・１９８・ ２０１５年１月 科教园地 经济管理 对材料力学“截面几何性质”物理意义教学的再认识 童慧芝王邓红 （浙江同济科技职业学院，浙江杭州 ３１１２ ３１） 【摘 要】就材料力学课程中“截面几何性质”的传统教学进行分析，从牛顿经典力学的角度阐述了参数鲜明的力学特征， 由此提出了在教学上的建议。且从注意物理意义的分析与教学，把握材料力学教学的直观性原则等方面，深化论述了材料力学 备课所应具备的深、广、度三个方面。 【关键词】截面几何性质；静矩；惯性矩；惯性积；材料力学备课 【基金项目】浙江教育技术中心重点课题《基于ＣＤＩＯ理念的工程造价专业应用型人才培养模式研究》（项目编号：ＪＡ０５４）。 材料力学是许多工科专业重要的专业基础课程，起着承 ｙ轴的轴惯性矩分别为：ｊ ＝ＩＹ 以， ：Ｊｘ２ｄＡ。轴惯性矩恒为 上启下的作用。它理论性强，边界条件多，公式多、系数多， 正值，量纲为长度的四次方：构件的抗 能力能力和轴惯性 新概念多，与实践或实验高度统一。学生在此之前学习的知识， 包括高等数学、中学物理、理论力学等课程，都是系统的理 矩成正比（ 一 如图２所示）。一些典型截面的轴惯性矩， 论推导，还不曾遇到过像材料力学一样，基础理论和实验结 如矩形对中线的轴惯性矩为： ＝ｌｂｈ ，其中ｂ为矩形底边宽 合得那么紧密的课程。所以，和数学、理论力学等课程内容 相比，内容显得有点“杂乱”。 度，ｈ为高。 “截面几何性质”就是糅合上述性质的重要内容之一。杆 件的强度、刚度、稳定性设计不仅与杆件所受作用有关，而 且还与杆件的截面几何性质密切相关。因此，杆件的“横截 面几何性质”的分析研究，与内力的分析计算一样，在杆件 的力学性能中有着同等重要的意义，贯穿了杆件设计的全过 程。或许是推导复杂而常用的结果简单，多数的材料力学教 材都将这部分内容放在正文后的附录中，而且只是附录了数 中性● 学定义，鲜少表述其物理意义。实际上，在教学计划中，这 部分内容无法简单一言以蔽之，除了常用的圆形、矩形横截 图２ 面构件之外，转轴不在形心、异形结构也经常会在后面的教 极惯性矩：在推导扭矩作用下横截面任意一点应力时， 学内容里碰到。通常我们要安排４．６个学时对这部分进行教授。 可以得到极惯性矩这个几何参数。其数学定义为，． ｝Ｐ ｔ『，ｆ。 截面几何性质主要包括静矩、惯性矩、惯性积和平行移轴定 极惯性矩恒为正值，量纲是长度的四次方。构件的抗扭能力 理等概念，现行教材只是阐释其数学定义，抽象，难记，是 教学过程中的难点内容之一。 和极惯性矩成正比（ ～：， ）。 一直以来，人们对本节教学的改革开展了众多的讨论， 惯性积：惯性积的数学定义为 ＝ｆ ｘｙｄＡ。如果一个面积 然而，多年来的探讨都在很大程度上忽视了对概念本身的深 对Ｘ轴活ｙ轴对称，则惯性积为０。 刻理解，忽视了多课程、多学科之间的融合，这极大了 教材或者既有的教学方法对上述概念停留于数学上的表 对本节教学行为的选择与创新。以研究“截面几何性质”的 述，而没有对其物理意义进行延伸。如果上述概念只有数学 物理意义为例，讨论教学改革的多课程、多学科融合的新思路， 上的意义，那完全不必要给这些参数典型的力学名称。或许 有助于推动教学的深入。 上述定义并非这样简单，这样抽象。笔者认为，把握“截面 一、对“截面几何性质”的传统教学情况分析 几何性质”的物理意义不能止步于数学分析，还应深入经典 材料力学在讨论强度、刚度和稳定性问题时，首先假定 力学的思想史，仔细体察上述概念的提出究竟体现了何种力 杆件连续、均匀、各向同性。也就是在数学上几何连续，质 学内涵，从何种意义上延续和推动了力学的发展。 量分布均匀，受力性能各向同性。力学分析在静力平衡的基 对此，有教师以张量为工具对截面几何性质进行分析， 础上，多了几何变形连续协调的条件，从而建立力和变形之 间的联系。通过对轴向拉压、弯曲、剪切内力公式的推导， 给出了惯量圆的解法，从而与应力分析、应变分析等内容联 系起来。也有人主张运用理论力学中的转动惯量来帮助理解 获得跟横截面几何尺寸相关的数学参数，分别称为静矩、惯 性矩和极惯性矩。