对一道弹簧连接体问题的探讨

对一道弹簧连接体问题的探讨

作者：陈万海

来源：《中学物理·高中》2013年第10期

题目质量相同的A、B两物块之间夹一轻质弹簧，弹簧的两端是与两物块相连的.把这个组合放置在水平桌面上，整体处于静止状态.现突然撤去桌子，且已知桌面距地面足够高，则 A.在撤去桌子的瞬间，A物块的加速度为零，B物块的加速度也为g B.两物块共速时，弹簧的弹性势能达到最大 C.两物块加速度相同时，弹簧的弹性势能达到最大 D.弹簧先被拉伸，后恢复至原长，此后长度保持不变

这是一道弹簧连接体问题，研究对象多样且受力的不断变化为解决该题带来一定难度，下面以两种方法尝试加以分析. 方法一常规分析法

若要对这道题有一个比较清晰的理解，首先需分析在撤去桌子后，两物块各自的受力情况.其次要关注弹簧长度的变化情况，根据弹簧的状态可将这个连接体的运动过程分段，将撤去桌子的瞬间视为状态（1），弹簧恢复至原长时为状态（2），弹簧被拉至最长时为状态（3），由状态（1）至状态（2）称为过程一，由状态（2）至状态（3）称为过程二，如图1所示. （1）在撤去桌子的瞬间，弹簧还将维持原来的形变量，来不及发生改变.此时 对A，FA=0；故aA=0. 对B，FB=2mg；故aB=2g.

此后A、B两物体将做变加速运动.弹簧要从压缩状态恢复至原长 （2）当弹簧恢复至原长时， 对A，FA=mg；故aA=g. 对B，FB=mg ；故aB=g.

此后，两物块并不能保持相对静止，因为B的速度大于A，因此弹簧将会被拉伸.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

A做加速度增大的变加速运动，B做加速度减小的变加速运动.最终二者会共速. （3）当二者共速时，弹簧被拉至最长.

此时A的加速度最大，B的加速度最小，但具体的数值难以给出. 两个过程加速度的变化以表格的形式给出，如表1、表2.

表1过程一AB弹簧的形变特征从压缩量最大恢复至原长弹簧弹力的特征向上，减小向下，减小合力FFA增大FB减小加速度aaA增大aB减小速度vA增大vB增大两速度的差值ΔvΔv增大加速度的变化率ΔaΔt增大增大a-t图的斜率增大增大表2过程二AB弹簧的形变特征从原长拉伸至最长弹簧弹力的特征向下，增大向上，增大合力FFA增大FB减小加速度aaA增大aB减小速度vA增大vB增大两速度的差值ΔvΔv减小加速度的变化率ΔaΔt减小减小a-t图的斜率减小减小说明（1）加速度的变化率是由A，B两物体的速度的差值Δv决定的： 差值不变，意味着弹簧的弹力是均匀变化的，故两物体所受的合力也是均匀变化的，a-t图的斜率则不变.

差值减小，意味着弹簧的弹力是变化的越来越慢，故两物体所受的合力也变化的慢了，a-t图的斜率则变小.

差值增大，意味着弹的弹力是变化的越来越快，故两物体所受的合力也变化的快了，a-t图的斜率则变大.

（2）两物块共速之后，物块之间并不能保持相对静止，因为弹簧处于被拉伸的状态，故A要加速，B要减速，此后的运动规律，按照上述分析法是难以清晰的了解了.

据此，大致可以画出A，B两物体的a-t图，如图2所示.0-t1对应过程一，t1- t2对应过程二，需要特别指出的是，依据以上分析是难以断定两个过程的时间是否相等，图象是否成周期性的.

至此，上述选择题的答案就清晰可见了，应选B. 方法二运动的合成法

对于这个问题若换一种角度去思考，可能会有一个更彻底的理解.撤去桌面后，两个物块的运动其实可视为两物块之间的简谐振动和整体自由落体的合运动.由运动的合成知识可知，描述物体运动每个物理量也是由对应的简谐振动和自由落体的参量合成得到.在此我们只讨论A，B物体的加速度 .显然，做简谐振动物体的加速度成正弦余弦函数图象.做自由落体物体的加速度是恒量g，分别如图3，图4所示.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

则A、B两物体实际的a-t图是由上面两个图象叠加而成.如图5所示.

说明（1）由运动的合成法，可以明确的知道，a-t是一个周期函数.（2）其实根据简谐振动和自由落体的运动速度图象，也容易用合成法得到两物块的v-t图，在此就不展开了. 小结弹簧连接体问题，是学生学习的一个难点，原因主要在于物体在运动过程中受力大小和方向多变性.以上两种分析法各有特点，常规受力分析法是学生高中阶段必须掌握的一项技能，对于本题，该方法只可以做到定性了解，难以定量，无法给出明确的运动规律.而运动的合成法，简单，直接，而且能够清楚的给出物体的运动规律，但其中的受力变化过程学生难以体验了.