电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版

2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：

z q1 q2E3 E1 x E2 习题图2-2 Pq3 q11C, P1(0,0,1) q21C, P2(1,0,1) q34C, P3(0,1,0)试求位于P(0,1,0)点的电场强度。

解 令r1,r2,r3分别为三个电电荷的位置P1,P2,P3到P点的距离，则

r12，r23，r32。

利用点电荷的场强公式Eq40r2er，其中er为点电荷q指向场点

P的单位矢量。那么，

q1在P点的场强大小为E112q140r12180，方向为

er1eyez。

q2在P点的场强大小为E213q240r221，方向为

120er2exeyez。

q3在P点的场强大小为E3则P点的合成电场强度为

q340r32140，方向为er3ey

EE1E2E3 

2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2106C，相距为2cm， 如习题图2-4所示。试求：①P点的电位；②将电量为2106C的点电荷由无限远

1111111 eexyez012348212382123 1

处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。

解 根据叠加原理，P点的合成电位为

q  P 1cm r1cm 习题图2-4

1cm q  26q40r2.5106V

因此，将电量为210C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为Wq5J

2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度

l0sin, 0，试求圆心处的电场强度。

y

E

习题图2-6

o dl a x 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即

2

dEdEy考虑到dlad,lldlsin

40a20sin，代入上式求得合成电场强度为

Eey00sin2d0ey 40a80a2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为

q, rar2Eer

qr, raa试求球内外各点的电位。 解 在ra区域中，电位为

rEdrEdrEdrrraaq2qar2 2aa在ra区域中，r

rEdrq r2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为

r3, ra Eera52, rar试求空间的电荷密度。

解 利用高斯定理的微分形式E，得知在球坐标系中 01d2rEr 2rdrr0E0那么，在ra区域中电荷密度为

r0在ra区域中电荷密度为

1d5r50r2 2rdrr01d5a0 2rdr2-17 若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强

3

度。

习题图2-17 a r o d P r b 解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内P点的电场强度为

E1P43r er r23040r31式中r是由球心o点指向P点的位置矢量，

再设半径为b的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内P点的电场强度为

E2P43rer r3040r231式中r是由腔心o点指向P点的位置矢量。

那么，合成电场强度E1PE2P即是原先空腔内任一点的电场强度，即

EPE1PE2Prrd 3030式中d是由球心o点指向腔心o点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。

2-19 已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。

解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理

4

2Ddsq4rDqDsqe 2r4r在0ra区域中，电场强度为

ED0q40r2er

在arb区域中，电场强度为

EDqe 2r4r在rb区域中，电场强度为

ED0q40r2er

再求介质壳内外表面上的束缚电荷。

由于P0E，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为

snPerP0

外表面上束缚电荷面密度为

q0q 1224a4asnPerP0q0q 1224b4b2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场E中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场E的方向与介质板法线的夹角为1，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向2度1及介质表面的束缚电荷面密度。

4时，试求角

E 0 en1  2 2 E2 0  1 en2

1 E d 习题图2-20

5

解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得

Esin1E2sin2； Dcos1D2cos2

已知D0E, D2E2，那么由上式求得

tan100tan10tan201arctan

tan2enPen(D0E)， 已知介质表面的束缚电荷s那么，介质左表面上束缚电荷面密度为

1en1P2en11s0D210en1D2100Ecos1介质右表面上束缚电荷面密度为

2en2P2en21s0D210en2D2100Ecos12-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm，电量均为3106C，相距很远。若以导线相连后，试求：①电荷移动的方向及电量；②两球最终的电位及电量。

解 设两球相距为d，考虑到d >> a, d >> b，两个带电球的电位为

11q1q21q2q1 ；240bd40ad两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即12及q1q2q610求得两球最终的电量分别为

6C，

q1adb1qq2106C

adbd2ab3bda2q2qq4106C

adbd2ab3可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为

1106C。

6

两球最终电位分别为

1q13105V

40a1q23105V

40b123-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度l10(C/m)，离开平面的高度h5m，空间媒质的相对介电常数r4。试求：① 空间任一点场强及能量密度；② 导体表面的电荷密度；③ 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。