截面几何性质的大小可以反映其抵抗内力 惯性矩。上述做法并非不可行，但还不够简洁有效，教学上 需要的学时较多，实际操作较为困难。其数学上的定义足够 的能力。 准确，并不需要再用其它解法来进行数学推导。而事实上， 有平面直角坐标系如图１所示， 构件横截面为封闭边界所包含面积 静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积，这几个概念字面上就呈 现着一种对经典力学概念的鲜明描述。 Ａ，其中横截面上某微元面积为ｄＡ， 其坐标为（ｘ，ｙ），距离原点距离为。 二、对“截面几何性质”物理意义的思考 笔者认为，“截面几何性质”的提出，正是将经典力学和 静矩：在教材上又称为面积矩 或者静面矩。面积为Ａ的截面对ｘ、 数学概念结合起来的结果。改进这部分知识教学的关键问题 就在于从经典力学基本概念的角度来深度解读其物理意义与 ｙ坐标轴的静矩的数学定义为： ＝ 价值。所谓物理意义，是指物理概念与规律的全部内涵、外 Ｊ ， Ｊ 。静矩可能为正值， 图１ 延及其反变关系。这与数学定义是有差异的。 也可能为负值。它的量纲是长度的三次方。 如前所述，材料力学将研究对象视为均质、各向同性的 轴惯性矩：在推导弯矩作用下，横截面上任意一点的应 变形固体。在讨论上述概念时，为了联系力学概念和数学定义， 力时，得到了轴惯性矩这个参数。图１所示的面积Ａ的截面对ｘ、 不妨将图中任意面积Ａ视为等厚（ｔ），均质（密度）的变形 经济管理 科教园地 ２０１５年１月 ・１９９・ 固体，物体受到Ｚ轴方向重力作用，则ｄＡ面积上的自重为（ｇｔ） 则学生对物理意义的理解就可能是片面的。 ｄＡ。 （二）把握教学的基础性原则 力矩的定义为力与力臂的乘积，和平移物体施加的力相 深刻解读“截面几何性质”几个力学参数的物理意义还 对应，转动物体施加的“力”，称为力矩，用Ｔ表示。不难理 说明了着眼于力学基础对物理教学的重要性。由图所示，传 解，静矩可解释为静力绕某轴产生的矩。基于上述假定，即 统对于参数的教学都局限于数学表达，而力学意义显然承前 为面积为ｄＡ的薄板自重（由于重力加速度ｇ为常数，故自重 启后，能够将学生在材料力学前置课程中所储备的力学知识 为静力）（ｇｔ）ｄＡ对以某轴（以对Ｘ轴转动为例）为转动中心 进行联系，使力学与力学课程之间建立广泛的联系，不再割 产生的静力矩Ｔｘ（ｄＡ）－－－ｔｙ ｄＡ。ｙ＝ｔｙｙｄＡ，由于ｔ、ｙ为常数， 裂，力学之间有了更为密切的延续，教学上也更为直观，具体。 故：ｆ ｙｄＡ 参数的物理意义既是起点又是终点，某种程度上，只有明晰 可定义面积Ａ的静矩为 “ 。可以理解到，静矩为 Ｓｙ Ｊ ＡｘｄＡ 了物理意义才能将参数的内涵深刻把握。 面积ｄＡ的自重（静力）对某轴产生的力矩在面积Ａ上的和。 厂——一］ 同样，极惯性矩、惯性矩和惯性积可理解为 喷性力” 孵力摊爵一 — ｌ戳 Ａ辑 壤畸……力 纛 绕某轴产生的力矩。牛顿第一定律这么描述惯性：一切物 （数 褒选ｊ （力攀黼懋） ｆ蚴理意义） 体，在没有受到力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状 图３ 态。改变物体的运动状态，需要施加以力，该力的大小和物 （三）提升力学备课的广度和深度 体的质量和物体运动状态改变时的加速度有关，公式表示为 以上围绕“截面几何性质”物理意义的研讨，为本节教 Ｆ＝ｍａ。如果以物体为参照物，则在力作用的瞬时，相当于物 学打开了新的境界，开启了新的思路。在教学中化繁就简， 体施加给施力者一个反作用力，这个力称为惯性力。和直线 透视力学本质，承前启后，需要教学工作者自己独到的领会 运动对应的，改变物体匀速圆周运动状态也需要一个“惯性 与认真研究。这对力学课程备课的深广度提出了新的要求。 力”。可根据直线运动惯性力表达式进行推导如下： 鉴于此，理解、研究概念的物理意义不能止步于传统的教材 Ｆ＝ｔｎａ；ｍ ＝ｍ旦 一 ＝Ｈｌｌ＂ａ，，ａ’为角加速度，为定值。 