2-2 已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:
z q1 q2E3 E1 x E2 习题图2-2 Pq3 q11C, P1(0,0,1) q21C, P2(1,0,1) q34C, P3(0,1,0)试求位于P(0,1,0)点的电场强度。
解 令r1,r2,r3分别为三个电电荷的位置P1,P2,P3到P点的距离,则
r12,r23,r32。
利用点电荷的场强公式Eq40r2er,其中er为点电荷q指向场点
P的单位矢量。那么,
q1在P点的场强大小为E112q140r12180,方向为
er1eyez。
q2在P点的场强大小为E213q240r221,方向为
120er2exeyez。
q3在P点的场强大小为E3则P点的合成电场强度为
q340r32140,方向为er3ey
EE1E2E3
2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2106C,相距为2cm, 如习题图2-4所示。试求:①P点的电位;②将电量为2106C的点电荷由无限远
1111111 eexyez012348212382123 1
处缓慢地移至P点时,外力必须作的功。
解 根据叠加原理,P点的合成电位为
q P 1cm r1cm 习题图2-4
1cm q 26q40r2.5106V
因此,将电量为210C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点,外力必须做的功为Wq5J
2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
l0sin, 0,试求圆心处的电场强度。
y
E
习题图2-6
o dl a x 解 建立直角坐标,令线电荷位于xy平面,且以y轴为对称,如习题图2-6所示。那么,点电荷ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称,因此,仅需考虑电场强度的Ey分量,即
2
dEdEy考虑到dlad,lldlsin
40a20sin,代入上式求得合成电场强度为
Eey00sin2d0ey 40a80a2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为
q, rar2Eer
qr, raa试求球内外各点的电位。 解 在ra区域中,电位为
rEdrEdrEdrrraaq2qar2 2aa在ra区域中,r
rEdrq r2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
r3, ra Eera52, rar试求空间的电荷密度。
解 利用高斯定理的微分形式E,得知在球坐标系中 01d2rEr 2rdrr0E0那么,在ra区域中电荷密度为
r0在ra区域中电荷密度为
1d5r50r2 2rdrr01d5a0 2rdr2-17 若在一个电荷密度为,半径为a的均匀带电球中,存在一个半径为b的球形空腔,空腔中心与带电球中心的间距为d,试求空腔中的电场强
3
度。
习题图2-17 a r o d P r b 解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为a的整个球内充满电荷密度为的电荷,则球内P点的电场强度为
E1P43r er r23040r31式中r是由球心o点指向P点的位置矢量,
再设半径为b的球腔内充满电荷密度为的电荷,则其在球内P点的电场强度为
E2P43rer r3040r231式中r是由腔心o点指向P点的位置矢量。
那么,合成电场强度E1PE2P即是原先空腔内任一点的电场强度,即
EPE1PE2Prrd 3030式中d是由球心o点指向腔心o点的位置矢量。可见,空腔内的电场是均匀的。
2-19 已知内半径为a,外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为,若在球心放置一个电量为q的点电荷,试求:①介质壳内外表面上的束缚电荷;②各区域中的电场强度。
解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理
4
2Ddsq4rDqDsqe 2r4r在0ra区域中,电场强度为
ED0q40r2er
在arb区域中,电场强度为
EDqe 2r4r在rb区域中,电场强度为
ED0q40r2er
再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
由于P0E,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
snPerP0
外表面上束缚电荷面密度为
q0q 1224a4asnPerP0q0q 1224b4b2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场E中,周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为,均匀电场E的方向与介质板法线的夹角为1,如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向2度1及介质表面的束缚电荷面密度。
4时,试求角
E 0 en1 2 2 E2 0 1 en2
1 E d 习题图2-20
5
解 根据两种介质的边界条件获知,边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得
Esin1E2sin2; Dcos1D2cos2
已知D0E, D2E2,那么由上式求得
tan100tan10tan201arctan
tan2enPen(D0E), 已知介质表面的束缚电荷s那么,介质左表面上束缚电荷面密度为
1en1P2en11s0D210en1D2100Ecos1介质右表面上束缚电荷面密度为
