2017届高山西省八校三(上)第一次适应性联考数学试卷(解析版)

卷

一、选择题：本题共16小题，每题5分；共60分．在每题所给的四个选项中，只有一个为最佳项． 1．（文）已知集合A={0，2017，﹣2018，2019，﹣2015}，集合B={4n±1，n∈Z}，则集合A∩B=（ ）

A．{2019，2017} B．{﹣2015} C．{0，2017，﹣2018} D．{2017，2019，﹣2015}

2．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A．A=N*，B=N

B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q

3．已知定义在R上的奇函数f （x）满足f（x）=f（4﹣x），且在区间[0，2]上是增函数，那么（ ）

A．f（6）＜f（4）＜f（1） B．f（4）＜f（6）＜f（1） C．f（1）＜f（6）＜f（4） D．f（6）＜f（1）＜f（4）

4．函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

5．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）

A．40万元 B．60万元 C．120万元 D．140万元

6．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n⊊α，则m∥n D．若m⊥n，n⊊α，则m⊥α

7．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S=1++++”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（ ）

第1页（共23页）

A． B．

C． D．

8．2016年山西八校联考成绩出来之后，拿出甲、乙两个同学的6次联考的数学成绩，如表所示．计甲、乙的平均成绩分别为姓名/成绩 甲 乙 A．C．

＞＜

1 125 108 2 110 116 3 86 4 83 123 B．D．

，5 132 126 ＞＜

，下列判断正确的是（ ） 6 92 113 ，乙比甲成绩稳定 ，乙比甲成绩稳定

，甲比乙成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定

9．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 10．已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan

=（ ）

A．1 B．﹣1 C． D．

11．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（ ）

第2页（共23页）

A．4 B． C．6 D．7

12．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ ） A．ex≤1+x+x2 C．

B． D．

13．椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，

A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|值为（ ） A．

B．

C．

D．

14．已知双曲线﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，

且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

15．若f（x）=2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（ ） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4

16．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ） A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）＞2f（1） C．f（0）+f（2）≤2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）

二、填空题：4小题，每题5分，共20分． 17．（文）已知指数函数y=f（x）的图象过点（2，4），若f（m）=16，则m= ． 18．计算：2log510+log50.25． 19．已知平面向量=（1，﹣），=（3，），则向量与向量+的夹角为 ． 20．命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3＞0”是真命题，实数a的取值范围是 ． 21．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题： ①f（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8． 上述命题中所有正确命题的序号为 ．

三、综合题：70分．

22．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边．已知a=1，b=2，cosC=； （1）求边c的值；

（2）求sin（C﹣A）的值．

第3页（共23页）

23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列． （Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

24．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示．

（Ⅰ）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更保险，请说明理由；

（Ⅱ）用简单随机抽样方法从甲的这5次测试成绩中抽取2次，它们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2的概率．

25．D为底边AB中点，E为侧棱CC1如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，中点，AB1与A1B交于点O． （Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；

（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．

26．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

27．设函数f（x）=alnx+

﹣2x，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，试求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值； （Ⅱ）当a≥0时，试求函数f（x）的单调区间．

[选修4-1：几何证明选讲]

28．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC． 求证：∠DEB=∠DCE．

第4页（共23页）

[选修4-4：坐标系与参数方程] 29．已知圆锥曲线C：

（α为参数）和定点A（0，

），F1、F2是此圆锥曲

线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线AF2的直角坐标方程；

N两点，（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、求||MF1|﹣|NF1||

的值．

[选修4-5：不等式选讲]

30．已知函数f（x）=|x+a|．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）+f（﹣x）＜2存在实数解，求实数a的取值范围．

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2016-2017学年山西省八校高三（上）第一次适应性联考

数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本题共16小题，每题5分；共60分．在每题所给的四个选项中，只有一个为最佳项． 1．（文）已知集合A={0，2017，﹣2018，2019，﹣2015}，集合B={4n±1，n∈Z}，则集合A∩B=（ ）

