实验二控制系统的根轨迹

1．实验目的

1) 掌握MATLAB软件绘制根轨迹的方法。 2) 分析参数变化对根轨迹的影响。 3) 利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。 2．实验仪器

1) PC机一台 2) MATLAB软件 3．实验原理

(1) 根轨迹的概念

经典控制理论中，为了避开直接求解高阶特征方程式根时遇到的困难，提出了一种图解求根的方法，即根轨迹法。根轨迹是指当系统的某个参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在复平面上的变化曲线。

常规根轨迹一般取开环增益K作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：

KG(s)H(s)*(szj1imj)1

(sp)i1*其中zj---开环零点，pi---开环极点，K---根轨迹增益，是一个变化的参数（0），

nK*AK,A为一常数。系统结构图如下:

图2-1 闭环系统结构图

闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足

（1） 幅值条件：

K*B(s)A(s)K*|(szj1ni1mj)|1；

|(sp)|i（2） 相角条件：

(szj1mj)(spi)(2k1)。

i1n（2）用MATLAB软件绘制根轨迹

MATLAB7.0提供的工具箱给出了一系列关于根轨迹的函数，如表2-1所示。使用这些函数能够很方便地绘制出系统的常规根轨迹和参数根轨迹，还能基于根轨迹对系统性能进行分析。

表2-1 根轨迹函数 函数名 pzmap rlocfind rlocus rltool sgrid zgrid ① pzmap

调用格式：pzmap(sys); [p,z]=pzmap(sys) ② rlocfind

调用格式：[k,poles]=rlocfind(sys); [k,poles]=rlocfind(sys,p) ③ rlocus

调用格式：rlocus(sys); rlocus(sys,k); [r,k]=rlocus(sys); r=rlocus(sys,k) ④ rltool

调用格式：rltool(plant); rltool(plant,comp) ⑤ sgrid

调用格式：sgrid; sgrid(z,wn) ⑥ zgrid

调用格式：zgrid; zgrid(z,wn) 4．实验内容与步骤

函功能描述 绘制零极点 计算给定根轨迹增益 计算并绘制根轨迹 根轨迹设计GUI工具 绘制连续时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率网格 绘制离散时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率网格 K*系统的开环传递函数：G(s)H(s)

s(s1)(s2) 绘制系统的根轨迹图。

程序： num=[1]；

den=[1 3 2 0]； rlocus(num,den) 执行后得到如下图形：

32Imag Axis10-1-2-3-3-2-10Real Axis12 （1） 采用上述方法绘制开环传递函数

K*(s1)*G(s)2,K0

s(sa)当a=1, 0.5, 8, 10时系统的根轨迹，记录根轨迹图并分析。 （2）绘制开环传递函数

K*(s5)*,K0 G(s)32ss6s 的闭环根轨迹，并确定根轨迹上任意点处的K值及对应的闭环特征根。 num=[1 5];

den=[1 1 6 0]; rlocus(num,den) [k,p]=rlocfind(num,den) gtext(‘k=0.5’)

执行时先画出了根轨迹，并提示用户在图形窗口中选择根轨迹上的一点，以计算出增益K及相应的极点。这时将十字光标放在根轨迹与虚轴的交点处，可得 k=0.5072 p= -3.2271 -0.21 -0.8808

*K*(s5)G(s)3,K*0 2s5s6s 输入如下语句：

K=10；s1=tf([10 10*5],[1 5 6 0]); sys=feedback(s1,1); step(sys)； impulse(sys)；

可以求出K10时的单位阶跃响应和冲激响应。

*Step Response1.81.61.41.2Amplitude10.80.60.40.2005Time (sec)1015

*

按照上述方法记录K5时的单位阶跃响应和冲激响应曲线。

*★ 按照上述方法绘制开环传递函数的闭环根轨迹，确定与虚轴交点处的 K值。

K* a. G(s)3

s2s23s1K* b. G(s),m0,5,20。 2s(s4)(s4sm) 利用语句: s1=conv([1 0],[1 4]);

s2=conv(s1,[1 4 0]); den=s2; （3）一种具有高性能微型机器人的传递函数为：

K*(s1)(s2)(s3)*G(s)H(s),K0

s3(s1)（a）画出系统的根轨迹图；

（b）求使闭环系统稳定的增益范围。

MATLAB程序：z=[-1,-2,-3]; p=[0,0,0,1]; k=10; G=zpk(z,p,k); rlocus(G)； sys=feedback(G,1); step(sys);

由根轨迹图和运行数据知，当K___时，闭环系统稳定？与之对应的振荡频率为多少？

5.实验报告

① 画出各系统根轨迹图并讨论；

② 确定根轨迹上的分离点、与虚轴的交点；

③ 从根轨迹上能分析系统的性能（稳定性、动态响应）。

思考题

1. 在实验（1）中，不同a值构成的根轨迹若画在一张图上会是什么样子？若K值固定，以a为参数的系统参数根轨迹应该如何在MATLAB中画出？ 2. 在实验（2）中，根轨迹上具有相同开环增益K值的点应有几个？

3. 在实验（3）中，请思考开环极点p1对使系统稳定的K值范围和系统闭环极点位

置的影响。

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