2en2P2en21s0D210en2D2100Ecos12-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm,电量均为3106C,相距很远。若以导线相连后,试求:①电荷移动的方向及电量;②两球最终的电位及电量。
解 设两球相距为d,考虑到d >> a, d >> b,两个带电球的电位为
11q1q21q2q1 ;240bd40ad两球以导线相连后,两球电位相等,电荷重新分布,但总电荷量应该守恒,即12及q1q2q610求得两球最终的电量分别为
6C,
q1adb1qq2106C
adbd2ab3bda2q2qq4106C
adbd2ab3可见,电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球,移动的电荷量为
1106C。
6
两球最终电位分别为
1q13105V
40a1q23105V
40b123-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近,如习题图3-4所示。已知线电荷密度l10(C/m),离开平面的高度h5m,空间媒质的相对介电常数r4。试求:① 空间任一点场强及能量密度;② 导体表面的电荷密度;③ 当线电荷的高度增加一倍时,外力对单位长度内的线电荷应作的功。
解 ①建立圆柱坐标,令导体表面位于xz平面,导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法,上半空间中任一点
导体
习题图3-4 y l r h x
P(x,y)的场强为
lr1lr2lxex(yh)eyxex(yh)eyE222222x(yh)x(yh)22rr12rr2r l2rxxe2222xx(yh)x(yh)
(yh)(yh) x2(yh)2x2(yh)2ey电场能量密度为
lh2(x4y4h42x2h22x2y22y2h2)12 wrE22222222r[x(yh)][x(yh)]已知导体表面的电荷面密度sDny02,那么
sDny0rEyy0lh(C/m2) 22(xh)单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用
7
力,即
lFey 22r(2h)可见,线电荷受到的是吸引力。所以,当线电荷的高度h增加一倍时,外力必须做的功为
2W(F)dlh2h2hhl211 (J)。 dy2.8110216rh2r(2y)l2
3-10 试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为
q2a3(2f2a2) F322240f(fa)式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后,再计算点电荷q的受力。
a2证明 根据镜像法,必须在球内距球心d处引入的镜像电荷
fqaq。由于球未接地,为了保持总电荷量为零,还必须引入另一个f镜像电荷q,且应位于球心,以保持球面为等电位。那么,点电荷q受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力,即,
qqafq2F1ee(N) 2r222r40(fd)40(fa)qqaq2F2erer(N)
40f240f3q2a3(2f2a2)合力为 FF1F2e(N) 3222r40f(fa)当导体球接地时,则仅需一个镜像电荷q,故q所受到的电场力为F1。 3-11 在半径为a的接地导体球附近,沿径向放置一根长度为l的线电荷,如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为l,近端离球心的距离为D,试求镜像电荷及其位置。
a D l l 8
习题图3-11(a)
解 采用镜像法,应在球内径向位置引入一个镜像线电荷l,离球心最近的一端对应原先的线电荷l离球心的最远端,而l的最远端对应l的最近端。设l上任一点距离球心为x,(DxDl),l上任一点距离球心为x,则根据点电荷与导体球面的镜像规律,获知镜像线电荷的长度范围为
o x dxx xmax dx l x xmin习题图3-11(b)
a2a2x DlDa2a2a2位置x与x的关系为x。因此,x,dxdx。 2xxx再根据电量关系ldx为
3-15 半径为a的不接地的 导体球中含有半径为b的球 形空腔,如习题图3-15(a)所示。 若在导体球外,离球心f处 放置一个电量为q的点电荷, 在空腔中离腔心d1处放置另
aldx,即可求得镜像电荷的分布函数x
lal xa q’ d1 d2 q f 习题图3-15(a)
9
一个电量为q的点电荷,腔心与球心间距为d2,且腔心、球心、点电荷q及q均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。
解 由于导体球的屏蔽作用,球外点电荷q以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此,计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷q以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响,可以应用镜像法,以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系,导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示,球外镜像电荷q的位置及电量分别为
b2D;
d1qDq b计算腔外场强也可应用镜像法,此时导体球的半径为a,如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q,其中q0位于球心,q的位置和电量,以及q0的电量分别为
aaa2d3;qq;q0qq
fff
习题图3-15(b)
综上所述,腔内场强由两个点电荷q和q共同产生,腔外场强由三个点电荷q,q和q 共同产生,而导体内的场强为零。