解 ①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点

导体

习题图3-4 y l r h x

P(x,y)的场强为

lr1lr2lxex(yh)eyxex(yh)eyE222222x(yh)x(yh)22rr12rr2r l2rxxe2222xx(yh)x(yh)

(yh)(yh) x2(yh)2x2(yh)2ey电场能量密度为

lh2(x4y4h42x2h22x2y22y2h2)12 wrE22222222r[x(yh)][x(yh)]已知导体表面的电荷面密度sDny02，那么

sDny0rEyy0lh(C/m2) 22(xh)单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用

7

力，即

lFey 22r(2h)可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度h增加一倍时，外力必须做的功为

2W(F)dlh2h2hhl211 （J）。 dy2.8110216rh2r(2y)l2

3-10 试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为

q2a3(2f2a2) F322240f(fa)式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q的受力。

a2证明 根据镜像法，必须在球内距球心d处引入的镜像电荷

fqaq。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个f镜像电荷q，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷q受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，

qqafq2F1ee（N） 2r222r40(fd)40(fa)qqaq2F2erer（N）

40f240f3q2a3(2f2a2)合力为 FF1F2e（N） 3222r40f(fa)当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q，故q所受到的电场力为F1。 3-11 在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为l，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。

a D l l 8

习题图3-11(a)

解 采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷l，离球心最近的一端对应原先的线电荷l离球心的最远端，而l的最远端对应l的最近端。设l上任一点距离球心为x，(DxDl)，l上任一点距离球心为x，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度范围为

o x dxx xmax dx l x xmin习题图3-11(b)

a2a2x DlDa2a2a2位置x与x的关系为x。因此，x，dxdx。 2xxx再根据电量关系ldx为

3-15 半径为a的不接地的 导体球中含有半径为b的球 形空腔，如习题图3-15(a)所示。 若在导体球外，离球心f处 放置一个电量为q的点电荷， 在空腔中离腔心d1处放置另

aldx，即可求得镜像电荷的分布函数x

lal xa q’ d1 d2 q f 习题图3-15(a)

9

一个电量为q的点电荷，腔心与球心间距为d2，且腔心、球心、点电荷q及q均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。

解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷q以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷q以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示，球外镜像电荷q的位置及电量分别为

b2D；

d1qDq b计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q，其中q0位于球心，q的位置和电量，以及q0的电量分别为

aaa2d3；qq；q0qq

fff

习题图3-15(b)

综上所述，腔内场强由两个点电荷q和q共同产生，腔外场强由三个点电荷q，q和q 共同产生，而导体内的场强为零。

5-4 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z轴。那么，由安培环路定律得知，

D  d2 q q b q0   d1 a q   q d3 f 10

r2I，又dlerd，则 在圆柱内线积分仅包围的部分电流为I1a2rIr2HHdlI 22l2aa即

Be0rI 22a在圆柱外，线积分包围全部电流I，那么

HdlIHlI2r

即

Be0I 2r5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a，其内部存在的圆柱空腔半径为b，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c，如习题图5-5（a）所示。若导体中均匀分布的电流密度为JezJ0，试求空腔中的磁感应强度。

Y Y Y b X r a J c rrr X

习题图5-5(a)

解 柱内空腔可以认为存在一个均匀

习题图5-5(b)

分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为a，电流密度为J0的载流圆柱在柱内半径r处产生的磁场强度H1为

