《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第3课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

22.1二次函数的图象和性质

22.1.3 二次函数y=a(x-h)+k的图象和性质

教学设计 第 3 课时

一、教学目标

1．使学生理解二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3． 利用二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决实际问题

2

二、教学重点及难点

重点：理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质及其图象与y=ax2的图象之间的关系，了解利用二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决实际问题．

难点：正确理解二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系以及二次函数y=a(x-h)2+k的性质，掌握利用二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决实际问题．

三、教学用具

多媒体课件，三角板或直尺。

四、相关资源

《复习二次函数y=ax2＋k图象与性质》动画，《复习二次函数y=a(x－h)2图象与性质》动画，《二次函数y(x1)1的图象》图片，《水管喷水》动画。

122五、教学过程

【复习提问】

你能说出二次函数y=ax2＋k的性质吗？

师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．

1．一般地，抛物线y=ax2＋k与y=ax2形状相同，位置不同．把抛物线y=ax2向上（下）平移，可以得到抛物线y=ax2＋k．平移的方向、距离要根据k的值来决定．

当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移|k|个单位长度可以得到抛物线y=ax2＋k； 当k＜0时，抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度可以得到抛物线y=ax2＋k．

2．抛物线y=ax2＋k有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下． （2）对称轴是y轴． （3）顶点是（0，k）．

此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y=ax2图象上下平移得出y=ax2±k的图象,通过自主动手,积极探索的方式,观察、分析函数y=ax2±k的图象性质.

你能说出二次函数y=a(x－h)2的性质吗？

师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．

1．一般地，抛物线y=a(x－h)2与y=ax2形状相同，位置不同．把抛物线y=ax2向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2．平移的方向、距离要根据h的值来决定．

当h＞0时，抛物线y=ax2向右平移|h|个单位长度可以得到抛物线y=a(x－h)2； 当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度可以得到抛物线y=a(x－h)2． 2．抛物线y=a(x－h)2有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下． （2）对称轴是x=h． （3）顶点是（h，0）．

此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【数学探究】画二次函数左右平移的图象》，可以通过改变参数值，改变函数图象形状,通过平移确定函数的位置,进而研究函数的性质。

设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】

1．画出函数y(x1)1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点．怎样移动抛物线y－x就可以得到抛物线y(x1)1？

解：函数y(x1)1的图象如图所示．

122122122122

抛物线y(x1)1的开口向下，对称轴是x=－1，顶点是（－1，－1）． 把抛物线y12212x向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线21y(x1)21．

2师生活动：组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言．教师巡查，关注学生是否认真参与讨论．师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果．教师利用多媒体投影出

函数图象并订正．

2．通过上节课的思考与探讨，你能说出抛物线y=a(x－h)2＋k与抛物线y=ax2有什么关系吗？抛物线y=a(x－h)2＋k具有哪些特点？

师生活动：小组讨论、交流，师生一起归纳．

一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同，位置不同．把抛物线y=ax2向上(下)向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．

抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下． （2）对称轴是x=h． （3）顶点是（h，k）．

此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【数学探究】二次函数的平移》，可以通过改变参数值，改变函数图象形状,通过平移确定函数的位置,进而研究函数y=a(x－h)2＋k的性质

设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．

【例题分析】

例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离

池中心3 m，水管应多长？

师生活动：学生先思考，尝试解答问题．教师引导学生，学生根据点拨在练习本上解答．教师巡视，辅导有困难的学生．

教师引导：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．设这段抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将（3，0）代入抛物线的解析式求得a值．则x=0时的y值即为水管的长．

解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．如图所示： 由于水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，因此，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点．所以可设这段抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)． 由这段抛物线经过点（3，0），可得a(3-1)2+3=0． 3． 43因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3)． 49当x=0时，y==2.25． 4解得a=-故水管长为2.25 m． 总结：应用二次函数解析式y=a(x-h)2+k解决实际问题的一般步骤是： 第一步：建立直角坐标系；

第二步：设出二次函数的解析式y=a(x-h)2+k，确定自变量的取值范围； 第三步：根据已知条件求出a，h，k的值；

第四步：令x=0或令y=0或把x，y的具体值代入二次函数的解析式求得所需要求得的值． 设计意图：通过实际问题的解答，激发学生的学习热情，调动学生的学习兴趣，使学生对二次函数y=a(x-h)+k的图象和性质的应用有比较充分的感知，从不同的侧面，不同的视角进一步深化对二次函数y=a(x-h)+k的图象和性质的理解与认识．

【练习巩固】 1．对于抛物线y=－

2

2

1(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；2③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )．

A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0 3．顶点坐标为(－2，3)，开口方向和大小与抛物线 y=

12

x相同的抛物线的解析式为( )． 211A．y=(x－2)2＋3 B．y=(x＋2)2－3

2211C．y=(x＋2)2＋3 D．y=－(x＋2)2＋3

224．若函数y=3(x4)＋k与x轴的一个交点坐标是(2，0)，则它与x轴的另一个交点坐

2标是 ．

5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=(x－1)2＋1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 y2(填“＞”“=”或“＜”)．

参

1．C 2．A 3．C 4．(6，0) 5．＞

设计意图：通过练习，创设学生活动的机会，及时反馈对知识的掌握情况，并通过练习内化成学生的能力，考查了二次函数y=a(x－h)2＋k的性质和图象的理解和掌握．

六、课堂小结

1．一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同，位置不同．把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．

抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下． （2）对称轴是x=h． （3）顶点是（h，k）．

2．应用二次函数解析式y=a(x-h)2+k解决实际问题的一般步骤是： 第一步：建立直角坐标系；

第二步：设出二次函数的解析式y=a(x-h)2+k，确定自变量的取值范围； 第三步：根据已知条件求出a，h，k的值；

第四步：令x=0或令y=0或把x，y的具体值代入二次函数的解析式求得所需要求得的值． 设计意图：师生互动，鼓励学生自主地对二次函数图象的性质规律进行归纳，揭示二次函数的解析式与图象间的关系．

七、板书设计

22.1 二次函数的图象和性质

——22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（3）

1．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质 2．抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的关系 3．应用