A．{2019，2017} B．{﹣2015} C．{0，2017，﹣2018} D．{2017，2019，﹣2015} 【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A={0，2017，﹣2018，2019，﹣2015}，集合B={4n±1，n∈Z}， ∴A∩B={2017，2019，﹣2015}， 故选：D．

2．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A．A=N*，B=N

B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q

【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案． 【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；

对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数

，满足：

（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；

对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（

），满足：（i）B={f（x）|x

∈A}；

（ii）对任意

x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；

第6页（共23页）

前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D． 故选D．

3．已知定义在R上的奇函数f （x）满足f（x）=f（4﹣x），且在区间[0，2]上是增函数，那么（ ）

A．f（6）＜f（4）＜f（1） B．f（4）＜f（6）＜f（1） C．f（1）＜f（6）＜f（4） D．f（6）＜f（1）＜f（4） 【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化比较即可． 【解答】解：∵f（x）=f（4﹣x）， ∴函数f（x）关于x=2对称，

则∵奇函数f （x）在区间[0，2]上是增函数， ∴函数f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数， 则函数f（x）在在区间[2，6]上是减函数， 则f（1）=f（3），

∵f（6）＜f（4）＜f（3）， ∴f（6）＜f（4）＜f（1）， 故选：A

4．函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【考点】函数零点的判定定理．

【分析】由题意，函数f（x）=x+lnx﹣2在定义域上单调递增，再求端点函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=x+lnx﹣2在定义域上单调递增， f（1）=1﹣2＜0， f（2）=2+ln2﹣2＞0，

故函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（1，2）； 故选B．

5．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）

A．40万元 B．60万元 C．120万元 D．140万元

【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．

第7页（共23页）

【分析】根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．

【解答】解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，

乙在4元时，买入，可以买÷4=40（万）份，在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，

共获利40+80=120万， 故选：C

6．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n⊊α，则m∥n D．若m⊥n，n⊊α，则m⊥α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】在A中，n∥α或n⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，m与n平行或异面；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．

【解答】解：由m，n表示两条不同直线，α表示平面，知： 在A中：若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A正确；

在B中：若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确； 在C中：若m∥α，n⊊α，则m与n平行或异面，故C错误；

在D中：若m⊥n，n⊊α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误． 故选：B．

7．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S=1++++”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（ ）

第8页（共23页）

A． B．

C． D．

【考点】程序框图．

【分析】要分析流程图的正误，可逐个的模拟运行，并写出程序的运行结果，然后和题目要求进行比较，如果一致，则说明流程图编写正确，如果不一致，说明错误． 【解答】解：对答案中列示的流程图逐个进行分析， 根据分析程序框图结果知：

A，B，D的功能均为累加计算S=1++++，故A、B、D均正确； C的功能为累加计算S=1+++，与题目要求不一致，

故C答案对应的流程图不正确 故选C 8．2016年山西八校联考成绩出来之后，拿出甲、乙两个同学的6次联考的数学成绩，如表所示．计甲、乙的平均成绩分别为姓名/成绩 甲 乙 A．C．

＞＜

1 125 108 2 110 116 3 86 4 83 123 B．D．

，5 132 126 ＞＜

，下列判断正确的是（ ） 6 92 113 ，乙比甲成绩稳定 ，乙比甲成绩稳定

，甲比乙成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定

第9页（共23页）

【考点】极差、方差与标准差． 【分析】分别计算出平均成绩【解答】解：

==112.5， ＜

，

，

，根据数据估计出乙比甲成绩稳定，从而求出答案．

=≈104.67，

结合数据得：乙比甲成绩稳定，

故选：D．

9．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2

【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．

【分析】可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可． 【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx 令F（x）=|sinx﹣cosx|=当x﹣

=

+kπ，x=

|sin（x﹣+kπ，即当a=

）|

+kπ时，函数F（x）取到最大值

故选B．

10．已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan

=（ ）

A．1 B．﹣1 C． D．

【考点】等差数列与等比数列的综合．

【分析】利用等差数列的性质求出a1+a2015，等比数列的性质求出所求表达式的分母，然后求解即可．

【解答】解：数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2， 所以a1+a2015=a1003+a1013=π， b7•b8=b6•b9=2， 所以tan故选：D．