Hl1dlr2J0

求得

H1J0rJr，或写为矢量形式 H1 2211

对应的磁感应强度为

B10Jr2

同理可得半径为b，电流密度为J的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为

Jr 2Jr对应的磁感应强度为 B20

2H2上式中r,r的方向及位置如习题图5-5（b）示。因此，空腔内总的磁感应强度为

BB1B20J2rrJcez0J0excey00

225-7 若在ya处放置一根无限长线电流ezI，在y = a处放置另一根无限长线电流exI，如习题图5-7所示。试 求坐标原点处的磁感应强度。

习题图5-7

X

-a 0 I a Y

I

Z

解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于ya处的无限长线电流ezI在原点产生的磁场为

H1exI2a

位于ya处的无限长线电流exI产生的磁场为

H2ezI2a

因此，坐标原点处总磁感应强度为

12

B0H1H20Iezex 2a5-8 已知宽度为W的带形电流的面密度JsexJs，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。试求P(0,0,d)处的磁感应强度。

y

习题图5-8(a) 习题图5-8(b)

w/2 I Jx o -w/2 d P z o y dy y z x B 解 宽度为dy，面密度为Js的面电流可看作为线电流Jsdy，其在P点产生的磁场为

dHJsdyeydezy

2y2d2由对称性可知，z方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b） 所示，则

H2w20JsdJsdywearctan eyy222d2yd因此，在P0,0,d处的磁感应强度为

B0Hey0Jswarctan 2d5-15 若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数

Jez(r24r), ra，试求圆柱内外的磁感应强度。

解 取圆柱坐标系，如习题图5-15所示。当ra时，通过半径为r的圆柱电流为

13

IiJdsezr24rezdsdr24rrdrss002r81r4r3

32由

z Bdll0rI

o x 求得

41Be0r3r2

34Js y 当ra时

Iodr24rrdr002a2a 81a4a3

32由

习题图 5-15

Bdll0oI

求得

Be01434aa r435-17 已知空间y < 0区域为磁性媒质，其相对磁导率 r5000, y0区域为空气。试求：①当空气中的磁感应强度B0(ex0.5ey10)mT时，磁性媒质中的磁感应强度B；②当磁性媒质中的磁感应强度

B(ex10ey0.5)mT时，空气中的磁感应强度B0。

解 根据题意，建立的直角坐标如图5-17所示。

① 设磁性媒质中的磁感应强度为

y 0 r o x BexBxeyBy

习题图 5-17

已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。因此

By10，

Bx0.5 50000014

求得 即

Bx2500，By10

B(ex2500ey10)mT

② 设空气中的磁感应强度为

B0exB0xeyB0y

则由边界条件获知

B0x0求得 即

10，B0y0.5

50000B0x0.002，B0y0.5

B0(ex0.002ey0.5)mT

6-2 一个面积为ab的矩形 线圈位于双导线之间，位置 如习题图6-2所示。两导线 中电流方向始终相反，其变

I1 化规律为

x c b Y 0 dx ds a I2 I1I210sin(2109t)A，

试求线圈中感应电动势。

0 d X 习题图6-2

解 建立的坐标如图6-2所示。在cxbc内，两导线产生的磁感应强度为

Βez0I10I2 ez2x2bcdx则穿过回路的磁通量为

mΒdssbccez0I111ezadx 2xbcdx0I1abcbdln 2cd则线圈中的感应电动势为

15

abcbddI1dm0lne

2cddtdtbcbd0acos2109tln1010V cd6-3 设带有滑条的两根平行导线端并联电阻

0.2m A y AB的终

R0.2，导线

为0.2m，如习题6-3所示。若正弦场

B R 间距

x 图电磁

B 习题图6-3

o Bez5sin t垂直

穿过该回路，当滑条AB的位置以x0.35(1cos t)m规律变化时，试求回路中的感应电流。

解 建立的坐标如图6-3所示。令并联电阻位于x0处，在t时刻回路的磁通量为

mΒdsez5sin tezdxdy0.351cos tsin tWbss那么，回路中的感应电动势为

dmd1cos tsin t0.35e

dtdt0.35cos2tcostV

16

因此回路中的感应电流为

Ie0.35cos2tcost R0.21.75cos2tcostA

6-9 已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内外半径分别为b及c，内外导体之间为空气，当通过恒定电流I时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。

解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为

B10Ir 2a2

ra

那么，内导体单位长度内的磁场能量为

Wm1020Ir22rdrI BdV120V12162a20011a2在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为

B20I arb 2r1200I2b0Iln 2rdra2r4ab2Wm2在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为

