全等经典题型一

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值； （3）如图3，已知点F坐标为（-2，-2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值． 解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1， ∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90° 则∠MAC=∠OBA

在△MAC和△OBA中则△MAC≌△OBA（AAS）

则CM=OA=2，MA=OB=4，则点C的坐标为（-6，-2）；

（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP-DE=PQ，∠APO+∠QPD=90° ∠APO+∠OAP=90°，则∠QPD=∠OAP， 在△AOP和△PDQ中 则△AOP≌△PDQ（AAS） PQ=OA=2；

（3）结论②是正确的，m+n=-4， 过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点， 则FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT， 在△FSH和△FTG中

则△FSH≌△FTG（AAS）

则GT=HS，又因为GT=-2-m，HS=n-（-2）， 则-2-m=n-（-2），则m+n=-4．

二、已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=120°；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=90°；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=60°； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=180°-α（用含α的式子表示）；

（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

分析：（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．

如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°． 如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°． （2））由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α．

（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．

解答：解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD是等边三角形．

∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

所以△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC．

∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．

如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，

∴∠EFD=90°．

∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-（180-∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填120°，90°，60°．

（2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB．

∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

（3）∠AFB=180°-α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中 ， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．

三、（1）如图，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边△ACD与等边△BCE，连接AE、BD，则△ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到△DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）

（2）如图，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连接EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；

（3）在第二题图的基础上，将正方形CBEF绕点C逆时针旋转（如图），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明． 解：（1）将△ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到△DCB； （2）如图，答：相等且垂直． ∵EF∥CD， ∴∠NEM=∠DGM，而EN=GD，GM=EM，

∴△MGD≌△MEN， ∴DM=NM，在Rt△DNF中， ， ∵NE=GD，GD=CD， ∴NE=CD， ∴FN=FD， 即FM⊥DM，

∴DM与FM相等且垂直．

（3）如图，答：相等且垂直．

延长DM交CE于N，连接DF、FN， 根据（1）可以得到△MGD≌△

.

四、如图，已知点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB同侧作正△ACM和正△BCN，连接AN，BM，分别交CM，CN于点P，G，连接PG．求证：PG∥AB．（或说明△CPG是什么形状的三角形）

分析：运用正三角形的特征：三边相等且三个角都是60°，证明△ACN≌△MCB，得∠ANC=∠MBC，再证△NPC≌△BGC，得PC=GC， 又∠PCG=60°，故△PCG为等边三角形，从而证得PG∥AB． 解答：证明：∵△ACM和△BCN为正三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB． ∴△ACN≌△MCB． ∴∠ANC=∠MBC．

∵∠PCN=∠NCB=60°， ∴△NPC≌△BGC． ∴PC=GC． 又∵∠PCG=60°， 故△PCG为等边三角形． ∴∠PGC=∠GCB=60°．

∴PG∥AB．

五、已知，如图，△ABC中，∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，且交于点O， 求证：AB=AE+BD．

证明：在AB上取点M使AM=AE，连接OM ∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线， ∴∠MBO= ∠ABC，∠BAO= ∠BAC，

∴∠BAO+∠MBO= （∠ABC+∠BAC）= （180°-∠C）=60°， ∴∠AOB=120°， ∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠OAM=∠OAE， ∵AO是公共边，∠OAM=∠OAE，AM=AE

∴△AMO≌△AEO， ∴∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°， ∴∠BOM=180°-（∠AOM+∠AOE）=60°，∠BOD=∠AOE=60°，

∴∠BOM=∠BOD，

∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠MBO=∠DBO，

∵BO是公共边，∠MBO=∠DBO，∠BOD=∠AOE=60° ∴△BOM≌△BOD， ∴BM=BD， ∴AB=AM+BM=AE+BD．

附加题：如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．

（1）求证：AB=AD；

（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结

论．

（1）连接AC，根据题意易得AE、AF是BC、CD的垂直平分线，可得AB=AC，AD=AC，可证出AB=AD．

（2）根据等腰三角形的性质解答即可．解答：解：（1）连接AC， ∵点E是BC的中点，AE⊥BC， ∴AB=AC，

∵点F是CD的中点，AF⊥CD， ∴AD=AC，

∴AB=AD． （2）∠EAF=2∠BAE=2∠DAF． 证明：∵由（1）知AB=AD=AC，

∴△ABC、△ACD为等腰三角形， ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠BAE=∠EAC=∠CAF=∠DAF

如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．

求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．

“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”

请直接应用上述信息解决下列问题： （1）当点P在△ABC内（如图2），（2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．

解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．

理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．

∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN． ∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h， 即h1+h2+h3=h．

（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h． 理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．

∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN． ∴h1+h2-h3=AN-MN=AM=h， 即h1+h2-h3=h．

如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？„

请你作出判断：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．

连接AF，（1分）

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C= 180°-120°2=30°，（1分）

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，

∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分） ∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，（1分） 在Rt△ABF中，∠B=30°，

∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分） ∴BF=2CF（等量代换）．

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40度．（1）则∠NMB的度数为20度；

（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，则∠NMB的度数为35度； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改

解：（1）∵AB=AC ∴∠B=∠ACB

∴ ∠B=12(180-∠A)=12(180-40)=70 ∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20度 （2）解法同（1）

同理可得，∠NMB=35度

（3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半 证明：设∠A=α ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴ ∠B=12(180-α) ∵∠BNM=90°

∴ ∠NMB=90-∠B=90-12(180-α)=12α 即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半

（4）将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改

仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．

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