=tan

=

．

11．若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（ ）

第10页（共23页）

A．4 B． C．6 D．7

【考点】简单线性规划．

【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=小值，从而解得．

【解答】解：由题意作出其平面区域如右图， 易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，

）；

，从而分别求最

z=|x﹣3|+2y=，

当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞故z=|x﹣3|+2y的最小值为故选B．

， ，

，

12．若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ ） A．ex≤1+x+x2 C．

B． D．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】对于A，取x=3，e3＞1+3+32，； 对于B，令x=1，，计算可得结论；

第11页（共23页）

对于C，构造函数得函数

对于D，取x=3，

，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可

在[0，+∞）上单调增，故成立；

．

【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立； 对于B，x=1时，左边=

，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=

，右边=

，左

边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立； 对于C，构造函数

（x）在[0，+∞）上单调增 ∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数∴

对于D，取x=3，故选C． 13．椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，；

，所以不等式不恒成立；

在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，

，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′

A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|值为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2﹣y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2﹣y1|的值． 【解答】解：椭圆：

，a=5，b=4，∴c=3，

左、右焦点F1（﹣3，0）、F2（ 3，0），

△ABF2的内切圆周长为π，则内切圆的半径为r=，

而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧） 又△ABF2的面积=×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|）=×（2a+2a）=a=5． 所以 3|y2﹣y1|=5，

第12页（共23页）

|y2﹣y1|=． 故选A．

14．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，

且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意因为圆C：x2+y2﹣6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程，解出它们，即可得到所求方程．

【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5=0⇔（x﹣3）2+y2=4， 由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2， 又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心， 而双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0），

∴a2+b2=9①

又双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切， 而双曲线的渐近线方程为：y=±x⇒bx±ay=0⇒

=2②

联立①②，解得：．

∴双曲线的方程： =1．

故选B．

15．若f（x）=2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（ ） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【考点】导数的运算．

【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x=1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′（1），求出f′（x）；令x=0求出f′（0）． 【解答】解：∵f′（x）=2f′（1）+2x ∴f′（1）=2f′（1）+2 ∴f′（1）=﹣2 ∴f′（x）=﹣4+2x

第13页（共23页）

∴f′（0）=﹣4 故选D

16．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（ ） A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）＞2f（1） C．f（0）+f（2）≤2f（1） D．f（0）+f（2）≥2f（1）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项． 【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0

∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0

∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数 ∴f（2）≥f（1） f（0）≥f（1）

∴f（0）+f（2）≥2f（1） 故选D．

二、填空题：4小题，每题5分，共20分． 17．（文）已知指数函数y=f（x）的图象过点（2，4），若f（m）=16，则m= 4 ． 【考点】指数函数的图象与性质．

【分析】设出函数f（x）的解析式，代入点的坐标求得a值，再由f（m）=16求得m值． 【解答】解：设f（x）=ax（a＞0且a≠1）， ∵函数y=f（x）的图象过点（2，4）， ∴a2=4，得a=2， ∴f（x）=2x，

由f（m）=2m=16，得m=4． 故答案为：4．

18．计算：2log510+log50.25． 【考点】对数的运算性质．

【分析】利用对数的运算法则，直接代入运算，可得答案．

【解答】解：2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5100+log50.25=log525=2

19．已知平面向量=（1，﹣），=（3，），则向量与向量+的夹角为 60° ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，然后代入数量积求夹角公式得答案． 【解答】解：∵=（1，﹣），=（3，）， ∴

，则

，

=4，

∴cos=，

∴向量与向量+的夹角为60°． 故答案为：60°．

第14页（共23页）

20．命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3＞0”是真命题，实数a的取值范围是 ﹣＜a＜ ． 【考点】全称命题．

【分析】根据全称命题的性质即可得到结论．

【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3＞0”是真命题， 则判别式△=4a2﹣4×3＜0， 故a2＜3，

