命题与证明

考点：命题与证明 ►知识点拨： 1.命题及其分类

（1）命题定义：对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫做命题. 举例：一年有365天；对顶角相等；欢迎光临，其中前两个是命题. 识别：没有对一件事的正确与否作出任何判断的语句，不是命题.

（2）分类：①真命题：正确的命题；②假命题：错误的命题；③识别：一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.

注意：①命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断；②命题一般为陈述句. 2.命题的结构

①题设（或条件），是已知事项；

②一般形式：如果p，那么q（其中p是题设，q是结论）； ③结论（或题断），由已知事项推出的事项. 3.互逆命题

原命题与逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.

4.反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例. 注意：对于一个命题，只要能举出反例，就说明它是假命题. 5.定理、证明

①定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.

②证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推倒出结论，这一方法称为演绎推理.演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 6.三角形的外角及三角形内角和定理的推论

①三角形外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角.②三角形内角和定理的推论：

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推论1：直角三角形的两个锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.

例1：下列语句不是命题的是 （ ） A.直角都等于90 B.对顶角相等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB

例2：把下例命题改写成“如果......那么.....”的形式，并分别指出它们的题设和结论. (1)整数一定是有理数； (2)同角的补角相等； (3)两个锐角互余.

例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假 （1）两直线平行，同位角相等； （2）若a=0，则ab=0； （3）对顶角相等.

例4：请举反例说明命题“对于任意实数x，x25x5的值总是正数”是假命题，你举的反例是_____（写出一个的值即可）.

例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CD∥EF，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB.

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例6：如图，在△ABC中，∠ABC=66，∠ACB=54，BE、CF是两边AC、AB上的高，它们交于点H.求∠ABE和∠BHC的度数.

基础训练

1、下列语句中，不是命题的是 （ ） A.两点之间线段最短B.对顶角相等

C.不是对顶角的两个角不相等D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线

2、下列命题中，是真命题的是 （ ） A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.三角形的一个外角等于两个内角之和 C.三角形的两边之和一定不小于第三边

D.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心

3、“两条直线相交只有一个交点”的题设是 （ ） A.两条直线 B.相交 C.只有一个交点 D.两条直线相交

4、已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是 （ ） A.2k B.15 C.24 D.42

5、如图，下列说法中错误的是 （ ） A.∠1不是△ABC的外角B.∠B＜∠1+∠2 C.∠ACD是△ABC的外角D.∠ACD＞∠A+∠B

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第5题图 第6题图 第7题图

6、一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是 （ ） A.165 B.120 C.150 D.135

7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为 （ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 8、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的题设是，结论是，它的逆命题是. 9、完成以下证明，并在括号内填写理由： 已知：如图所示∠1=∠2，∠A=∠3.

求证：AC∥DE.

证明：因为∠1=∠2，所以AB∥．（ ） 所以∠A=∠4．（ ）

又因为∠A=∠3，所以∠3=.（ ） 所以AC∥DE. （ ）

10、将下列命题改写成“如果......那么......”的形式，并分别指出命题的题设与结论： （1）直角都相等；

（2）末位数字是5的整数能被5整除； （3）同角的余角相等.

11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例. （1）若|x|=|y|，则x=y；

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反例：取x=3，y=-3，则|x|=|y|，所以此命题是假命题； （2）两个锐角的和一定是钝角；

反例：取∠1=30°，∠2=100°，则∠1+∠2=130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题； （3）若|a|=a，则a>0.

12、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.

13、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=∠DCE=36°，求∠BEC的度数.

14、如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，，则△ABC是直角三角形吗？为什么？

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强化训练

1.如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于点P.若∠A＝50°，则∠BPC的度数是 （ ）

A.150 B.130 C.120 D.100

2.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3

第2题图 第6题图

3.一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是 （ ） A.5:4:3 B.4:3:2 C.3:2:1 D.5:3:1

4.能说明命题“对于任何实数a，aa”是假命题的一个反例可以是 （ ）

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A.a=-2 B.a1 C. a=1 D.a2 35.下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若ab，则ab；④若x0，则x22x0.它们的逆命题一定成立的有 （ ） A.①②③④ B.①④ C.②④ D.②

6.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35，∠ACE=60，则∠A= （ ） A.35 B.95 C.85 D.75

7.如图，在△ABC中，∠B=40，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=.

8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的锐角的度数是. 9.写出命题“如果ab，那么3a3b”的逆命题：.

10.如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E.若∠C＝60°，∠BED＝54°，求∠BAC的度数.

11.如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°， 求∠DAE的度数．

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12.如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2.

13.用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角. 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360. 证法1：，

∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=1803=540. ∠BAE+∠CBF+∠ACD=540-（∠1+∠2+∠3）.

，

∠BAE+∠CBF+∠ACD=540-180=360.

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.

能力提升

1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=.

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2.观察下列各式：

224, 24;1139393, 3;22224164164, 4;33335255255, 5.44442

想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n表示正整数，用关于n的代数式表示这个规律：_______×_______=_______+________.

3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=（1）求证：∠BAC=90°；

（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+3，求这个三角形的面积．

1BC． 2

4.如图在△ABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于E、F.

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（1）求证：AE=CF

（2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）

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