0Ic2r2B3 222rcbWm31200Ic2r2b2rc2b2cc2rdr 24c2b20I20I222c4232crrbdr r4c12222cln3cbcb b44cb22因此，同轴线单位长度内的磁场能量为

WmWm1Wm2Wm30I216b4c414ln2acb22c3c2b2ln2 bcb217

那么，单位长度的自感

2Wm0b4c4L214ln28acb2I2c3c2b2ln2 bcb2

7-4 设真空中的磁感应强度为

B(t)ey103sin(6108tkz)

试求空间位移电流密度的瞬时值。 解 由麦克斯韦方程知HJ移电流为

D，而真空中传导电流J0，则位tJd求得

D1HB， tJdex1034k00sin(6108tkz)

ex10sin(6108tkz)(A/m2)27-9 已知电磁波的合成电场的瞬时值为

E(z,t)E1(z,t)E2(z,t)

式中

E1(z,t)ex0.03sin(108 tkz)。 8E2(z,t)ex0.04cos(10 tkz)3试求合成磁场的瞬时值及复值。

解 根据题意，电场分量E1的复值为E1ex瞬时值可写为

0.032ejkz。电场分量E2的

E2(z,t)ex0.04cos(108 tkz ex0.04sin(108 tkz36)ex0.04sin(108 tkz32)) 18

对应的复值为

E2ex0.042ej(kz)6

那么，合成电场的复值为

Eex12(0.030.04e6)ejkz

j由EjH，得

Hj求得

1EjEx1Ex1Ex eeejyzyzyzHey12(0.030.04e6)jjkze 对应的磁场分量的瞬时值分别为

H1(z,t)ey0.03sin(108 tkz) H2(z,t)ey0.04

sin(108 tkz)ey0.04cos(108 tkz637-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为

H(y,t)ex2cos20xsin( tkyy)

试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。 解 由H(y,t)ex2cos20xsin( tkyy)，可得其复值为

H(y)excos20xejkyy

因真空中传导电流为零，HJjDj0E，得

E

H1j0j0

HxHxHx1 eeezzyzyj0yjkyy即

Eez120cos20xe

19

能量密度的平均值

wav能流密度的平均值

110E2(y)0H2(y)4107cos220x 22SavRe(Sc)Re(EH*)ey120cos220x

7-13 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为

E(r)(jex2eyj3ez)ej 0.05(3xz)

试求电场强度的瞬时值E(r,t)，磁感应强度的复矢量B(r)及复能流密度矢量Sc。

j0.05(解 由E(r)(jex2eyj3ez)e3xz)可知

krkxxkyykzz0.05求得

3xz

kx0.053，ky0，kz0.05

22kkxkykz20.1

则

k009.42107（rad/s）

那么电场强度的瞬时值为

E(r,t)2(jex2eyj3ez)sin[9.42107t0.05(3xz)]

同上题，由麦克斯韦方程，求得磁感应强度为

B(r)复能流密度矢量为

(ex2jey3ez)ej0.05(102503xz)

ScEH*

3exez。

8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为

E(x, t)eysin(18106t3x) (V/m)

试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。 解 已知电场强度瞬时值为

20

1Ex,teysin18106tx(V/m)

3可见这是向+x方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为

Hx,tez11sin18106tx(A/m) Z3式中Z为媒质的波阻抗。 1。由此36根据题意，获知平面波的角频率1810，波数k求出

频率：f29106Hz；波长：6m

k2相速：vpf106(m/s) 能流密度：SEHex11sin218106tx(W/m2) Z38-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为

H(y, t)ez2.4cos(6108t2y) (A/m)

试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。

6解 根据题意，获知平面波的角频率610，相位常数k2。由

此求出

频率：f相速：vp23108Hz；波长：1m 2k8k310(m/s)

已知磁场强度瞬时值为

Hy,tez2.4cos6108t2y(A/m)

可见这是向-y方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为

Ey,tex2.4Z0cos6106t2y(V/m)

式中Z0

0为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为 021

Eyex能流密度矢量：

2.42Z0ej2y(V/m)

SEHey2.42Z20ey345.63(W/m2)

22