即﹣＜a＜，

故答案为：﹣＜a＜．

21．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题： ①f（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8． 上述命题中所有正确命题的序号为 ①②④ ．

【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， 可得f（﹣2）=f（2）， 在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得 f（2）=f（﹣2）+f（2）， ∴f（﹣2）=f（2）=0， ∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示． 从图中可以得出：

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8． 故答案为：①②④．

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三、综合题：70分．

22．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边．已知a=1，b=2，cosC=； （1）求边c的值；

（2）求sin（C﹣A）的值． 【考点】解三角形．

【分析】（1）由a，b及cosC的值，利用余弦定理列出关于c的方程，开方即可求出c的值；

（2）由cosC的值大于0，得到C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a，c及sinC的值，利用正弦定理求出sinA的值，由三角形的大边对大角，得到A也为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（C﹣A），把各种的值代入即可求出值． 【解答】解：（1）∵

，

∴根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC=1+4﹣3=2， 则c=；

（2）由cosC=＞0，得到C为锐角， ∴sinC=

=

，

根据正弦定理=得：sinA==，

又a＜b，得到A为锐角， ∴cosA=

=

，

×

﹣×

=

．

则sin（C﹣A）=sinCcosA﹣cosCsinA=

23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列． （Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值． 【考点】数列与三角函数的综合． 【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值； （Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值； （解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值． 【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°， ∴cosB=；…6分 （Ⅱ）（解法一）

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可求得a=c，从而可得

由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC， 又cosB=，

∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分 （解法二）

由已知b2=ac及cosB=，

根据余弦定理cosB=∴B=A=C=60°， ∴sinAsinC=…12分

解得a=c，

24．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示． （Ⅰ）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更保险，请说明理由；

（Ⅱ）用简单随机抽样方法从甲的这5次测试成绩中抽取2次，它们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 【分析】（Ⅰ）计算甲乙的平均数与方差，即可得出结论．

（Ⅱ）用列举法求得从甲的这5次测试成绩中抽取2次，全部可能的基本结果有10个，而所求事件包括2个基本事件，由此求得所求事件的概率． 【解答】解：（Ⅰ）

=

=85.6，

=

=85.6

Dx甲= [（74﹣85.6）2+（85﹣85.6）2+（86﹣85.6）2+（90﹣85.6）2+（93﹣85.6）2]=41.84； Dx乙= [（76﹣85.6）2+（83﹣85.6）2+（85﹣85.6）2+（87﹣85.6）2+（97﹣85.6）2]=46.24； ∵Dx甲＜Dx乙，

∴甲的水平更稳定，所以派甲去； （Ⅱ）取得的样本情况为：（74，85），（74，86），（74，90），（74，93），（85，86），（85，90）

（85，93），（86，90），（86，93），（90，93）

样本平均数分别为：79.5，80，82，83.5，85.5，87.5，，88，.5，91.5 与总体平均数86.5距离不超过2的有85.5，87.5两个，故P=

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=．

25．D为底边AB中点，E为侧棱CC1如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面都是正方形，中点，AB1与A1B交于点O． （Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；

（Ⅱ）求证：平面AB1C⊥平面A1EB．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）说明三棱柱为正三棱柱，连结OD，证明CD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明CD∥平面A1EB．

（Ⅱ）证明AB1⊥平面A1EB，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面A1EB⊥平面AB1C．

【解答】证明：（Ⅰ）∵棱柱的每个侧面为正方形， ∴

⇒AA1⊥底面ABC，

∴三棱柱为正三棱柱， 连结OD，

∵D为AB中点，O为对面线AB1，A1B交点，∴OD∥BB1， 又E为CC1中点，∴EC∥BB1，OD∥EC，

∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，

又CD⊄平面A1EB，EO⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB． （Ⅱ）∵AB=AC=CB，∴CD⊥AB，

又直棱柱侧面ABB1A1⊥底面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊥AB1， 由（Ⅰ）CD∥EO，∴EO⊥AB1，

