竞赛试题选编之三角函数

(2004年全国高中数赛)设锐角使关于x的方程

x24xcoscot0有重根，则的弧度数为（ ）

A.

 6B.

12or5 12C.

6or5 12 D.

 12y=

（2003tan(x+(A)

年高中数赛）若x[

5,]，则1232)tan(x+)+cos(x+)的最大值是 366121112112 (B)2 (C)3 (D)3 5656

（2001年全国高中数赛）在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，

）上单调递增的偶函数是 23＞cos

（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| (2000年全国高中数赛)设sin＞0,cos＜0,且sin范围是( )

3,则

3的取值

2k2k,2k+), kZ (B)(+,+),kZ

33366355(C)(2k+,2k+),kZ (D)(2k+,2k+)(2k+,2k+),kZ

4366(A)(2k+

若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在0,



上有两个不同的实数解x，则参数a2

的取值范围是A （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1

设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是B

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

已知sin2=a，cos2=b，0＜＜

b； 1aab1⑤． ab1，给出tan值的五个答案： 44③

1b； a①②

a； 1b④

1a； b第 1 页 共 4 页

其中正确的是：C

（A）①②⑤ （B）②③④

（C）①④⑤ （D）③④⑤

若ABC是钝角三角形，则arccos(sinA)arccos(sinB)arccos(sinC)的值域是(C)．

33] (B){} (C)(,) (D)(0,)

22222方程xsinx1993的实根的个数为（ ）

(A)(0,

（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2 二．填空题

(2005年全国高中数赛)设、、满足02，若对于任意xR,cos(x)cos(x)cos(x)0,则＿＿＿ （2004年高中数赛）在平面直角坐标系xoy中，函数

f(x)asinaxcosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函

数g(x)a21的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

22（2001年全国高中数赛）使不等式sinxacosxa1cosx

对一切xR恒成立的负数a的取值范围是 ．

设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin和cos，则的取值范围是 ．{|＝2n＋或2n－(2000年全国高中数赛)arcsin(sin2000)=__________.

，n∈Z} ； 2sin3cos311已知k，则k的取值范围为 1,,1

22sincos函数f(x)＝|sinx|＋sin42x＋|cosx|的最大值与最小值之差等于 ．2； 已知点(a,b)在曲线arcsinx＝arccosy上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝

23的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围是

,,; 43第 2 页 共 4 页

方程sin(3cosx)-2sin(3cosx)·sin(2cosy)+1=0的实数解(x,y)=____

1sin2arccosctg2(arctg)的值等于＿＿＿。

2已知函数f(x)sinx2sin22xm对任意实数x均满足21f(x)25,则m的取值范围是＿＿＿ 4oocos5osin15sin25sin35o＝___________

sin5ocos15ocos25ocos35o积乘

(12cosk172k)=________ 712x22的值域是 2 函数f (x) = 12arccot | x | + 2arccos

已知

sin3sin(3)6cos3cos(3)63（α≠

k，k∈z），则tan2α值是 4设0<α<

1，若1+3tan（）=，则α=

sin23

x2f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是 ．－1；

8已知coscos______ 已知3则sinsin的最大值与最小值之差等于

24，则

snisnisnisni的

cos4cos3cos3cos2cos2coscos值等于 ．

3； 322已知f(x)(sinx4sin4)(cosx5cos)的最小值为g()，则

g()的最大值是 。

三．解答题

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已知函数f(x)＝sin(

kxπ)的周期大于1，并且当自变量x在任意两个整数52间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个最大值和一个最小值，求证：k为无理数。

π已知：α＞0,β＞0,α+β＜,求

2①cosαcosβsin(α+β)的最大值 ②sinαsinβcos(α+β)的最大值

已知奇函数f(x)在(,0)(0,)上有定义，且在(0,)上是增函数，

nmcosm2,f(1)0，又知函数g()si2[0，,M],N满足2，N{m|f[g()]0}.求 MN． M{m|g()0}已知函数f(x)asin2xbsinxc,其中a,b,c是非零实数,甲、乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a,b,c(如甲令b1,乙令a2,甲再令c3)后,如果对于任意实数x,f(x)0,那么甲得胜,如果存在实数x使f(x)0,那么乙得胜, 甲先选数,他是否有必胜策略? 为什么? 如果a,b,c是任意实数, 结论又如何? 为什么? (1997年希望杯)

在ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列，试求y1sin2B的取值范围.

sinBcosB2设0，，cos2msin2m20恒成立，求m的取值范围.

2（1997年日本高考题）

在锐角ABC中，A、B、C分别为三角形的内角。 求证：cos(BC)cos(CA)cos(AB)cosAcosBcosC。

已知0＜θ＜π/4，且x2tg22xtg,求证

2x2x2x2x

352n1tg2.

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