 则两条直角边是斜边是2， ∴底面的面积是
＝1，
，
，斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角
与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形， ∴三棱锥的高是∴三棱锥的体积是故选：B．
【点评】本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长
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，
度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度． 7．（5分）已知双曲线程为（ ） A．y＝±2x
B．
﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方
C． D．
【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题． 【分析】由离心率的值，可设近线方程． 【解答】解：∵故可设
∴渐近线方程为 故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．
8．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2＝0，则公比q＝（ ） A．﹣2
B．2
，则得，可得的值，进而得到渐
， ，则得
， ，
C．3 D．﹣3
【考点】89：等比数列的前n项和． 【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】首先根据等比数列的前n项和公式建立等量关系，解方程求的结果．
【解答】解：根据等比数列的前n项和公式：Sn＝∵S3+3S2＝0 ∴
+3
＝0
（1﹣q）（q2+4q+4）＝0 解得：q＝﹣2，q＝1（舍去） 故选：A．
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【点评】本题考查的知识点：等比数列的前n项和公式及相关的运算问题．
9．（5分）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A．16
B．24
C．32 D．48
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，分析可得若恰好3次就结束测试，必有前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，先分析第3次测出次品情况数目，再分析前2次测试，即一次正品、1次次品的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，
第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C21＝2种情况， 前2次测试，即一次正品、1次次品，有C81×A22＝16种情况， 则恰好3次就结束测试共有2×16＝32种情况， 故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，易错点是对“恰好3次就结束测试”的理解． 10．（5分）已知函数f（x）＝
t+1恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1]∪[2，+∞） C．[1，3]
【考点】3R：函数恒成立问题．
，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤﹣
B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，2]∪[3，+∞）
【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】这是一个不等式恒成立问题，只需最大值，解出关于t的不等式即为所求． 【解答】解：对于f（x），当x≤1时，y＝﹣
在（﹣∞，]递增，即可，再求分段函数的
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在（
]上递减，故此时ymax＝f（）＝；
当x＞1时，y＝log0.5x是减函数，此时y＜log0.51＝0，；综上原函数的最大值为， 故不等式f（x）≤故选：B．
【点评】本题考查了不等式恒成立的问题、分段函数的最值的求法等问题，一般是把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解． 11．（5分）双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长﹣t+1恒成立，只需
﹣t+1
即可，解得t≤1或t≥3．
为5，那么△ABF2的周长是（ ） A．12
B．16
C．21 D．26
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】依题意，利用双曲线的定义可求得|AF2|﹣|AF1|＝2a＝8，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝8，从而可求得△ABF2的周长．
【解答】解：依题意，|AF2|﹣|AF1|＝2a＝8，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝8， ∴（|AF2|﹣|AF1|）+（|BF2|﹣|BF1|）＝16，又|AB|＝5， ∴（|AF2|+|BF2|）＝16+（|AF1|+|BF1|）＝16+|AB|＝16+5＝21． ∴|AF2|+|BF2|+|AB|＝21+5＝26． 即△ABF2的周长是26． 故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线定义的灵活应用，属于中档题． 12．（5分）点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为（ ） A．7π
B．14π
C． D．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．
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【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，对角线的长为球的直径，d＝它的外接球半径是
，
）2＝14π
＝
，
外接球的表面积是4π（故选：B．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题． 二、填空题（5×4＝20分，把答案填在答题纸的相应位置上）
13．（5分）已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||的值为 2 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5A：平面向量及应用． 【分析】根据题意，由向量坐标计算公式可得2﹣的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得（2﹣）•＝﹣3+x2＝0，解可得x的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（1，x），＝（﹣1，x）， 则2﹣＝（3，x），
若2﹣与垂直，则（2﹣）•＝﹣3+x2＝0， 解可得：x＝±则||＝
，
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x的值． 14．（5分）曲线
在点M（
，0）处的切线的斜率为
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x＝从而求出切线的斜率．
处的导数，
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【解答】解：∵∴y'＝
＝
y'|x＝ ＝|x＝＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）由抛物线y2＝4x与直线y＝x﹣3围成的平面图形的面积为 【考点】67：定积分、微积分基本定理．
．
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由题设条件，需要先求出抛物线y2＝4x与直线y＝x﹣3的交点坐标，以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面积． 【解答】解：联立方程组
得，y1＝﹣2，y2＝6，
∵抛物线y2＝4x与直线y＝x﹣3所围成的平面图形的面积， ∴S＝
（y+3﹣
．
）dy＝（y2+3y﹣
y3）
＝
．
故答案为：
【点评】本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求即时要恰当地选择积分变量达到简单解题的目的． 16．（5分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn+1（n≥1），则{an}的通项公式为 an＝3n1 ．
﹣
【考点】82：数列的函数特性．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】当n≥2时，an+1＝2Sn+1（n≥1），an＝2Sn﹣1+1，两式相减可得an+1＝3an．利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：当n≥2时，an+1＝2Sn+1（n≥1），an＝2Sn﹣1+1， ∴an+1﹣an＝2an，
第13页（共22页）
∴an+1＝3an．
当n＝1时，a2＝2a1+1＝3． ∴数列{an}为等比数列． ∴an＝3n1．
﹣
故答案为：3n1．
﹣
【点评】本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2
＝
S．
（1）求A； （2）若a＝5
，cosB＝，求c．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】（1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）由cosB的值求出sinB的值，进而求出sinC的值，由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．