分析与师生问答，而应对力学本身进行方的思考。教学 惯性矩可解释为绕某轴转动的惯性力对该轴的力矩。以 研究也要以占有并阅读充足的资料为基础。 对Ｙ轴的惯性矩推导为例 ｆｌ ～ ¨ ＾ ｚ 为常 扩展力学备课的广度则要求教师不仅从整章和整个单元 数，故而可知，惯性矩的变化只跟面积和与转动轴的距离有关， 中把握一节课的教学还要反思课程设置的顺序是否合理，还 要能够从整个力学学科的角度去把握知识点的内涵。不同课 即， ＝Ｉ ｄＡ。对于Ｘ轴的惯性矩同理。 程之间，不同学科之间，大量平行发展起来的知识，其 惯性积可解释为绕某轴转动的惯性力对另一轴的力矩。 支配代数或微分方程惊人一致，相互借鉴、移植和交融，正 同理推导 州 １ “ｌｆ１ ¨ｒ ， 为常数，可不 是当代科学技术发展的重要特征之一。比如理论力学中的转 必放在公式中分析，故而得到教材上的关于惯性积的公式， 动惯量和惯性矩，数学表达式非常相似，物理内涵也能够殊 途同归。 ＝Ｉ ｘｙｄ，４。对于ｘ轴的惯性积同理。 三、对教学的建议与启示 参考文献 （一）注意物理意义的分析与教学 ［１】孙训方（第四版）：材料力学，高等教育出版社，２００２年 如前所述，物理内涵与抽象的数学表述并不能等同。物 ８月第四版 理意义是在数学表达和力学理论融会贯通的基础上，对定律 ［２］刘鸿文（第五版）：材料力学，高等教育出版社，２０１１年 全部或抽象、或直观的完整内涵拥有一种统一、和谐，并有 １月１日第五版 分寸感的把握，进而产生一种形象的思维以及直觉意识。能 ［３】徐光文（２０００）：平面图形几何性质的图解法，《天津城市 真正体会物理意义，才能对力学现象有举一反三的解释能力， 建设学院学报》［Ｊ】．２０００年第６卷第２期，ＰＰ．１３５—１３７ 并发展出力学研究的特殊洞察力。 ［４］陈震（２００３）：浅析弯曲变形的截面几何量．惯性矩，《安 爱因斯坦的科学思维理论认为，科学思维的起点和重点 徽建筑》［Ｊ］．２００３年第３期，ｐｐ．７９．８０ 都是超逻辑的。本文所述的力学参数不止于“截面几何性质”， 【５］蒋持平，徐耀玲，肖俊华，严鹏（２００９）．探寻素质教育 其定义和力学现象能够有直接的联系。可见，教学中，不能 与考试选拔的结合点，《力学与实践》［Ｊ］．２００９年第ｏ４期第３１ 将这些数学逻辑与物理非逻辑的思维联系缺失或者混淆，否 卷，ｐｐ７１—７２ （上接１８４页）社会化乃至大众社会生活中的社会交往秩序和 逻辑程序进行操作，导致思维的定势化，给现实中的青年政 规范势必因此受到影响。在网络环境下，青年将更加习惯运 治生活带来障碍，从而在一定程度上降低了青年政治社会化 用虚拟的人机交往替代实体的人际交往，以屏幕为界面进行 的质量。面对网络给青年政治社会化所带来的冲击与挑战， 利益表达和聚合，参与政治生活，借此锻炼和扩张政治实践 我们必须采取积极的应对措施，想办法为青年政治社会化铺 能力。但长此以往，青年日益缺乏与现实人物的接触和交流 平道路。首先，必须根据青年的政治心理特点，加强红色网 逐渐退化了在人性世界中习得的政治能力，变得过分依赖网 站建设，进一步丰富、美化、优化网上信息资源，构筑网上 络环境和计算机技术，这势必会制约青年政治思维能力的发 思想教育阵地，弘扬主旋律，宣扬主流政治文化。第二，加 展。因为现实生活中政治现象的产生，夹杂着许多复杂因素， 快网络立法步伐，对网络犯罪进行有效的打击，进一步规范 它需要政治主体运用政治思维去能动地分析与判断，以便做 网络管理，对违规行为及时予以纠正。第三，突出青年的／网 出智慧的选择和正 德０教育，提高青年的道德自律意识、增加免疫力，同时，积 确的回应。而网络环境下，青年现实政治实践的缺失， 极开展丰富多彩的政治实践活动，弓ｌ导青年投身到社会政治 对网络的过于依赖与对在线参政的迷恋，往往使他们忘却现 现实中去，在政治实践中掌握技能，积累经验，发展思维， 实生活中的政治世俗和利害关系，轻于思考，一味按照电脑 提高青年政治社会化的质量。
