高中数学竞赛训练题
陕西省西安中学 王 扬
西安市西光中学 刘康宁
1.设x是模为1的复数,则x2+1x2
第一试
一、选择题
1.设三角形三边互不相等,最小边上的高为h,其+1的最小值
是 .2.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和Sn满
足6Sn=an2+3an+2.若a2,a4,a9成等比数列,则数列
{an}的通项an= .3.已知a、b为正整数,且
a+b4,则a+b2=49a+ab+b
2
形内任一点到三边的距离分别为x、y、z.那么( ).
A.h=x+y+z B.h>x+y+zC.h -y2=1右支上一点(非顶 4 点),F1、F2为双曲线的两个焦点,则△F1PF2的内心 3.设P为双曲线 x2 的值是 .x ex-e- x 2 +( ex-e- 2 )2+1]是 4.设A={t0 t∈A},C(r)={(x,y)x+y≤r,r> 0},则满足BΑC(r)的r的最小值是 .5.要使函数f(x)=lg(sin6x+cos6x+asinxcosx) 的定义域为R,则实数a应满足的条件是 .6.表面积为定值S的直角四面体(相邻三侧棱两 两互相垂直)体积的最小值为 .三、过侧面均为正三角形的三棱锥的高作一平面,与三侧面所在平面交于三条直线,这三条直线与底面所成的角分别为Α、、.求证ΒΧ 3+ctg2Β+ctg2Χ≥.ctg2Α 4 四、已知a、b为非0常数,变量Η满足不等式组 asinΗ+bcosΗ≥0,acosΗ-bsinΗ≥0. 轨迹必在直线( ). A.x=2上 B.x=1上C.y=2x上 D.y=x上 4.在△ABC中,∠A、∠C的对边分别为a、B、b、 111+-之值为c,且a∶b∶c=1∶2∶4.那么 a b c ( ). A.1 B.2 C.0 D. 2 试求sinΗ的最大值. 五、设a,b,c∈R+,Κ∈(-2,2),求证: (+ a2+Κab+b2+ b2+Κbc+c2 5.x轴正半轴上有10个点,y轴正半轴上有5个 点,x轴上的这10个点与y轴正半轴上的5个点连成 50条线段,这50条线段在第象限内的交点个数最 c2+Κca+a2)2 多是( ). A.350 B.450 C.600 D.750 6.对于每个整数n(n≥2),满足an=a+1,b2n=b+3a的正数a与b的大小关系是( ). )(a+b+c)2+(2-Κ)(a-b)2.≥(2+Κ 第二试 一、过△ABC所在平面上任一点P作PA、PB、 PC的垂线分别交BC、CA、AB所在直线于D、E、F,求 A.a>b>1 B.b>a>1C.0D.0证D、.E、F三点共线 二、在数列{an}中,a1=a,a2=b(a、b∈N,1≤a, 二、填空题 b≤9).对n∈N,有an+2=an+1+an的个位数字,求证 中学数学教学参考 1998年第8~9合期同理再连B2A10,可得3(1+2+3+…+9)个交点. 连B3A10,可得2(1+2+…+9)个交点.连B4A10,可得1(1+2+3+…+9)个交点.所以满足题目条件的交点共有 (1+2+3+4)(1+2+3+…+9)=450个.6.选A.首先a>1,b>1.否则若0n a=a+1>1,从而a>1,矛盾;若0{an}是周期数列.若设最小正周期为T,求出T可取值 的集合. 三、如果一个矩形的长和宽都是奇数,在其内部是否存在这样的点,它到四个顶点的距离都是整数. 参考解答 第一试 一、选择题: 1.选B.如右图,设a最小. abcx+y+zaaa 2n .即a、b=b+3a>3,从而b>1,矛盾b均大于1. 一方面a2n-b2n=(a+1)2-(b+3a)=a2-a-b +1.则x+y+z< =h. 1a (ax+by+cz)= 1a・ah=另一面,a2n-b2n=(a-b)(a2n-1+a2n-2b+… +b2n-1). 1x (e-e-x)为R2上的奇函数,在(0,+∞)上增.y=lg(u+ 2.选C.∵u=u2+1)也 是R上的奇函数,且在(0,+∞)上增.∴应选C. 3.选A.设内切圆与三边PF1、PF2、F1F2分别切 ∴a2-a-b+1=(a-b)(a2n-1+a2n-2b+…+b2n-1), a2-a-b+1即=a2n-1+a2n-2b+…+b2n-1>1. a-b (a-1)2a2-2a-1∴>0,即>0,故 a>b. a-ba-b综上可知 a>b>1. 二、填空题 1.填-1.设x=cosΗ+isinΗ,则x2+x-2+1=2cos2Η+1≥-1,当且仅当cos2Η=-1时取等号. 2.填an=3n-2.当n=1时,有6a1=a12+3a1+2 于A、B、C,据双曲线定义知PF1-PF2=4.而PF1=PA+AF1,PF2=PB+BF2,PA=PB,AF1=F1C,BF2=F2C.故F1C-F2C=4,∴切点C与双曲线的右顶点重合,即△PF1F2的内心在x=2上. 4.选C.设∠A=x,∠B=2x,∠C=4x,则x= ]a1=1或a1=2. 当n≥2时,6Sn=an2+3an+2, 6Sn-1=an-12 (1)(2) Π4Π2ΠΠ.∠A=,∠B=,∠C=.记△ABC的外接圆7777 1111111()=(半径为R,则+=+ ab2RsinAsinB2R4Πsin 7 3ΠΠ2sincos 11771)=+・=2Π2R3ΠΠΠΠsin2sinsincos2Rsin 777771=.c +3an-1+2. (1)-(2),得 (an+an-1)(an-an-1-3)=0. ∵an>0,∴an-an-3=3.当a1=1时,an=1+3(n -1)=3n-2,适合a42=a2・a9;当a1=2时,an=2+3 ・(n-1)=3n-1,不适合a42=a2・a9.所以an=3n-2. 3.填16.令a+b=4k(k∈N),则a2+ab+b2=49k,即 22 ab=(a+b)-49k=16k-49k, 22 从而a、b是方程 x-4kx+(16k-49k)=0 5.选B.如右图,(1)先连B1ABiA 109 ,然后依次连BiA1,BiA3,…, 共9个交点(i=2,…,5)共4 (2)连B1A9,然后依次连B2A 的两个正数解. 49,∴k=1,2,3,4.代入上面二次12 方程检验知k=4满足,∴a+b=16. .填.BΑC(r)Ζsin2t+sin22t≤r2Ζg(t)= 4 ×9个交点. i 据∃≥0,得0≤k≤ (i=1,…,8),共4×8个交点. …… 最后连B1A2,然后再依次连BiA1(i=2,…,5),共 4×1个交点. sin2t+sin22t≤r,要求r的最小值,只要求g(t)的最 大值. 1225)+但sin2t+sin22t=-(cos2t+,416 以上共4(1+2+3+…+9)个交点. 中学数学教学参考 1998年第8~9合期∴g(t)max= 5.4 55 上图可知tgΑ= HDHDHD,tgΒ=,tgΧ=.MHNHPH
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