【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2＝2bccosA，S＝bcsinA， ∴代入已知等式得：2bcosA＝整理得：tanA＝
，
•bcsinA，
∵A是三角形内角， ∴A＝60°；
（2）∵B为三角形内角，cosB＝， ∴sinB＝
＝，
cosB＝
，
∴sinC＝sin（B+A）＝sin（B+60°）＝sinB+∵a＝5
，sinA＝
，sinC＝
，
第14页（共22页）
∴由正弦定理得：c＝＝3+4．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝2，PA＝2，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：CD⊥EF
（3）求EF与平面ABCD所成的角的大小．
【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，确定明EF∥平面PAD； （2）证明
＝0，即可得到结论；
＞＝45°，从而可求EF与平面ABCD所成
与
共面，即可证
（3）利用向量的夹角公式，计算＜的角的大小．
【解答】（1）证明：如图，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2） ∵E为AB的中点，F为PC的中点， ∴E（，0，0），F（，1，1） ∴∴∴
与
共面
第15页（共22页）
∵E∉平面PAD， ∴EF∥平面PAD； （2）证明：∵∴
＝（﹣1，0，0）（0，1，1）＝0 •
∴CD⊥EF； （3）解：∵
∴cos＜＞＝＝＝
∴＜∵∴
＞＝45°
⊥平面AC
是平面AC的法向量
＞＝45°．
∴EF与平面AC所成的角为90°﹣＜
【点评】本题考查线面平行，考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期
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望．
【考点】B8：频率分布直方图；C6：等可能事件和等可能事件的概率；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【专题】27：图表型；5I：概率与统计．
【分析】（I）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值． （II）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A．先算出学生成绩在[50，60）内的和在[60，70）内的人数，根据成绩在[50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件A的概率．
（III）根据题意看出变量X的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率．列出分布列和期望值．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得
，
所以 a＝0.03． …（2分）
（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05＝2人，在[60，70）内的共有40×0.225＝9人，
成绩在[50，70）内的学生共有11人． …（4分） 设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A， …（5分） 则
． …（7分）
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所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3． …（8分）
；
；
． …（10分）
所以X的分布列为
X P …（11分）
． …（13分）
【点评】此题考查了对频率分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式做出变量对应的概率值．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点（1，）在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为的方程．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．
1 2 3 ，求直线l
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；
（2）为避免讨论可设过F1的直线l的方程为x＝ty﹣1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF2B
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的面积就是＝，由此求出t的值，则直线l的方程可求．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆C的方程为由|F1F2|＝2得c＝1，∴F1（﹣1，0），F2（1，0）， 又点（1，）在椭圆C上，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3． ∴椭圆C的方程为（2）如图，
设直线l的方程为x＝ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 把x＝ty﹣1代入
，得：（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0 ；
（a＞b＞0），
，a＝2．则
∴，
∴＝＝，
∴∴t2＝1， 解得：
（舍）或t2＝1，t＝±1．
，
故所求直线方程为：x±y+1＝0．
【点评】本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x＝ty﹣1，避免了讨论直线斜率存
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在和不存在的情况，此题属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣3x+lnx（x＞0）， ∴
∴切线方程为y＝﹣2．
（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）， 当a＞0时，令f'（x）＝0得①当
或
．
＝
，
，∴f（1）＝﹣2，f'（1）＝0．
，即a≥1时，f（x）在[1，e]上递增．
∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）＝﹣2，符合题意； ②当
，即
时，f（x）在
上递减，在，不合题意；
上递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值为③当
，即
时，f（x）在[1，e]上递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（e）＜f（1）＝﹣2，不合题意； 综上，a的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线l经过点P（，1），倾斜角α＝
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，圆C的极坐标方程为ρ＝cos
（θ﹣）．
（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积． 【考点】JE：直线和圆的方程的应用；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）由已知中直线l经过点
，倾斜角
，利用直线参数方程的
，
定义，我们易得到直线l的参数方程，再由圆C的极坐标方程为
利用两角差的余弦公式，我们可得ρ＝cosθ+sinθ，进而即可得到圆C的标准方程．
（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点的距离之积为|t1•t2|，根据韦达定理，即可得到答案．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为
即（t为参数）…（2分）
由
所以ρ2＝ρcosθ+ρsinθ…（4分） 得
…（6分）
（2）把
得…（8分）…（10分）
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的方程的应用，点的极坐标和直角坐标的互化，其中准确理解直线参数方程中参数的几何意义，极坐标方程中ρ，θ的几何意义，是解答本题的关键． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．
（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；
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（2）∀x∈R，∃x0＞0，使得
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
（a＞0）成立，求实数a的取值范围．
【专题】33：函数思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）利用绝对值不等式转化为代数不等式，求解即可． （2）利用表达式恒成立，推出不等式即可求解a的范围． 【解答】解：（1）x≥时，x+1+2x﹣1＜2，解得：≤x＜， ﹣1＜x＜时，x+1+1﹣2x＜2，解得：0＜x＜， x≤﹣1时，﹣x﹣1+1﹣2x＜2，解得：x＞﹣，（舍） 故不等式的解集是（0，）；
（2）f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|＝，
故f（x）的最小值是， ∀x∈R，∃x0＞0，使得即x0+
≤，须2
≤，
]．
（a＞0）成立，
即0＜a≤∴a的取值范围（0，
【点评】本题考查函数恒成立，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．
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