又正方形中，A1B⊥AB1，EO∩A1B=O，EO、A1B⊂平面A1EB， ∴AB1⊥平面A1EB，

又AB1⊂平面AB1C，∴平面A1EB⊥平面AB1C．

26．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

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【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设

解得a2=3，

故所求椭圆的方程为．

（2）设P为弦MN的中点，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线

与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围． 【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为

，

则右焦点F（）由题设

解得a2=3故所求椭圆的方程为

；

（2）设P为弦MN的中点，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0

由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1① ∴

从而

∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

即2m=3k2+1②

解得

．

则

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得故所求m的取范围是（

27．设函数f（x）=alnx+

﹣2x，a∈R． ）．

（Ⅰ）当a=1时，试求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；

（Ⅱ）当a≥0时，试求函数f（x）的单调区间．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数f（x）在区间[1，e]上单调递增；

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（Ⅱ）求导函数，再分类讨论．分a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．… 当a=1时，f（x）=1nx+

﹣2x，因为

，…

e]上单调递增，=1+所以函数f（x）在区间[1，则当x=e时，函数f（x）取得最大值f（e）﹣2e．…

（Ⅱ）求导函数，可得

．…

当a=0时，因为f′（x）=﹣2＜0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；… 当a＞0时，

（1）当△=4﹣4a2≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；…

（2）当△=4﹣4a2＞0时，即0＜a＜1时，由f′（x）＞0解得，0＜x＜

，或

．…

由f′（x）＜0解得； …

所以当0＜a＜1时，函数f（x）在区间上单调递增；在

上单调递减，单调递增．…

[选修4-1：几何证明选讲]

28．如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC． 求证：∠DEB=∠DCE．

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【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】由切割线定理：DA2=DB•DC，从则DE2=DB•DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．

【解答】证明：∵EA与⊙O相切于点A． ∴由切割线定理：DA2=DB•DC． ∵D是EA的中点，

∴DA=DE．∴DE2=DB•DC．… ∴

．∵∠EDB=∠CDE，

∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…

[选修4-4：坐标系与参数方程] 29．已知圆锥曲线C：

（α为参数）和定点A（0，

），F1、F2是此圆锥曲

线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线AF2的直角坐标方程；

N两点，（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、求||MF1|﹣|NF1||

的值．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由圆锥曲线C：

（α为参数）化为

，可得F2（1，0），

利用截距式即可得出直线AF2的直角坐标方程． （2）直线AF2的斜率为

，可得直线l的斜率为

．直线l的方程为：

，

代入椭圆的方程化为即可得出．

【解答】解：（1）由圆锥曲线C：可得F2（1，0），

∴直线AF2的直角坐标方程为：（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）． ∵直线AF2的斜率为

=0，t1+t2=，利用||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|

（α为参数）化为，

，化为y=．

，∴直线l的斜率为．

∴直线l的方程为：，

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代入椭圆的方程可得：化为t1+t2=

，

．

=0，

=12，

∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=

[选修4-5：不等式选讲]

30．已知函数f（x）=|x+a|．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）+f（﹣x）＜2存在实数解，求实数a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；函数的零点．

【分析】（Ⅰ） 当a=﹣1时，不等式即|x﹣1|﹣|x+1|≥1，化简可得

，或

，或．解出每个不等式组的解集，再取并集，即为所求．

（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（﹣x），则由绝对值的意义可得g（x）的最小值为2|a|，依题意可得2＞2|a|，由此求得a的范围． 【解答】解：（Ⅰ） 当a=﹣1时，不等式f（x）≥|x+1|+1可化为|x﹣1|﹣|x+1|≥1， 化简可得

，或

，或

．

解得x≤﹣1，或﹣1＜x≤﹣，即所求解集为{x|x≤﹣}． …

（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（﹣x），则g（x）=|x+a|+|x﹣a|≥2|a|，∴g（x）的最小值为2|a|．

依题意可得2＞2|a|，即﹣1＜a＜1． 故实数a的取值范围是（﹣1，1）． …

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2016年10月17日

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