5-4 已知无限长导体圆柱半径为a,通过的电流为I,且电流均匀分布,试求柱内外的磁感应强度。
解 建立圆柱坐标系,令圆柱的轴线为Z轴。那么,由安培环路定律得知,
D d2 q q b q0 d1 a q q d3 f 10
r2I,又dlerd,则 在圆柱内线积分仅包围的部分电流为I1a2rIr2HHdlI 22l2aa即
Be0rI 22a在圆柱外,线积分包围全部电流I,那么
HdlIHlI2r
即
Be0I 2r5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a,其内部存在的圆柱空腔半径为b,导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c,如习题图5-5(a)所示。若导体中均匀分布的电流密度为JezJ0,试求空腔中的磁感应强度。
Y Y Y b X r a J c rrr X
习题图5-5(a)
解 柱内空腔可以认为存在一个均匀
习题图5-5(b)
分布的等值反向电流,抵消了原有的电流而形成的。那么,利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为a,电流密度为J0的载流圆柱在柱内半径r处产生的磁场强度H1为
Hl1dlr2J0
求得
H1J0rJr,或写为矢量形式 H1 2211
对应的磁感应强度为
B10Jr2
同理可得半径为b,电流密度为J的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为
Jr 2Jr对应的磁感应强度为 B20
2H2上式中r,r的方向及位置如习题图5-5(b)示。因此,空腔内总的磁感应强度为
BB1B20J2rrJcez0J0excey00
225-7 若在ya处放置一根无限长线电流ezI,在y = a处放置另一根无限长线电流exI,如习题图5-7所示。试 求坐标原点处的磁感应强度。
习题图5-7
X
-a 0 I a Y
I
Z
解 根据无限长电流产生的磁场强度公式,求得位于ya处的无限长线电流ezI在原点产生的磁场为
H1exI2a
位于ya处的无限长线电流exI产生的磁场为
H2ezI2a
因此,坐标原点处总磁感应强度为
12
B0H1H20Iezex 2a5-8 已知宽度为W的带形电流的面密度JsexJs,位于z = 0平面内,如习题图5-8所示。试求P(0,0,d)处的磁感应强度。
y
习题图5-8(a) 习题图5-8(b)
w/2 I Jx o -w/2 d P z o y dy y z x B 解 宽度为dy,面密度为Js的面电流可看作为线电流Jsdy,其在P点产生的磁场为
dHJsdyeydezy
2y2d2由对称性可知,z方向的分量相互抵消,如习题图5-8(b) 所示,则
H2w20JsdJsdywearctan eyy222d2yd因此,在P0,0,d处的磁感应强度为
B0Hey0Jswarctan 2d5-15 若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数
Jez(r24r), ra,试求圆柱内外的磁感应强度。
解 取圆柱坐标系,如习题图5-15所示。当ra时,通过半径为r的圆柱电流为
13
IiJdsezr24rezdsdr24rrdrss002r81r4r3
32由
z Bdll0rI
o x 求得
41Be0r3r2
34Js y 当ra时
Iodr24rrdr002a2a 81a4a3
32由
习题图 5-15
Bdll0oI
求得
Be01434aa r435-17 已知空间y < 0区域为磁性媒质,其相对磁导率 r5000, y0区域为空气。试求:①当空气中的磁感应强度B0(ex0.5ey10)mT时,磁性媒质中的磁感应强度B;②当磁性媒质中的磁感应强度
B(ex10ey0.5)mT时,空气中的磁感应强度B0。
解 根据题意,建立的直角坐标如图5-17所示。
① 设磁性媒质中的磁感应强度为
y 0 r o x BexBxeyBy
习题图 5-17
已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续,磁场强度的切向分量连续。因此
By10,
Bx0.5 50000014
求得 即
Bx2500,By10
B(ex2500ey10)mT
② 设空气中的磁感应强度为
B0exB0xeyB0y
则由边界条件获知
B0x0求得 即
10,B0y0.5
50000B0x0.002,B0y0.5
B0(ex0.002ey0.5)mT
6-2 一个面积为ab的矩形 线圈位于双导线之间,位置 如习题图6-2所示。两导线 中电流方向始终相反,其变
I1 化规律为
x c b Y 0 dx ds a I2 I1I210sin(2109t)A,
试求线圈中感应电动势。
0 d X 习题图6-2
解 建立的坐标如图6-2所示。在cxbc内,两导线产生的磁感应强度为
Βez0I10I2 ez2x2bcdx则穿过回路的磁通量为
mΒdssbccez0I111ezadx 2xbcdx0I1abcbdln 2cd则线圈中的感应电动势为
15
abcbddI1dm0lne
2cddtdtbcbd0acos2109tln1010V cd6-3 设带有滑条的两根平行导线端并联电阻
0.2m A y AB的终
R0.2,导线
为0.2m,如习题6-3所示。若正弦场
B R 间距
x 图电磁
B 习题图6-3
o Bez5sin t垂直
穿过该回路,当滑条AB的位置以x0.35(1cos t)m规律变化时,试求回路中的感应电流。
解 建立的坐标如图6-3所示。令并联电阻位于x0处,在t时刻回路的磁通量为
mΒdsez5sin tezdxdy0.351cos tsin tWbss那么,回路中的感应电动势为
dmd1cos tsin t0.35e
dtdt0.35cos2tcostV
16
因此回路中的感应电流为
Ie0.35cos2tcost R0.21.75cos2tcostA
6-9 已知同轴线的内导体半径为a,外导体的内外半径分别为b及c,内外导体之间为空气,当通过恒定电流I时,计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。
解 由安培环路定律,求得内导体中的磁场感应强度为
B10Ir 2a2
ra
那么,内导体单位长度内的磁场能量为
Wm1020Ir22rdrI BdV120V12162a20011a2在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为
B20I arb 2r1200I2b0Iln 2rdra2r4ab2Wm2在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为
0Ic2r2B3 222rcbWm31200Ic2r2b2rc2b2cc2rdr 24c2b20I20I222c4232crrbdr r4c12222cln3cbcb b44cb22因此,同轴线单位长度内的磁场能量为
WmWm1Wm2Wm30I216b4c414ln2acb22c3c2b2ln2 bcb217
那么,单位长度的自感
2Wm0b4c4L214ln28acb2I2c3c2b2ln2 bcb2
7-4 设真空中的磁感应强度为
B(t)ey103sin(6108tkz)
试求空间位移电流密度的瞬时值。 解 由麦克斯韦方程知HJ移电流为
D,而真空中传导电流J0,则位tJd求得
D1HB, tJdex1034k00sin(6108tkz)
ex10sin(6108tkz)(A/m2)27-9 已知电磁波的合成电场的瞬时值为
E(z,t)E1(z,t)E2(z,t)
式中
E1(z,t)ex0.03sin(108 tkz)。 8E2(z,t)ex0.04cos(10 tkz)3试求合成磁场的瞬时值及复值。
解 根据题意,电场分量E1的复值为E1ex瞬时值可写为
0.032ejkz。电场分量E2的
E2(z,t)ex0.04cos(108 tkz ex0.04sin(108 tkz36)ex0.04sin(108 tkz32)) 18
对应的复值为
E2ex0.042ej(kz)6
那么,合成电场的复值为
Eex12(0.030.04e6)ejkz
j由EjH,得
Hj求得
1EjEx1Ex1Ex eeejyzyzyzHey12(0.030.04e6)jjkze 对应的磁场分量的瞬时值分别为
H1(z,t)ey0.03sin(108 tkz) H2(z,t)ey0.04
sin(108 tkz)ey0.04cos(108 tkz637-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为
H(y,t)ex2cos20xsin( tkyy)
试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。 解 由H(y,t)ex2cos20xsin( tkyy),可得其复值为
H(y)excos20xejkyy
因真空中传导电流为零,HJjDj0E,得
E
H1j0j0
HxHxHx1 eeezzyzyj0yjkyy即
Eez120cos20xe
19
能量密度的平均值
wav能流密度的平均值
110E2(y)0H2(y)4107cos220x 22SavRe(Sc)Re(EH*)ey120cos220x
7-13 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为
E(r)(jex2eyj3ez)ej 0.05(3xz)
试求电场强度的瞬时值E(r,t),磁感应强度的复矢量B(r)及复能流密度矢量Sc。
j0.05(解 由E(r)(jex2eyj3ez)e3xz)可知
krkxxkyykzz0.05求得
3xz
kx0.053,ky0,kz0.05
22kkxkykz20.1
则
k009.42107(rad/s)
那么电场强度的瞬时值为
E(r,t)2(jex2eyj3ez)sin[9.42107t0.05(3xz)]
同上题,由麦克斯韦方程,求得磁感应强度为
B(r)复能流密度矢量为
(ex2jey3ez)ej0.05(102503xz)
ScEH*
3exez。
8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为
E(x, t)eysin(18106t3x) (V/m)
试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。 解 已知电场强度瞬时值为
20
1Ex,teysin18106tx(V/m)
3可见这是向+x方向传播的平面波。因此,磁场强度的瞬时值为
Hx,tez11sin18106tx(A/m) Z3式中Z为媒质的波阻抗。 1。由此36根据题意,获知平面波的角频率1810,波数k求出
频率:f29106Hz;波长:6m
k2相速:vpf106(m/s) 能流密度:SEHex11sin218106tx(W/m2) Z38-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为
H(y, t)ez2.4cos(6108t2y) (A/m)
试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。
6解 根据题意,获知平面波的角频率610,相位常数k2。由
此求出
频率:f相速:vp23108Hz;波长:1m 2k8k310(m/s)
已知磁场强度瞬时值为
Hy,tez2.4cos6108t2y(A/m)
可见这是向-y方向传播的平面波。因此,电场强度的瞬时值为
Ey,tex2.4Z0cos6106t2y(V/m)
式中Z0
0为真空的波阻抗。那么,电场强度的复矢量为 021
Eyex能流密度矢量:
2.42Z0ej2y(V/m)
SEHey2.42Z20ey345.63(W/m2)
22
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